Контрольная работа по «Физике»

     Задача 1. Теорема об изменении кинетической энергии системы. Д-6  [1], принимая во всех вариантах нулевые массы в таблице равными последней цифре варианта задания + номер группы.

 

Задача  2. Применение принципа Даламбера к определению опорных реакций. Д-8 [1], принимая во всех вариантах массу точки m₃ = 3 + N, где N последняя цифра варианта задания.

 

Задача  3. Общее уравнение динамики. Д-10 [1], принимая веса нулевых тел в таблице равными номеру группы + 10.

 

 

Задача Д-6.

Механическая  система состоит из грузов 1 и 2 ступенчатого шкива 3 с радиусами ступеней и , и радиусом инерции относительно оси вращения , блока 4 радиуса и катка (подвижного блока) 5. Тело 5 считать сплошным однородным цилиндром, а массу блока 4 – равномерно распределенной по ободу. Коэффициент трения грузов о плоскость . Тела системы соединены друг с другом нитями, перекинутыми через блоки и намотанными на шкив 3. Участки нитей параллельны соответствующим плоскостям. К одному из тел прикреплена пружина с коэффициентом жесткости с.

Под действием силы , зависящей от перемещения точки ее приложения, система приходит в движение из состояния покоя; деформация пружины в момент покоя равна 0. При движении на шкив 3 действует постоянный момент сил сопротивления (от трения в подшипниках).

Определить значение искомой величины в тот момент времени, когда перемещение  станет равным . Найти скорость .

Все катки, включая катки, обмотанные нитями, катятся по плоскостям без скольжения.

Указания. Задача Д-6 на применение теоремы об изменении кинетической энергии системы.  При решении задачи учесть, что кинетическая энергия T системы равна сумме кинетических энергий всех входящих в систему тел; эту энергию нужно выразить через ту скорость, которую надо определить. При вычислении T для установления зависимости между скоростями точек тела, движущегося плоскопараллельно, или между его угловой скоростью и скоростью центра масс воспользоваться мгновенным центром скоростей (кинематика). При вычислении работы надо все перемещения выразить через заданное перемещение s₁,учтя, что зависимость между перемещениями здесь будет такой же, как и между соответствующими скоростями.

 

Данные:

 

 

Определить: в момент времени, когда .

 

 

Решение.

 

1. Рассмотрим движение неизменяемой механической системы, состоящей из тел, соединенных нитями. Изобразим действующие на систему внешние силы: активные , реакциисилы трения и момент .

Для определения  воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии:

 

2. Определяем  и . Так как система в начальный момент времени находилась в покое, то . Величина равна сумме энергий всех тел системы:

 

Учитывая, что тела 1 и 2 движутся поступательно, тело 5 – плоскопараллельно, а тела 3 и 4 – вращаются вокруг неподвижной оси, получим:

 

 

 

 

 

Все входящие сюда скорости надо выразить через искомую .

 

 

 

 

 

 

Кроме того, моменты инерции имеют  значения:

 

 

 

Подставим выведенные значения в формулу  полной кинетической энергии.

 

 

 

 

 

 

3. Теперь найдем сумму работ всех внешних сил при перемещении, которое будет иметь система, когда центр груза 1 пройдет путь . Введем обозначения: , реакциисилы трения и момент

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Работы остальных сил равны  нулю, так как точки, где приложены силы неподвижны; силы - перпендикулярны перемещению груза.

По условиям задачи , тогда , где перемещение точки A (конца пружины). Величины надо выразить через заданное перемещение . Для этого учтем, что зависимость между перемещениями здесь такая же, как и между соответствующими скоростями.

 

 

 

 

При найденных значениях , , для суммы вычисленных работ получим:

 

 

 

Учитывая, что , получим:

 

 

 

Подставляя численные значения в данное выражение получим:

 

 

 

 

Задача Д-8.

Вертикальный  вал АК, вращающийся с постоянной угловой скоростью , закреплен подпятником в точке А и цилиндрическим подшипником в точке К. AB=BD=DE=EK=a. К валу жестко прикреплены: тонкий однородный ломаный стержень массой , состоящий из частей 1 и 2 (размеры частей стержня показаны на рис.4., где , а их массы и пропорциональны длинам), и невесомый стержень длиной с точечной массой на конце. Оба стержня лежат в одной плоскости. Точки крепления стержней: B и E, а углы – , , .

