Метод Монте Карло. Некоторые сведения из теории вероятности и матстатистики, статистической физики и термодинамики. Цепи Маркова. Реализа

Алгоритм Метрополиса

- рассчитывается энергия  взаимодействия начальной конфигурации;

• случайным образом изменяется положение и ориентация одной из частиц

                    Dxi = Hi (2xi -1);       ji (N) = xi j (0)  

   где Dxi - величина сдвига по i-й координате, ji(N)- угол поворота частицы вокруг центра масс, x - случайное число между 0 и 1; Hi - максимальный шаг по i-й координате (i =1,2,3), j(0) - максимальный угол поворота;

- рассчитывается энергия  пробной конфигурации UN;

• если изменение энергии в результате сдвига и поворота выгодно (DUN-1 < 0), то пробная конфигурация включается в последовательность;
• если изменение энергии невыгодно (DUN-1 > 0), то переход в новое состояние определяется результатом сравнения одношаговой вероятности перехода p = exp(DUN-1/kТ) со случайным числом x’, лежащим в промежутке 0,1;
• если p < x’ - повторяется предыдущая конфигурация;
• если p > x’ - пробная конфигурация принимается.

Начальное состояние Аi1 может выбираться произвольно и поэтому сильно отличается от состояний, дающих основной вклад в сумму для вычисления средних. Поэтому начальный участок может оказаться нестационарным.

Это можно увидеть, вычисляя с помощью так называемых частичных средних                  на

относительно коротких (порядка сотни) испытаний от всей последовательности М. Исходя из значений вычисленной функции (физической величины) на каждом из таких участков, вычисляем среднеквадратичные флуктуации:

На начальных участках траектории цепи Маркова значения частичных средних могут систематически увеличиваться или уменьшаться. Эту часть траектории принято называть нестационарным участком. При дальнейшей генерации траектории величины частичных средних прекращают систематически изменяться и флуктуируют вокруг некоторого среднего уровня. Эту часть траектории принято называть стационарным участком.

Вычисление частичных средних называют методом контрольной карты. Такой метод позволяет определить выход траектории цепи Маркова на стационарный участок. Нестационарный участок исключают из вычисления средних для т/д величин. Для вычисления различных т/д величин длина нестационарного может оказаться разной. Стационарный участок соответствует равновесному распределению системы по состояниям.

Рассмотрим, сколько частиц реально необходимо (как минимум) учитывать при вычислении т/д может дать при рассмотрении относительно небольшого объема  относительно небольшую погрешность вычисления средних (как определяется статистическая погрешность?). При однократном наблюдении погрешность порядка N-1|2 , где N - число частиц. Но, усредняя по всей последовательности наблюдений, можно определить среднюю плотность частиц в данном объеме, среднюю энергию, приходящуюся на 1 частицу и т.д. Причем, эти значения получатся достаточно точными и не будут зависеть от размера выбранного объема. Важно, что для достижения наименьшей статистической погрешности при меньшем объеме надо усреднять по более длинной последовательности. То есть, наблюдение за системой из относительно малого числа частиц в принципе не препятствует получению точных значений т/д величин.

Погрешность, вносимая поверхностными эффектами при рассмотрении относительно небольших систем порядка N-1|3. Такую погрешность можно уменьшить наложением периодических граничных условий. Для этого все трехмерное пространство разбивается на ячейки объема V с N частицами в каждом. Для простоты ячейки выбираются в виде куба. Иногда это могут быть цилиндры и т.п. Одна из ячеек называется основной (так называемая МК-ячейка). Имеющаяся в ней конфигурация частиц и изменение их координат в процессе генерации последовательности состояний системы для вычисления средних при переходах повторяются во всех остальных ячейках так, что смещение всей системы на расстоянии длины ребра куба основной ячейки ничего не меняет в общей конфигурации системы. В этом случае говорят о частицах основной системы и их образах в остальных ячейках. Если одна из частиц основной (МК-ячейки) выходит из этой ячейки через определенную грань и занимает некоторое положение в новой ячейке, то одновременно ее образ из соседней ячейки входит в основную ячейку через противоположную грань и занимает сходное положение. Аналогичные перемещения происходят во всех остальных ячейках. В основной ячейке остается N частиц. Таким образом, хотя речь идет о неограниченной системе, надо следить только за координатами и их изменениями в основной ячейке, т.к. ими заданы все остальные изменения.