Контрольная работа по "Теоретической механике"

ЗАДАНИЕ С1–30

Дано: P= 25 кН, М= 100 кН∙м, F₁= 10 кН, F₄= 40 кН, а= 0,5 м

 

Найти: Реакции связей в т. А и В

 

РЕШЕНИЕ:

Рассмотрим  равновесие жесткой рамы. На раму действуют: силы и , пара сил с моментом М, натяжение троса ( ) и реакции связей , , .

Неизвестны  реакции связей , , .

 

Для полученной плоской системы сил  составим три уравнения равновесия:

 

 

 

 

,              (1)

,               (2)

,      (3)

 

 

Из  уравнения (3):

 

84,98 (кН)

 

Из  уравнения (2):

 -68,95 (кН)

 

Из  уравнения (1):

 13,83 (кН)

 

Реакции, полученные со знаком «минус», в действительности имеют направление противоположное  принятому на рисунке.

Проверка:

 

Ответ:  Х_А = 13,83 кН, Y_A = -68,95 кH, R_B = 84,98 кH

 

ЗАДАНИЕ С3–30

 

Дано: Р=5 кН, М=6 кНм, l=0,8 м, F₃=8 кН, F₁=4 кН.

 

Найти: реакции связей А, В и стержня.

 

РЕШЕНИЕ:

Рассмотрим  равновесие плиты. На нее действуют  сила тяжести Р,  силы F₁, F₃, пара сил с моментом М и реакции связей А(Х_А, Y_А, Z_А), В(Х_В, Z_В) и стержня N (считаем его растянутым).

 

Составляем  уравнения равновесия пространственной системы сил:

 

;           (1)

;          (2)

;           (3)

;          (4)

;           (5)

;       (6)

 

 

Из (5): = = 2,9 (кН)

 

Из (4): = = 0

 

Из (6): = = –9,3 (кН)

 

Из (1): = = 5,83 (кН)

 

Из (2): = = –8,55 (кН)

 

Из (3): = = 2,5 (кН)

 

 

Реакции, полученные со знаком «минус», в действительности имеют направление противоположное  принятому на рисунке.

 

 

XA	YA	ZA	ХB	ZB	N
кН
5,83	–8,55	2,5	–9,3	0	2,9

ЗАДАНИЕ К1-30

 

к1а

Дано: уравнения движения точки в плоскости ху: , ; 1 с.

Найти: уравнение траектории точки; скорость и ускорение, касательное и нормальное ускорение и радиус кривизны траектории в момент .

РЕШЕНИЕ:

1. Уравнение  траектории. Для определения уравнения траектории точки исключим время из заданных уравнений движения.

Тогда,  и – это парабола.

2. Скорость  точки. Скорость найдем по ее проекциям на координатные оси: , где

, . При =1 с

(см/с), (см/с),

= 4,12 (см/с).

 

3. Ускорение  точки. Находим аналогично: , , и при =1 с   (см/с²),

(см/с²),   (см/с²).

 

4. Касательное  ускорение. Найдем, дифференцируя равенство . Получим

, откуда  и при =1 с (см/с²).

5. Нормальное  ускорение. (см/с²).

 

6. Радиус кривизны траектории. (см).

 

 

 

v	a	at	an	r
см/с	см/с2			см
4,12	4	3,88	0,96	17,7

 

 

к1б

Дано: Точка движется по дуге окружности радиуса м по закону ; 1 с.

Найти: скорость и ускорение точки в момент .

РЕШЕНИЕ:

Скорость  точки  , при =1 с = –1,05(м/с).

Ускорение находим по касательной  и нормальной составляющим:

(м/с²); (м/с²); = 1,10(м/с²).

 

 

 

 

ЗАДАНИЕ К2–30

Дано: r₁= 2 см, R₁= 4 см, r₂= 6 см, R₂= 8 см, r₃= 12 см, R₃= 16 см, , t₁=2 c.

 

Найти: скорости , , ускорения , , .

 

РЕШЕНИЕ:

Скорости  точек, лежащих на ободах колес радиуса  , обозначим через , а точек, лежащих на ободах колес радиуса , через .

 

Угловые скорости всех колес.

Т.к. , то .

Т.к. колеса 3 и 2 связаны ременной передачей, то или и . Колеса 1 и 3 находятся в зацеплении, следовательно, , то есть и отсюда .

Скорости  , .

, .

При t₁=2 c = 16 (см/с), = 21,3 (см/с).

Угловое ускорение  . , следовательно = = –1,33(1/с²).

