Обработка результатов экспериммента

Здравствуйте, тема моей дипломной работы – исследование компьютерных методов обработки  результатов физического эксперимента.

Базовые умения в  экспериментальной деятельности закладываются  еще в школе, но несмотря на то, что в программах по физике для общеобразовательной школы эксперимент представлен (или должен быть представлен) достаточно широко, результаты обучения школьников экспериментированию оцениваются как невысокие. Один из неудовлетворительных результатов обучения состоит в том, что у большинства учащихся складывается неверное мнение об эксперименте как о методе очень простом, даже банальном. Дескать, в эксперименте истина открывается сразу, во всей полноте и без особых затрат труда. Более того, часто она известна

заранее, еще до постановки опытов (т. е. априори). Если же затруднения и возникают, то виноваты в этом «плохие» школьные приборы. Само выполнение эксперимента сводится, главным  образом, к выполнению внешне двигательных действий согласно подробной инструкции проведения опыта.

На самом деле, это, конечно, не так.

Зачастую в эксперименте возникают непреодолимые математические трудности, и тогда экспериментатор  вынужден упрощать задачу, выбирать доступный  способ ее приближенного решения. Таким  образом, эксперимент — это количественный метод исследования, в эксперименте физические величины определяются не только качественно, но и количественно путем измерения. Однако следует помнить, что в силу действия множества причин, никакое измерение нельзя выполнить абсолютно точно. Это закон природы, не имеющий исключений. С другой стороны, всякая теория описывает и объясняет действительность лишь приближенно. Окружающая нас действительность столь сложна и многогранна, что никакая теория не может отразить ее во всей полноте. Таким образом, данные теории и эксперимента никогда не совпадают с абсолютной точностью.

Работа экспериментатора, как было уже сказано, обязательно  содержит этап математической обработки  результатов проведения измерений. Современная научно-исследовательская  аппаратура имеет процессоры и сопряжение с персональными  компьютерами, что  позволяет автоматизировать определенные этапы математической обработки  получаемой информации. Этот процесс  облегчает технику вычисления, но требует от исследователя принципиального  знания используемых методов, их достоинства, недостатки и границ их применимости. Именно поэтому в своей дипломной  работе я начинаю с рассмотрения теоретических основ обработки  результатов эксперимента, а лишь потом перехожу к непосредственным методам компьютерной обработки.

Таким образом, перед  юным экспериментатором возникают  проблемы – современная средняя  школа не дает специальных знаний по прикладной математике, достаточных  для грамотной обработки результатов; серьезные учебные пособия требуют  предварительной подготовки по разделам высшей математики в пределах нескольких семестров вузовского курса;  специализированные программные пакеты для обработки  экспериментальных результатов  предполагают определенный уровень  начальной математической подготовки пользователя, а без нее это  всего лишь бессмысленная подстановка.

При изучении темы моей работы, я поставил главную цель  - выделить главные аспекты которые помогли бы в решении проблем, как школьникам, так и студентам.  Компьютерные методы обработки результатов физического эксперимента способны повышению наглядности обучения, поднимают познавательную активность, реализуют творческий потенциал, позволяют глубже понять сущность физического явления, обучают решать задачи с применением современных средств вычислительной техники.

За основу я взял среду MS EXCEL, это обуславливается несколькими соображениями.

Программное обеспечение стоит практически везде, будь то дом, школа или ВУЗ.

Обучение работы в табличном редакторе начинается в школе и продолжается в ВУЗе.

Электронные таблицы  позволяют использовать статистические методы, ранее доступные лишь узкому кругу математиков, широкому кругу  людей. 

Как правило, эксперимент  сопряжен с многократным измерением той или иной величиной, в результате чего необходимо оценить получившийся массив данных. Итак, выделим основные задачи – отыскание величины максимально  приближенной к истиной, нахождение отклонения экспериментальных данных, исследование зависимости между рядом величин, оформление результатов в удобном и наглядном виде.  

Пример расчета  погрешности 

Пусть в эксперименте измеряли линейные размеры параллелепипеда  с целью определить его объем. Высота h, длина a и ширина b измерялись по 3 раза с помощью штангенциркуля с ценой деления нониуса 0,1 мм.  В  результате  чего  были  получены  следующие  результаты

Расположим эти  данные в электронной таблице MS Excel в столбцах A, B и C (рис. 30). Оставив место на поясняющие подписи, в ячейках A7, B7 и C7 вычислим соответствующие средние арифметические значения. Для этого в ячейку A7 записываем  СРЗНАЧ(=A2:A4) и протягиваем ее на ячейки B7 и C7.

