Неподвижные блоки

                                                   Контрольная работа № 1

211. Через неподвижный блок, имеющий вид сплошного диска, массой 0,1 кг перекинута тонкая нерастяжимая нить, к концам которой подвешены грузы с массами 100 г и 200 г. Определить ускорения, с которыми будут двигаться грузы, если предоставить их самим себе. Трением в блоке, проскальзыванием нити относительно диска и массой нити пренебречь.

 

 

 

 

 

 

Дано:

m _б=0.1 кг

m₁=100 г=0,1 кг

m₂=200 г=0,2 кг

 

                                    

а=?

Решение:

основное ур- е динамики

mg+ T= ma

тогда:       m₁- T₁=-m₁a                                                                           (1)

                 m₂- T₂= -m₂a                                                                           (2)

Под действием моментов 2х сил T₁r и T₂r относительно оси, направленной перпендикулярно плоскости чертежа, блок приобретает угловое ускорение .

    Согласно основному  уравнению динамики вращательного  движения

z- a моментов= S .

-угловое ускорение

Тогда: T₂r*-T₁*r= I_z

= a/ r;   I_z =1/2mr²     -момент инерции блока

Согласно 3 закону Ньютона:

Т₁=Т₁*; Т₂=Т₂*  подставим b(1) и (2):

      m₁g- T₁*= -m₁a

      m₂g-T₂*=m₂a

      T₁*=m₁g+m₁a; T= m₂g- m₂a  -подставим в (3)

(m₂g-m₂a)r- (m₁g+m₁a)r= m_б r²a/ 2r

r²((m₂g-m₂a)-(m₁g+m₁a))=m_б r²a/2

m₂g-m₂a-m₁g-m₁a=a m_б/2

m₂g- m₁g=a m_б/2+a(m₂+m₁)

m₂g- m₁g=a(m_б/2+m₂+m₁)

 

 

212. Найти работу А подъёма груза по наклонной плоскости длиной l = 2 м, если масса т груза равна 100 кг, угол наклона j = 30°, коэффициент трения f = 0,1 и груз движется с ускорением а = 1 м/с².

 

 

Дано:

l=2 м

m=100 кг

j = 30°

f = 0,1

а = 1 м/с²

A=?

Решение:

A=F∙l, F+N+mg+Fтр=mg

x:       F- Fтр-mg sinφ=ma

         N-mg cosφ=0

        F=ma+mg+ fmg cosφ

         A=ml(a+g+ fg cosφ)=1.35 кДж

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

213. Платформа в виде диска вращается вокруг вертикальной оси, совершая 14 об/мин. На краю платформы стоит человек. Когда он перешёл в центр платформы, число оборотов увеличилось до 25 об/мин. Определить массу платформы, если масса человека составляет 70 кг. Человека рассматривать как материальную точку.

 

 

 

 

m=70 кг ω1=14об/м ω2=25об/м	Закон сохранения момента импульса J1*ω1=J2*ω2, или учитывая что ω=2πr , J1*r1=J2*r2. 1) Момент инерции J1=j1+j2, где j1= - момент инерции диска j2= - момент инерции человека 2) Момент инерции J2=j3+j4, где j3=j1= , а j4=0, т.к. расстояние между осью и человеком стало равно 0 => =>    =210кг
М=?

 

 

 

 

 

214.Пружина жесткостью 500 Н/м сжата силой 100 Н. Определить работу внешней силы,        необходимую для дополнительного сжатия пружины еще на 2 см.

 Дано:

k = 500 Н/ м

F= 100 Н

Δ l= 2 см = 0,02 м

А-?

Решение: 

Найдем расстояние на которое сжата пружина силой F

∆l₀=F/k

Тогда работа сжатия пружины на ∆I₀:

A₁=k/2∙(∆l₀)²=k/2∙(F/k)²=F²/ 2k

А на (∆l+∆l₀)

A₂= k/2(∆l+∆l₀)²= k/2 (∆l+ F/k)2

Следовательно работа сжатия на ∆I:

A=A2-A1=k/2∙(∆l+ F/k)²-F²/2k=k/2(∆I²+2∙∆I∙ F/k+(F/k)²)- F²/2k=k/2∙∆I²+

+∆I∙F=500/2∙(0.02)²+0.02∙100=2.1 Дж

 

 

215.    Мальчик  катит обруч по горизонтальной  дороге со скоростью 5,4 км/час. На какое  расстояние может вкатиться обруч на горку за счет своей кинетической энергии ? Уклон  горки 10 м на каждые 100 м пути.

 

Дано:

V=5.4 км/ч

l=100 м 

h=10 м

S=?

Решение:

У основания горки обруч обладал кинетической энергией Wk, которая складывалась из кинетической энергии поступательного движения кинетической энергии вращения.

  Когда обруч вкатился на горку на расстояние S, его кинетическая энергия перешла в потенциальную W_k= W_n

Wn=mgH

   Момент инерции обруча J=mR²,

Частота вращения  

Тогда  

mV²=mgH, откуда H=V²/g, из рисунка видно, что h/H=l/S,

откуда S=Hl/h или м

 

 

 

 

216. Точка совершает гармонические колебания вдоль оси X. В некоторый момент смещение точки от положения равновесия 5 см, проекция её скорости равна 30 см/с, а проекция ускорения равна a_x = -80 см/с² ? Написать уравнение этих колебаний.

 

Гармонические колебания  – х=A*Sin ωt

(A - амплитуда, ω –угловая частота)

Скорость  

ускорение  

В рассматриваемый момент времени  :

   (1)

   (2)

   (3)

Делим (3) на (1)   

Откуда 

 (4)           (из тригонометрии)

Подставляем (4) в (2), возведенное в квадрат:

 (5)

Из (1) , подставляем это в (5):

      или:

Сокращаем на А²: 

Откуда 

Извлекаем корень: 

Итак уравнение 

 

 

217. Кислород в количестве 0,2 моля находится в сосуде объемом 2·10^-3 м³. Какова концентрация молекул кислорода в сосуде?

 

Дано:

V=2∙ 10^-3 м³

ν=0,2 моль

n= ?

 

Решение:

Кол- во в- ва, или кол- во молекул в данной массе в- ва

N=νN_a                                                                                                           (1)

Где, N_a=6.02∙10²³ моль^-1- число Авагадро. По определению концентрацию молекул в данном объеме равна      n=N/V                                                (2)

Подставляем (1) во (2)

n= νN_a/ V=(0.2∙6.02∙10²³)/ (2∙10^-3)= 6∙10²⁵  1/м³

 

 

 

 

 

 

 

 

218. В сосуде объемом 2 л находится 200 г азота под давлением 10⁴  Па. Найти среднюю квадратичную скорость молекул газа и его плотность.

 

 

Дано: ʋ_кв=√3RT/M                         (1)

V=2л=2∙10^-3кг 1)для нахождения температуры воспользуемся ур-

m=200г=2∙10^-4 ем Менделеева-клайперона

P=104 Па PV=m/M∙RT, из которого определим

N₂ азот T=PVM/mR                          (2)

ʋ_кв, ρ=?

Подставив выражение (2) в ур-е сред. Скорости (1)

получим

 

 

 

2)ρ=m/V=2∙10^-4/2∙10^-3=0.1 кг/м³