Механические колебания

Механические колебания

Свободные и вынужденные колебания

Если вывести шарик из положения  равновесия, слегка оттянув его вниз, и отпустить, то он начнет совершать  движения — вверх-вниз, вверх-вниз и  т. д. (рис. 3.1, б). Такого рода движения, при  которых тело поочередно сменяется  то в одну, то в другую сторону, и  называются колебаниями. С течением времени колебания постепенно ослабевают (затухают), и в конце концов шарик остановится.

  Шарик, подвешенный на нити, — это простейший маятник. Вообще же обычно маятником называют подвешенное на нити или закрепленное на оси тело, которое может совершать колебания под действием силы тяжести. При этом ось не должна проходить через центр тяжести тела. Маятником можно назвать линейку, подвешенную на гвоздь, люстру, коромысло рычажных весов и т. д.

Механические колебания — это движения, которые точно или приблизительно повторяются через определенные интервалы времени. Повторяются движения поршней в двигателе автомобиля, поплавка на волне, ветки дерева на ветру, нашего сердца. Все это различные примеры колебаний.

Свободные колебания. Группу тел, движение которых мы изучаем, называют в механике системой тел или просто системой. Напомним, что силы, действующие между толами системы, называют внутренними. Внешними си-чами называют силы, действующие на тела системы со стороны тел, не входящих в нее. Свободными колебаниями называются колебания в системе под действием внутренних сил, после того как система выведена из положения равновесия и предоставлена затем самой себе. Однако с течением времени колебания затухают, так как на тела системы всегда действуют силы сопротивления. Под действием внутренних сил и сил сопротивления система совершает затухающие колебания.

Вынужденные колебания. Для того чтобы колебания не затухали, на тела системы должна действовать периодически изменяющаяся сила. Постоянная сила не может поддерживать колебания, так как под действием этой силы может измениться только положение равновесия, относительно которого происходят колебания. Вынужденными колебаниями называются колебания тел под действием внешних периодически изменяющихся сил.

Условия возникновения свободных  колебаний

Для того, чтобы в системе могли возникнуть свободные колебания, должны выполняться два условия. Во-первых, при им ведении тела из положения равновесия в системе должна возникать сила, направленная к положению равновесия и, следовательно, стремящаяся возвратить тело в положение равновесия. Именно так действует в рассмотренной нами системе (см. рис. 3.3) пружина: при перемещении шарика и влево, и вправо сила упругости направлена к положению равновесия. Во-вторых, трение в системе должно быть достаточно мало. Иначе колебания быстро затухнут. Незатухающие колебания возможны лишь при отсутствии трения.

Математический маятник

Математический маятник — это материальная точка, подвешенная на длинной невесомой и нерастяжимой нити. Математический маятник — модель обычного (реального) маятника, представляющего собой небольшое тело, подвешенное на длинной нити.

Математический маятник свободно колеблется при двух условиях: 1) при выведении его из положения равновесия в системе возникает сила, направленная к положению равновесия; 2) трение в колебательной системе достаточно мало.

Выведем тело маятника (шарик) из положения  равновесия и отпустим. На шарик  будут действовать две силы: сила тяжести   , направленная вертикально вниз, и сила упругости нити -ynp, направленная вдоль нити (рис. 3.5). Конечно, при движении маятника на него еще действует сила сопротивления. Но мы будем считать ее пренебрежимо малой.

ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

Ускорение — вторая производная  координаты по времени. Мгновенная скорость точки, как вам известно из курса математики, представляет собой производную координаты точки по времени. Ускорение точки — это производная ее скорости по времени, или вторая производная координаты по времени. где х" — вторая производная координаты по времени. Согласно уравнению при свободных колебаниях координата х изменяется со временем так, что вторая производная координаты по времени прямо пропорциональна самой координате и противоположна ей по знаку.

Гармонические колебания. Координата тела, совершающего свободные колебания, меняется с течением времени по закону синуса или пасинуса. На рисунке показано изменение координаты точки со временем по закону косинуса.

 Периодические изменения физической величины в зависимости от времени, происходящие по закону синуса или косинуса, называются гармоническими колебаниями.

Амплитуда колебаний. Амплитудой гармонических колебаний называется модуль наибольшего смещения тела от положения равновесия. Амплитуда может иметь различные значения в зависимости от того, насколько мы смещаем тело от положения равновесия в начальный момент времени, или от того, какая скорость сообщается телу. Амплитуда определяется начальными условиями, а точнее энергией, сообщаемой телу.

Период и частота гармонических  колебаний. При колебаниях движения тела периодически повторяются. Промежуток времени Т, за который система совершает один полный цикл колебаний, называется периодом колебаний. Зная период, можно определить частоту колебаний, т. е. число колебаний в единицу времени, например за секунду. Если одно колебание совершается за время Т, то число колебаний за секунду

Число колебаний за 2 с равно:  Величина - циклическая, или круговая, частота колебаний. Если в уравнении время t равно одному периоду, то T = 2 . Таким образом, если в момент времени t = 0 х = хm, то и в момент времени t = Т х = хm, т. е. через промежуток времени, равный одному периоду, колебания повторяются. Частоту свободных колебаний нааынают собственной частотой колебательной системы.

Зависимость частоты и  периода свободных колебаний  от свойств системы.

Собственная частота колебаний  тела тем больше, чем больше жесткость пружины k, и тем меньше, чем больше масса тела m. Это легко понять: жесткая пружина сообщает телу большее ускорение, быстрее меняет скорость тела. А чем тело массивнее, тем медленнее оно наменяет скорость под влиянием силы. Период колебаний равен: Замечательно, что период колебаний тела на пружине и период колебаний маятника при малых углах отклонения не зависят от амплитуды колебаний.

Собственная частота колебаний математического маятника при малых углах отклонения нити от вертикали зависит от длины маятника и ускорения свободного падения:

ФАЗА КОЛЕБАНИЙ

При заданной амплитуде колебаний  координата колеблющегося тела в  любой момент времени однозначно определяется аргументом косинуса или  синуса: Величину , стоящую под знаком функции   косинуса или синуса, называют фазой колебаний, описываемой этой функцией. Выражается фаза в угловых единицах радианах. Фаза определяет при заданной амплитуде состояние колебательной системы в любой момент времени. В этом состоит значение понятия фазы.

ПРЕВРАЩЕНИЕ ЭНЕРГИИ ПРИ  ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЯХ

Превращения энергии в  системах без трения. Смещая шарик, прикрепленный к пружине, вправо на расстояние х_m, мы сообщаем колебательной системе потенциальную энергию:

Полная механическая энергия при  колебаниях тела, прикрепленного к  пружине, равна сумме кинетической и потенциальной энергий колебательной  системы:

Кинетическая и потенциальная  энергии периодически изменяются. Но полная механическая энергия изолированной  системы, в которой отсутствуют  силы сопротивления, сохраняется (согласно закону сохранения механической энергии) неизменной. Она равна либо потенциальной  энергии в момент максимального  отклонения от положения равновесия, либо же кинетической энергии в момент, когда тело проходит положение равновесия:

Затухающие колебания. Свободные колебания груза, прикрепленного к пружине, или маятника являются гармоническими лишь в том случае, когда нет трения. Но силы трения, или, точнее, силы сопротивления окружающей среды, хотя, может быть, и малые, всегда действуют на колеблющееся тело. Колебания при наличии сил сопротивления являются затухающими.

Энергия колеблющегося тела при  отсутствии сил трения сохраняется  неизменной.