Для расчета среднеквадратичного  отклонения каждой из измеренных  величин  необходимо  просуммировать  квадраты  разности  между каждым измеренным значение и  средним арифметическим. Например, для величины a нужно найти  значение

  это измеренные  значения.  Используем  для этого встроенную  функцию

КВАДРОТКЛ. В ячейке A9 запишем :   КВАДРОТКЛ(A2:A4)

Среднеквадратичное  отклонение    вычисляется следующим образом:

Так  как  сумма  квадратов уже посчитана в  ячейке A9, то для вычисления среднеквадратичного  отклонения необходимо вычислить корень из значения A9 деленного на 6:  КОРЕНЬ(=A9/6) Запишем эту формулу в ячейку A10. Выделив  и  протянув  ячейки  A9  и  A10  вправо,  получим  сумму квадратов и среднеквадратичное отклонение для двух других измеренных в эксперименте величин

Далее  необходимо  рассчитать  случайную  погрешность,  которая для величины a вычисляется  по формуле 

где tαn – коэффициент  Стьюдента. Для n = 3 (три измерения) и  доверительной вероятности α = 0,95 получим коэффициент Стьюдента в ячейке C12   СТЬЮДРАСПОБР(1-0,95;3-1) А в ячейках A13, B13, C13 рассчитаем случайные погрешности для величин a, b, h, соответственно :

=A10*C12

=B10*C12

=C10*C12

В этом эксперименте все три величины a, b, h измерялись одним и тем  же  прибором штангенциркулем  с  ценой  деления  нониуса d = 0,1 мм. Поэтому погрешность однократных  измерений Δои всех трех величин будет одинаковой  и рассчитывается  с учетом  доверительной вероятности α = 0,95 как   ΔОИ = d ⋅ α = 0,1 ⋅ 0,95 = 0,095 (мм). 

Данную величину нетрудно рассчитать в уме, но для  большей наглядности также внесем эти вычисления в электронную  таблицу: цену деления  прибора  d – в ячейку  B14,  доверительную  вероятность α – в ячейку B15, а результат вычисления ошибки однократных  измерений по формуле =B14*B15 – в  ячейку C16  

Для  каждой  измеряемой  величины  необходимо  рассчитать  полную  погрешность.  Для  величины  a  это  следует  сделать  по  формуле 

Запишем эту формулу  в ячейку A18 в виде:  КОРЕНЬ(A13^2+$C16^2) В ячейке C16, в которой расположена погрешность однократных измерений,  зафиксируем  номер  строки  и  протянем  вправо (по  столбцам), чтобы получить погрешность Δb и Δh измерений двух других величин b и h.

<V> = <a> ⋅ <b> ⋅ <h>.

Запишем эту формулу  в ячейку B20 в виде:  =A7*B7*C7

Погрешность  объема  рассчитывается  по  формуле 

Все необходимые  для расчета по этой формуле значения расположены в таблице следующим  образом: <a> – в ячейке A7, <b> – в ячейке B7, <h> – в ячейке C7, <V> – в ячейке B20, Δa – в ячейке A18, Δb – в ячейке B18, Δh – в ячейке C18. Поэтому в ячейку F20 запишем формулу для расчета погрешности объема в виде:  =B20*КОРЕНЬ((A18/A7)^2+(B18/B7)^2+(C18/C7)^2)

 

Относительная погрешность (в процентах):

 

Эту формулу запишем  в ячейку F21 в виде :  =F20/B20*100

Согласно  результатам  вычислений  окончательный  результат  необходимо округлить до десятков (до первой значащей цифры в погрешности) и записать в виде:   V = (2410±70) мм3.

Таким образом, можно  организовать, казалось бы, простой  эксперимент, заключающийся в перемножении трех величин.  

Но метод компьютерной обработки, служит не только для механической работы выше изложенного типа, но и помогает анализировать связь экспериментальных  данных.

Предлагаю рассмотреть     Изучение закона Ома для полной цепи.   

 Закон Ома для полной цепи имеет вид   

      I = E/(R+r)  

где R-сопротивление  нагрузки, Е-эдс  источника тока, а r-его внутреннее сопротивление.  

Представим (1) в виде линейной функции   

         1/I = (1/E) R + r/E   

         (  y  =  a x   +    b )

Найдем постоянные параметры зависимости 1/I =F(R) и рассчитаем по ним оптимальные значения Е и r  исследуемого источника тока.

