Метод кристаллографического индицирования

 

Оглавление

Символы узлов 1

Символы рядов (ребер) 2

Символы плоскостей (граней) 3

индексы Миллера 4

Закон целых чисел 5

 

Для описания кристаллических многогранников и  структур применяется метод кристаллографического индицирования, удобный для всех кристаллографических систем координат независимо от того, прямоугольны они или косоугольные, одинаковые у них масштабные отрезки по осям или разные.

Символы узлов

Если один из узлов решетки  выбрать за начало координат, то любой другой узел решетки определяется радиусом – вектором R = ma + nb + pc, где m, n, р — три числа, которые называют индексами данного узла. Совокупность чисел m, n, р, записанная в двойных квадратных скобках [[mnp]], называется символом узла. Числа в символе пишутся подряд, без запятых, читаются порознь. Запятые ставятся лишь в тех (редчайших) случаях, когда индекс двузначен. Знак минус пишется над цифрой. Например, [[130]] читается «один, три, ноль». На рис. (1, а) показаны символы нескольких узлов в косоугольной плоской сетке . (7,б) — символы вершин, центров граней и центра элементарной ячейки.

Рис.1

                   

 

Символы рядов (ребер)

Ряд, или узловая прямая, а также ребро кристаллического многогранника характеризуются наклоном в выбранной системе координат. Если ряд не проходит через начало координат, мысленно сдвинем его параллельно самому себе так, чтобы он прошел через начало координат. Мы всегда имеем право на такой параллельный перенос, потому что все параллельные направления в кристалле равнозначны.

Тогда направление ряда определится  двумя точками (началом координат и любым узлом ряда). Символ этого узла принимают за символ ряда и пишут в квадратных скобках [mnр]. Очевидно, этот символ характеризует семейство параллельных рядов, а также и параллельные ребра кристаллического многогранника.

Грани кристалла, пересекающиеся по параллельным ребрам, образуют пояс, или зону, а общее направление этих ребер называется осью зоны. Символ [mnр] характеризует ось зоны.

 

                                                

Символы плоскостей (граней)

Плоские сетки в пространственной решетке и соответствующие им грани кристаллического многогранника  тоже характеризуются наклоном в  заданной системе координат. Любая  грань кристалла параллельна какой-либо плоской сетке, а значит, бесконечному числу параллельных ей плоских сеток.

Параметры Вейсса индексы Миллера

Серию отношений рациональных чисел для всех параллельных плоскостей можно представить как отношение целых взаимно простых чисел m:n:p, так называемых параметров Вейсса.

В кристаллографии принято  характеризовать плоскости (или нормали к ним) не параметрами, а так называемыми индексами Миллера.                  Индексы Миллера — это величины, обратные параметрам Вейсса, приведенные к целым числам.

Числа h, k, I называются индексами плоскости; индексы, написанные подряд и заключенные в круглые скобки, — (hkl) называют символом плоскости.

Символом (hkl) характеризуется вся совокупность параллельных плоскостей. Этот символ означает, что система параллельных плоскостей рассекает отрезок а на h частей, b на k частей и c на l частей, т. е. отсекает на осях координат отрезки a/h, b/k, l/c. Значит, чтобы построить плоскость (hkl), надо нанести на осях координат эти отрезки и провести через них плоскость. В общем виде, уравнение плоскости (hkl) и всего семейства параллельных ей плоскостей будет

hx + ky + lz = N

где N—всегда целое число, h, k, I — взаимно простые, целые числа. Для плоскости, проходящей через начало координат, N — 0; для плоскости, ближайшей к началу координат, N= 1.

Запишем уравнение плоскости ABC в параметрической форме:

Ах + By +Cz = Ny

 

Величины h, k, I обратно пропорциональны длинам отрезков, отсекаемых этой плоскостью на осях координат.

 

                               Рис. 4

 Если плоскость параллельна оси координат, т. е. пересекается с этой осью в бесконечности, то индекс плоскости по этой оси будет 1/∞ = 0 (рис. 4).

