Обыкновенные ДУ и системы ДУ

Контрольная работа №7

 

Обыкновенные ДУ и  системы ДУ

 

3) а) Найти ч/р ДУ.

;

 

Решение: Данное ДУ допускает разделение переменных. Разделяем переменные:

 

Интегрируем:

 

Ответ: ч/р:

 

 

б) Найти о/р уравнения.

 

Решение: Данное ДУ является однородным, проведем замену:

Обратная замена:

Ответ: о/и: , о/р:

 

в) Найти о/р ДУ.

 

Решение: Данное ДУ является линейным, проведем замену:

Решим систему:

Из первого уравнения найдем :

 – подставим во второе  уравнение:

Таким образом:

 

Ответ: о/р:

 

13) Найти ч/р ДУ, соответствующее  заданным начальным условиям.

; ;

 

Решение: Найдем о/р соответствующего однородного уравнения:

Характеристическое уравнение:

 –различные действительные  корни, поэтому о/р: .

Контрольное число правой части  является корнем характеристического уравнения, поэтому ч/р неоднородного уравнения ищем в виде: .

Подставим , и в левую часть неоднородного уравнения:

Таким образом: .

О/р неоднородного уравнения:

Найдем ч/р, соответствующее заданным начальным условиям:

 

Ответ: ч/р:

 

23) Найти ч/р системы линейных ДУ, соответствующее заданным начальным условиям.

; ;

 

Решение: Выразим их второго уравнения системы :

   (*)

Дифференцируем по :

.

Подставим и в первое уравнение:

Найдем о/р соответствующего однородного  уравнения:

Характеристическое уравнение:

– сопряженные комплексные корни, поэтому о/р: .

Очевидно, что ч/р неоднородного  уравнения: .

Таким образом:

Дифференцируем по :

Подставим и в уравнение (*):

о/р системы:

Найдем ч/р, соответствующее заданным начальным условиям:

 

Ответ: ч/р: