Маятник Максвелла

 

Цель работы: определение момента инерции маятника Максвелла.

 

Задание 1 – определить экспериментально момент инерции маятника.

 

1)Описание установки: Используемый в работе прибор содержит измерительную часть, включающую в себя миллисекундомер, измеряющий время падения маятника; колонну с нанесенной метрической шкалой. На колонне смонтированы два кронштейна: один (верхний)  — неподвижный с воротком для крепления подвеса, электромагнитом для удержания маятника до начала эксперимента и фотодатчиком для сигнализации начала отсчета времени; другой кронштейн (нижний) — подвижный, со вторым фотоэлементом для сигнализации конца падения маятника.

Кнопка "Пуск" отключает  электромагнит и запускает миллисекундомер, а кнопка "сброс" обнуляет показания  секундомера, т.е. подготавливает прибор к следующему эксперименту.

Массу и момент инерции  маятника можно изменять с помощью  сменных колец, надеваемых на диск.

 

2) Методика выполнения  и рабочие формулы:  Маятник Максвелла представляет собой диск, жестко насаженный на стержень и подвешенный на двух тонких нерастяжимых нитях. Намотав нити на стержень, можно сообщить маятнику потенциальную энергию относительно нижнего положения, определяемого длиной нитей. Если маятник отпустить, то он начнет, вращаясь, падать вниз.

Принимая во внимание только консервативные силы, действующие на маятник, закон сохранения его энергии можно записать в виде:

Ѕ mV² + Ѕ Iw² + mgh = mgh₀ ,               (1)

где h₀ — начальная высота подъема; h — текущая высота; m — масса маятника; I — момент инерции маятника относительно его оси; V — скорость центра масс; W — угловая скорость относительно своей оси; g — ускорение свободного падения.

Продифференцируем уравнение (1) по времени:

MV ^dV/_dt + Iw ^dw/_dt + mg ^dh/_dt =0.             (2)

Так как   ^dV/_dt = a  ,   w = ^V/_r  ,  ^dh/_dt = V, где   а — ускорение центра масс,  r — радиус стержня. Тогда уравнение (2) переписывается в виде:

mVa + Iva/r² + mgV=0            (3)       =>        I=mr²(-g/a-1)           (4)

Так как ускорение  а  постоянно (из уравнения (4) , то: h₀= - Ѕ at² , где t – время падения.

Тогда: I=mr²( Ѕ gt² / 2h₀ -1) .

Таким образом  измерив непосредственно t , h₀ ,r , m ,  можно определить момент инерции маятника Максвелла.

 

3) Результаты  измерений и вычислений:  Результаты измерений занесены в таблицу №1.

                                                                                                                              Таб. №1

Т1 М1 L1	1.058 125 26	1.063 125 26	1.058 125 26	1.062 125 26	1.064 125 26
Т2 М2 L2	1.621 254 26	1.604 254 26	1.629 254 26	1.597 254 26	1.771 254 26
Т3 М3 L3	1.733 387.6 26	1.852 387.6 26	1.830 387.6 26	1.667 387.6 26	1.873 387.6 26

 

4) Примеры расчетов:

Среднее время  падения — среднее арифметическое величин из каждой серии опытов:

t₁ = (1,058+1,063+1,058+1,062+1,064) / 5= 1,061  с;

t₂ = (1,621+1,604+1,629+1,597+1,771) / 5= 1,644  с;

t₃ = (1,733+1,852+1,830+1,667+1,873) / 5= 1,791  с;

Момент инерции  в каждой серии опытов:

I₁= 0,125 × (0,05) ² ( 9,8× 1,061² / 2× 0,26 - 1) = 0,006 кг×м²

I₂= 0,254 × (0,05) ² ( 9,8× 1,644² / 2× 0,26 - 1) = 0,03 кг×м²

I₃= 0,3876 × (0,05) ² ( 9,8× 1,791² / 2× 0,26 - 1) = 0,06 кг×м²

 

5) Расчет погрешности:

Погрешность измерения  можно найти по формуле = |dI / dt| q _t = mr²gt/h₀₍q _t +t/2h₀q _h ) , где q _t=0,001с — систематическая погрешность миллисекундомера, q _h=0,0005м

q ₁= 0,125 × (0,05) ²  × 9,8 × 1,061/0,26(0,001+1,061/2 × 0,26 × 0,0005) =  0,00003  кг×м²

q ₂= 0,254 × (0,05) ²  × 9,8 × 1,644/0,26(0,001+1,644/2× 0,26 × 0,0005)  =  0,0001  кг×м²

q ₃= 0,3876 × (0,05) ²  × 9,8 × 1,791/0,26(0,001+1,791/2 × 0,26 × 0,0005) =  0,0002  кг×м²

 

 

Задание 2 – определить теоретически момент инерции маятника.

 

Момент инерции стержня  маятника относительно его оси равен 

I_c =  Ѕ m_cr² , где m_c = 33,0 г — масса стержня ,  r = 0,5 см — его радиус.

I_c =  Ѕ 0,033 × (0,005)² = 0,0000008 кг×м²

Момент инерции диска  маятника относительно его оси равен

I_д =  Ѕ m_д (R1² + r²), где m_д = 125 г — масса диска ,  R1 = 3,8 см — его радиус.

I_д =  Ѕ 0,125 × (0,038)² = 0,00018 кг×м²

Момент инерции кольца от маятника относительно его оси равен

I_м =  Ѕ m_м (R1² + R2²), где m_м = 125 г — масса кольца ,  R2 = 4,3 см — его радиус.

I_м1 =  Ѕ 0,125 × (0,043)² = 0,00025 кг×м²

I_м2 =  Ѕ 0,254 × (0,043)² = 0,0005 кг×м²

I_м3 =  Ѕ 0,3876 × (0,043)² = 0,0008 кг×м²

Момент инерции маятника равен  I = I_c + I_д + I_м , т.о.

I₁ = 0,0000008 + 0,00018 + 0,00025 = 0,0004 кг×м²

I₁ = 0,0000008 + 0,00018 + 0,0005 = 0,0006 кг×м²

I₁ = 0,0000008 + 0,00018+ 0,0008 = 0,0009 кг×м²

 

 

 

Вывод : Момент инерции маятника Максвелла равен:

I₁ = 0,04 кг×м²     ,    q ₁ =  0,0000  кг×м² .

I₂ = 0,06 кг×м²     ,    q ₂ =  0,0001  кг×м² .

I₃ = 0,09 кг×м²     ,    q ₃ =  0,0002  кг×м² .

 

При этом более точный результат  получился при измерении с  самым легким кольцом .