Метод описания граней и  ребер кристалла с помощью индексов и символов был установлен задолго до того, как на опыте была доказана решетчатая структура кристалла. Он основывался на замечательном эмпирическом законе кристаллографии — законе целых чисел.

Закон целых чисел

Для пояснения закона, за оси координат выберем направления трех непараллельных ребер кристаллического многогранника, а за единицы измерения (параметры) по этим осям — отрезки, отсекаемые на них какой-либо гранью кристалла, принятой за «единичную» Пусть «единичная» грань отсекает на осях координат отрезки ОА, ОВ, ОС.

Закон целых чисел, установленный  Гаюи (1819), утверждает: для любых двух граней реального кристалла двойные отношения параметров равны отношению малых целых, чисел, т. е.

ОА'/ОА : ОВ'/ОВ : ОС'/ОС = p:q:r                                                            где р, q, г — целые, взаимно простые и для реальных кристаллов малые числа.

Этот закон называется также законом рациональных отношений или законом рациональности параметров.

Плоскость А'В'С' может быть гранью кристалла только если отрезки OB', ОС', ОА', отсекаемые ею на осях координат, и «единичные» отрезки ОА, ОВ, ОС связаны соотношением. Именно поэтому на растущем кристалле появляются только грани определенного наклона, характерного для данного вещества.

Иначе говоря, на кристаллическом  многограннике образуются лишь такие грани, для которых двойные отношения отрезков, отсекаемых данной гранью и «единичной» гранью на трех ребрах кристалла, принятых за оси координат, равны отношению небольших целых, взаимно простых чисел.

Грани, для которых отношение p:q :r т является иррациональным, невозможны в реальном кристалле. Как правило, р, q, г — числа, не превышающие 5. Если эти числа будут целые, но большие 5, то грань возможна, но ее появление маловероятно.

Таким образом, согласно закону Гаюи, наклон всякой грани кристалла можно определить тремя целыми числами, если за оси координат выбрать направление трех ребер кристалла, а за параметры — отрезки, отсекаемые на этих осях одной из граней кристалла.

Закон Гаюи был установлен на основании изучения многогранных форм природных кристаллов, но в нем с замечательной интуицией были подмечены закономерности кристаллической структуры. Нетрудно видеть, что закон целых чисел истолковывается просто и наглядно, если знать (как это известно теперь), что ребра кристалла соответствуют рядам решетки, а грани— плоским сеткам. Если за оси координат выбраны те ребра кристалла, которые соответствуют трем элементарным трансляциям (ребрам элементарной ячейки), то двойные отношения отрезков определяют (с точностью до целого множителя) тот же символ Миллера грани (hkl).

На рис. 5 показаны символы  некоторых плоскостей в плоской сетке (индекс по оси Z равен нулю). Здесь нетрудно подметить характерную особенность, общую для любых структур: чем проще символ плоскости (т. е. чем меньше значения индексов), тем больше ретикулярная плотность этой плоскости. Плоскости с большими индексами обладают малой ретикулярной плотностью. Поскольку общее число узлов в единице объема для каждой данной структуры постоянно, расстояния между параллельными плоскостями должны быть тем больше, чем больше ретикулярная плотность этих плоскостей. Таким образом, плоскости с малыми индексами имеют большую ретикулярную плотность и большие межплоскостные расстояния. Именно эти плоскости чаще всего встречаются на реальных кристаллах (закон Бра- вэ).

                            Рис.5

Итак, любую кристаллографическую плоскость и любую грань кристалла  можно определить целыми числами— индексами Миллера, которые представляют собой:

 коэффициенты в уравнении  плоскости, написанном в параметрической форме (при условии, что координаты выражены в относительных единицах х/а, у/b, z/с), или

 1.величины, обратно пропорциональные отрезкам, отсекаемым плоскостью на осях координат, или

 2.величины, пропорциональные двойным отношениям осевых отрезков согласно закону прямых чисел.