Задаем столбец  со значением R и столбец с измеряемым I. 
 
 
 
 

R	I
1,00	1,7257
2,00	1,5966
3,00	1,4434
4,00	1,4079
5,00	1,2752
6,00	1,195
7,00	1,1243
8,00	1,0508
9,00	1,0254
10,00	0,9548
11,00	0,9273
12,00	0,8849
13,00	0,8131
14,00	0,787
15,00	0,7554
16,00	0,7483
17,00	0,6993
18,00	0,7014
19,00	0,6772
20,00	0,6291
21,00	0,6149
22,00	0,5777
23,00	0,5891
24,00	0,5717
25,00	0,539
26,00	0,5398
27,00	0,5046
28,00	0,5013
29,00	0,4787
30,00	0,4857
31,00	0,4738
32,00	0,4444
33,00	0,4562
34,00	0,4458

 

Построим точечный график, где сразу же отметим линию тренда и коэффициент корреляции, все это уже заложено в Exsel 
 

Тем самым мы можем  найти ЭДС источника Е=1/a и его внутреннее  сопротивление r=b*E.

E=19,23392864

r=10,08451553

значение R² говорит нам, что функция действительно приближенна к линейной зависимости.

Но стоит отметить, как выглядело бы это вручную.

Построение  линейной  регрессии  сводится  к  оценке  ее  параметров  a,  b.

Классический  подход  к  оцениванию  параметров линейной  регрессии  основан на методе наименьших квадратов (МНК).

Коэффициенты, определяемые на основе МНК, являются решением системы  уравнений  

      

Решая эту систему уравнений, получим  

Далее для удобства заполняется таблица, а

коэффициенты a, b вычислим по формулам соответственно.

На основе результатов  полученных в E и r рассчитаем и построим график  зависимости мощности, выделяемой на сопротивлении от его величины: т.е.   N=N(R). 

Где N=R*I²

Полученные результаты запишем в таблицу.     

R	I	Iтеор	ОшI	Nэксп	Nтеор
1,00	1,7257	1,73521	9E-05	2,978	3,0109
2,00	1,5966	1,59162	3E-05	5,0985	5,0665
3,00	1,4434	1,46998	0,0007	6,2503	6,4825
4,00	1,4079	1,36561	0,0018	7,9289	7,4595
5,00	1,2752	1,27508	8E-09	8,1303	8,1291
6,00	1,195	1,1958	7E-07	8,5677	8,5797
7,00	1,1243	1,12581	2E-06	8,8477	8,8721
8,00	1,0508	1,06356	0,0002	8,8341	9,0492
9,00	1,0254	1,00783	0,0003	9,4629	9,1415
10,00	0,9548	0,95765	8E-06	9,1159	9,1709
11,00	0,9273	0,91223	0,0002	9,4582	9,1538
12,00	0,8849	0,87092	0,0002	9,3972	9,1021
13,00	0,8131	0,8332	0,0004	8,5947	9,0248
14,00	0,787	0,7986	0,0001	8,6718	8,9287
15,00	0,7554	0,76677	0,0001	8,5599	8,8189
16,00	0,7483	0,73737	0,0001	8,9583	8,6994
17,00	0,6993	0,71014	0,0001	8,3123	8,5732
18,00	0,7014	0,68486	0,0003	8,8562	8,4426
19,00	0,6772	0,66131	0,0003	8,7124	8,3093
20,00	0,6291	0,63933	0,0001	7,9153	8,1749
21,00	0,6149	0,61876	2E-05	7,9398	8,0402
22,00	0,5777	0,59948	0,0005	7,3433	7,9062
23,00	0,5891	0,58136	6E-05	7,9807	7,7735
24,00	0,5717	0,5643	5E-05	7,8437	7,6425
25,00	0,539	0,54822	9E-05	7,2622	7,5135
26,00	0,5398	0,53302	5E-05	7,5769	7,387
27,00	0,5046	0,51865	0,0002	6,875	7,263
28,00	0,5013	0,50503	1E-05	7,037	7,1416
29,00	0,4787	0,49211	0,0002	6,6444	7,023
30,00	0,4857	0,47983	3E-05	7,0776	6,9072
31,00	0,4738	0,46816	3E-05	6,9602	6,7942
32,00	0,4444	0,45703	0,0002	6,3195	6,6841
33,00	0,4562	0,44642	1E-04	6,8672	6,5767
34,00	0,4458	0,4363	9E-05	6,7567	6,4721