Контрольная работа по "Физике"

Задача 1

Абсолютно жесткий брус опирается на шарнирно-неподвижную  опору и прикреплен к двум стержням с равным поперечным сечением. Площадь  сечения стержней А = 2∙10^-4 м². Модуль упругости материала стержней Е = 2×10⁵ МПа, коэффициент линейного расширения a = 12×10^–6 1/град. Размеры бруса: a = 0,5 м, b = 3 м, h = 1м, с = 2 м.

 

 

Требуется:

1. Вычислить допускаемую нагрузку [Q], приняв большее из напряжений за допускаемое [s] = 160 МПа.
2. Вычислить допускаемую нагрузку по предельному состоянию [Q]_пр.
3. Сравнить полученные результаты.
4. Вычислить монтажные напряжения в обоих стержнях, если длина второго стрежня короче номинальной на величину d₂ = 2∙10^-3 м
5. Вычислить напряжения в обоих стержнях, если температура первого стержня увеличится на величину Dt₁ = -40°С.
6. Вычислить напряжения в обоих стержнях от совместного действия нагрузки, неточности изготовления второго стержня и изменение температуры первого стержня.

 

 

 

1. Вычислить допускаемую  нагрузку [Q], приняв большее из напряжений в стержнях за допускаемое [s].

Составляем расчетную  схему. Под действием силы Q стержни 1 и 2 будет растягиваться. Вследствие этого появятся внутренние силы N₁ и N₂. Составим уравнение моментов относительно точки О:

 

 

 

При неизвестных реактивных усилиях N₁, N₂, R_ox, R_oy и трех уравнений статики (плоская система сил) заданная стержневая система является статически неопределимой, и степень статической неопределимости (ССН) определяется:

 

ССН = m – n,

 

где m – количество неизвестных реакций, n – количество уравнений. Таким образом, ССН = 4 – 3 =1, то есть для решения данной задачи необходимо составить еще одно дополнительное уравнение, называемое уравнением совместности деформаций.

Составляем уравнение  совместности деформаций. Из подобия  треугольников АА₁О и СС₁О имеем:

 

.

 

Считаем, что угловые  деформации малы, поэтому изменением угла b пренебрегаем.

 

АА₁=Dl₂, , KА₁=Dl₁. То есть:

 

По закону Гука имеем:

 

  ; .

 

Длину первого стержня  определяем по теореме Пифагора:

 

 м

 

Подставляем значения удлинений  в уравнение совместности деформаций:

 

  .

 

 Тогда,  . Окончательно имеем: N₂ = 1,3×N₂

Из этого выражения  видно, что N₁<N₂. Соответственно, напряжения в первом стержне s_I меньше, чем напряжения во втором s_II. Поэтому, максимальные напряжения по абсолютному значению будут во втором стержне: s_II = [s] и  кН. Значение N₁ = 24,62 кН.

Оба стержня сжаты.

Найдем напряжения в  обоих стержнях: s_II = [s] = -160 МПа; s_I = -123,1 МПа. растянуты.

Подставим значения сил  N₁ и N₂ в первое уравнение и определим значение [Q]:

 

кН.

 

2. Вычислить допускаемую нагрузку по предельному состоянию [Q]_пр.

Предельное  состояние будет возникать, если напряжения в стержнях будут равны  предельным, то есть пределу текучести s_т: s_I = s_II = s_т  

Составляем  уравнение предельного равновесия:

 

; .

 

Предельные  усилия в каждом из стержней:

 

.

 

Решаем относительно предельной нагрузки для системы:

 

.

 

Допускаемая нагрузка по предельному  состоянию [Q]_пр определяется как:

,

 

где n – коэффициент запаса прочности.

С учетом, что  получим [Q]_пр = 23,51 кН.

3. Сравнить полученные результаты.

Определяем погрешность  между расчетами:

 

  %.

 

По условию предельного  состояния допускаемую нагрузку можно не менять (погрешность d < 5%).

 

 

4. Вычислить монтажные напряжения в обоих стержнях, если длина второго стержня короче номинальной на величину d₂=1,5 мм.

Составляем расчетную  схему. С учетом удлинения стержня 2 точка А должна совпасть с точкой Е, если бы не было стержня 1. Сопротивление первого стержня приводит к тому, что точка А занимает положение А₁. В связи с этим, в стержнях появляются внутренние усилия N₁ и N₂. Составим уравнение статики:

 

;

 

Из этого уравнения  следует, что:

 

Составляем уравнение  совместности деформаций. Из подобия  треугольников АА₁О и ВВ₁О имеем:

 

;

; ;

KВ₁=Dl₁.

 

По закону Гука:

 

; .

 

Решая совместно уравнения  получим:

 

N₁= 29,76 кН; N₂= 41,34 кН.

 

2 стержень сжат; 1 – растянут.

 

 

Определим напряжения:

 

s_I =148,8 МПа;  s_II = -206,7 МПа.

 

5. Вычислить напряжения в обоих стержнях, если температура первого стержня уменьшится на величину Dt₁=40°.

Составим расчетную схему. С учетом удлинения стержня 1 точка В должна совпасть с точкой Е, если бы не было стержня 2. Сопротивление второго стержня приводит к тому, что точка В занимает положение В₁. В связи с этим, в стержнях появляются внутренние усилия N₁ и N₂. Составим уравнение статики:

 

;

 

Из этого  уравнения следует, что:

Составляем уравнение  совместности деформаций. Из подобия  треугольников АА₁О и ВВ₁О имеем:

 

; ; ; ; ; АА₁=Dl₂.

 

По закону Гука:

 

  ; .

 

Решая совместно получим:

 

N₁=5,15 кН;  N₂=7,15 кН.

 

2 стержень сжат; 1 – растянут.

Определим напряжения:

 

 

s_I =25,75 МПа; s_II = -35,76 МПа.

 

5. Вычислить напряжения в обоих стержнях от совместного действия нагрузки, неточности изготовления второго стержня и изменение температуры первого стержня.

Сведем данные расчетов в Таблицу 

 

Таблица 1.

Фактор, вызывающий напряжения	Напряжения, МПа
	1 стержень	2 стержень
Нагрузка  [Q] = 20,96 МПа	-160	-123,1
Неточность  изготовления 2-го стержня	148,8	-206,7
Изменение температуры 1-го стержня	25,75	-35,76
ИТОГО	14,55	-365,56

 

Из таблицы  видно, что для заданной схемы  для стержня 1 сочетания всех трех факторов является благоприятным фактором (напряжения значительно меньше допускаемых), а для стрежня 2 - неблагоприятным: стержень разрушится.