Ускорение . Для т.А , где , . Угловое ускорение = = = –3,56 (1/с²). Таким образом при t₁=2 c

  касательная составляющая  (см/с²),

нормальная  составляющая = = 3,6 (см/с²),

полное  ускорение  = = 7,9 (см/с²).

Ускорение . Т.к. груз 5 совершает поступательное движение, то . = –7,1 (см/с²).

 

vВ	vС	e2	aА	a5
см/с		1/с2	см/с2
16	21,3	–1,33	7,9	–7,1

 

ЗАДАНИЕ Д1-30

Дано: =2 кг, =20 м/с, Q=6 Н, R= Н, =2,5 с, Н, =0,2.

Найти: - закон движения груза на участке ВС

РЕШЕНИЕ:

1) Рассмотрим движение груза на  участке АВ, считая груз материальной  точкой. На груз действуют сила  тяжести  , реакция стенки постоянная сила и сила сопротивления . Проведем ось вдоль АВ. Составим дифференциальное уравнение движение в проекции на эту ось: или .

Перепишем это уравнение с учетом того, что  : . Обозначим и . Тогда , интегрируем: .

Постоянную  С₁ находим по начальным условиям: при , что дает . Следовательно . Отсюда получаем

.

При перемещении груза  в точку В  =2,5 с, . Тогда

=18,03 (м/с).

2). При рассмотрении  движения груза на участке  ВС найденная скорость будет  для движения на этом участке  начальной скоростью. Составим  дифференциальные уравнения движения  груза в проекции на оси  и .

 и  . Тогда и .

. Обозначим  и . Разделяя переменные и интегрируя получим ; при начальных условиях при и . То есть .

После интегрирования:  . Т.к. при то и окончательно искомый закон движения груза на участке ВС будет

 

ЗАДАНИЕ Д3–30

Дано:  R= 1,2 м, 24 кг, 8 кг, 10 с^-1, ОС= R, м, Нм

Найти: – закон изменения угловой скорости платформы

РЕШЕНИЕ:

Рассмотрим  механическую систему, состоящую из платформы и груза D. Для определения  применим теорему об изменении кинетического момента системы относительно оси z:

.

На  систему действуют внешние силы: силы тяжести платформы и груза  и , реакции и и момент М. Т.к. силы и параллельны оси z, а реакции и пересекают ее, то их моменты относительно этой оси равны нулю. Тогда и   . После интегрирования

. (1)

Для рассматриваемой механической системы  , где и – кинетические моменты платформы и груза соответственно.

Платформа вращается вокруг оси z, следовательно . По теореме Гюйгенса ( – момент инерции относительно оси параллельной оси z и проходящей через центр платформы. Но . Тогда

.

Следовательно .

Для определения  рассмотрим движение груза D как сложное, считая его движение по платформе относительным, а вращение самой платформы – переносным движением. Тогда .

Т.к. , то .   . Тогда, по теореме Вариньона,

= =

=

Из  рисунка: = (м), = = = = = = .

Тогда, и

  . После подстановки

= .

Тогда уравнение (1) примет вид

.

Постоянную  интегрирования определим по начальным  условиям: при  , . Получим

.

Следовательно, искомая зависимость будет иметь  вид:

 

 

 

ЗАДАНИЕ Д5–30

Дано: r=0,6R, , , , a=30^о, b=60^о.

Найти: – закон движения центра масс, – наименьший коэффициент трения, при котором возможно качение без скольжения.

РЕШЕНИЕ:

Барабан совершает плоскопараллельное движение под действием сил  , , , (направление произвольно). Составим диф. уравнения плоскопараллельного движения:

;  (1)

;  (2)

;   (3)

(положительное  направление моментов в направлении  вращения барабана при его  движении от т.О).

1) Определение . В нашей задаче и . Учтем, что и при качении без скольжения в т. В находится мгновенный центр скоростей. Тогда

,      или    .  (4)

Тогда из уравнения (3)    ,      (5)

Сложив  его почленно с (1) получим

= = .

Отсюда, т.к. ,    .  

Интегрируем:

  и   .

По  начальным условиям при  и получаем . Окончательно закон движения центра масс принимает вид

.

2) Определение . При качении без скольжения сила трения должна удовлетворять неравенству

.      (6)

Из  уравнения (2), учитывая, что  ,

= =

Из  уравнения (5),  учитывая, что 

. Отсюда, т.к.    

Подставим значения и в неравенство (6) , откуда . Таким образом, наименьший коэффициент трения, при котором возможно качение барабана без скольжения

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Крупнейшая в интернете база решений из сборников заданий для курсовых работ Тарга С.М. (1982, 1983, 1988, 1989 гг.) находится по адресу   www.targ.stig85.ru