Пренебрегая весом вала, определить реакции подпятника и подшипника. При расчетах принять 

a = 0,6м.

 

Указания. Задача Д-8 на применение к изучению движения системы принципа Даламбера. При решении задачи учесть, что когда силы инерции частиц тела (в данной задаче стержня) имеют равнодействующую , то численно , где ускорение центра масс С тела, но линия действия силы в общем случае не проходит через точку С.

 

 

 

Решение.

1. Изображаем (с учетом заданных углов) вал и прикрепленные к нему в точках В и Е стержни. Массы и веса частей 1 и 2 ломаного стержня пропорциональны длинам этих частей и соответственно равны:

 

 

2. Для определения искомых реакций рассмотрим движение заданной механической системы и применим принцип Даламбера. Проведем вращающиеся вместе с валом координатные оси Аху так, чтобы стержни лежали в плоскости ху, и изобразим действующие на систему силы: активные силы – силы тяжести и реакции связей – составляющие реакции подпятника , и реакцию цилиндрического подшипника .

Согласно принципу Даламбера, присоединим к этим силам силы инерции элементов однородного ломаного стержня и груза, считая его материальной точкой.

Так как вал вращается равномерно, то элементы стержня имеют только нормальные ускорения , направленные к оси вращения, а численно , где расстояния элементов от  оси вращения. Тогда силы инерции будут направлены от оси вращения, а численно . Так как все   пропорциональны , то эпюры этих параллельных сил инерции стержня образуют для части 1 треугольник, а для части 2 – прямоугольник.

Каждую из полученных систем параллельных сил инерции заменим ее равнодействующей, равной главному вектору этих сил. Так  как модуль главного вектора сил  инерции любого тела имеет значение , где масса тела, ускорение его центра масс, то для частей стержня соответственно получим:

 

Сила инерции точечной массы 3 должна быть направлена в сторону, противоположную  его ускорению, и численно будет  равна:

 

Ускорения центров масс частей 1 и 2 стержня и 3 груза равны:

 

Где расстояние центров масс частей стержня от оси вращения, соответствующее расстояние груза.

 

 

 

Определим числовые значения сил инерции:

 

 

 

При этом линии действия равнодействующих и пройдут через центры тяжестей соответствующих эпюр инерции (на рисунке Н – высота треугольной эпюры, ).

 

 

 

Согласно принципу Даламбера, приложенные  внешние силы (активные и реакции  связей) и силы инерции образуют уравновешенную систему сил. Уравнения  равновесия этой системы сил:

 

 

 

Подставим полученные значения, решим  систему уравнений и получим  результат:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача Д-10.

 

Механическая система состоит из однородных ступенчатых шкивов 1 и 2, обмотанных нитями, грузов 3 – 6, прикрепленных к этим грузам, и невесомого блока. Система движется в вертикальной плоскости под действием сил тяжести и пары сил с моментом M, приложенной к одному из шкивов. Радиусы ступеней шкива 1 равны: , , а шкива 2 – , ; их радиусы инерции относительно осей вращения равны соответственно: , . Пренебрегая трением, определить ускорение груза, имеющего больший вес (груз 4).

 

Указания. Задача Д-10 – на применение к изучению движения системы общего уравнения динамики (принципа Даламбера-Лагранжа). Для однородного тела, вращающегося вокруг своей оси симметрии (шкива), система сил инерции приводится к паре с моментом , где момент инерции тела относительно оси вращения, угловое ускорение тела. Направление противоположно направлению .

 

Дано.

 

Найти: .

 

Решение.

 

1. Рассмотрим движение механической системы, состоящей из тел 1, 2, 3, 4, 5, 6, соединенных нитями. Система имеет одну степень свободы. Связи, наложенные на систему, – идеальные.

Для определения ускорения  применим общее уравнение динамики:

 

Где сумма элементарных работ активных сил, сумма элементарных работ сил инерции.

2. Изображаем на чертеже активные силы и пару сил с моментом . Задавшись направлением ускорения , изображаем на чертеже силы инерции   и пары сил инерции :

 

3. Сообщая системе возможное перемещение и составляя общее уравнение динамики, получим:

 

Выразим все перемещения  через :

 

 

Подставим в общее уравнение динамики:

 

 

Входящие сюда величины выразим через искомую .

 

Учитывая, что , его можно сократить. Подставим найденные выражения через , и выразим его:

 

 

 

 

 

 

Подставив численные значения, найдем ответ: