Оценка погрешностей результатов измерений

.                                                              (8)

4. Находятся абсолютные погрешности отдельных измерений
5. Вычисляются квадраты абсолютных погрешностей отдельных измерений (Δх_i)²
6. Определяется средняя квадратичная ошибка среднего арифметического

.

7. Задается значение доверительной вероятности α. В лабораториях практикума принято задавать α=0,95.
8. Находится коэффициент Стьюдента для заданной доверительной вероятности α и числа произведенных измерений (см.табл.)
9. Определяется случайная погрешность

.

10. Определяется суммарная погрешность

.

11. Оценивается относительная погрешность результата измерений

.

12. Записывается окончательный результат в виде

, с  α=… Е=…%.

 

5. Погрешность косвенных измерений

 

При оценке истинного значения косвенно измеряемой величины , являющейся функцией других независимых величин , можно использовать два способа.

Первый способ используется, если величина y определяется при различных условиях опыта. В этом случае для каждого из значений вычисляется , а затем определяется среднее арифметическое из всех значений y_i

.                                                             (9)

Систематическая (приборная) погрешность находится на основании известных приборных погрешностей всех измерений по формуле. Случайная погрешность в этом случае определяется как ошибка прямого измерения.

Второй способ применяется, если данная функция  y определяется несколько раз при одних и тех же измерений. В этом случае величина рассчитывается по средним значениям . В нашем лабораторном практикуме  чаще используется второй способ определения косвенно измеряемой величины y. Систематическая (приборная) погрешность, как и при первом способе, находится на основании известных приборных погрешностей всех измерений по формуле

.                                                             (10)

Для нахождения случайной погрешности косвенного измерения вначале рассчитываются средние квадратичные ошибки среднего арифметического отдельных измерений. Затем находится средняя квадратичная ошибка величины y. Задание доверительной вероятности α, нахождение коэффициента Стьюдента , определение случайной и суммарной ошибок осуществляются так же, как и в случае прямых измерений. Аналогичным образом представляется результат всех расчетов в виде

, с α=… Е=…%.

 

 

6. Пример оформления лабораторной работы

 

Лабораторная работа №1

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОБЪЕМА ЦИЛИНДРА

Принадлежности: штангенциркуль с ценой деления 0,05 мм, микрометр с ценой деления 0,01 мм, цилиндрическое тело.

Цель работы: ознакомление с простейшими физическими измерениями, определение объема цилиндра, расчет погрешностей прямых и косвенных измерений.

 

Порядок выполнения работы

Провести не менее 5 раз измерения  штангенциркулем диаметра цилиндра, а микрометром его высоту.

Расчетная формула для вычисления объема цилиндра

 

, 

где d – диаметр цилиндра; h – высота.

 

Результаты измерений

                                                                        Таблица 2.

№ измерения	d,  мм	мм	мм2	h, мм	,  мм	,  мм2
1	50,15	0	0	12,32	0,05	0,025
2	50,10	0,05	0,025	12,34	0,03	0,09
3	50,20	0,05	0,025	12,41	0,04	0,016
4	50,25	0,10	0,0100	12,36	0,01	0,01
5	50,05	0,10	0,0100	12,42	0,05	0,025
Ср.	50,150

 

1. Вычисление среднего  значения искомой величины. По вычисленным средним значениям диаметра и высоты цилиндра определим среднее значение объема цилиндра

Оценка погрешностей измерения

2.Вычисление систематической  (приборной) погрешности

Приборные погрешности прямых измерений

, 

Систематическая погрешность при  измерении объема

;  .

 

3. Вычисление случайной погрешности. Средне квадратичные погрешности среднего арифметического

;  ;

, .

Средняя квадратичная ошибка среднего арифметического значения

;

Доверительная вероятность

Коэффициент Стьюдента

Случайные погрешности прямых измерений 

; ,

; .

Случайная погрешность объема цилиндра

; .

4. Вычисление суммарной  погрешности

Абсолютная погрешность

 ;    .

5. Относительная погрешность,  или точность измерений

; Е = 0,5%.

6. Запись окончательного результата

Окончательный результат для исследуемой  величины записывается в виде

 , Е = 0,5%.

 

Примечание. В окончательной записи число разрядов результата и абсолютной погрешности должно быть одинаковым.

 

6. Графическое представление  результатов измерений

 

Результаты физических измерений  очень часто представляют в графической  форме. Графики обладают рядом важных преимуществ и ценных свойств:

а) дают возможность определить вид  функциональной зависимости и пределы, в которых она справедлива;

б) позволяют наглядно проводить  сравнение экспериментальных данных с теоретической кривой;

в) при построении графика сглаживают скачки в ходе функции, возникающие за счет случайных ошибок;

г) дают возможность определять некоторые  величины или проводить графическое  дифференцирование, интегрирование, решение  уравнения и др.

 

Общие рекомендации по построению графиков

 

Графики, как правило, выполняются  на специальной бумаге (миллиметровой, логарифмической, полулогарифмической). Принято по горизонтальной оси откладывать независимую переменную, т.е. величину, значение которой задает сам экспериментатор, а по вертикальной оси – ту величину, которую он при этом определяет. Следует иметь в виду, что пересечение координатных осей не обязательно должно совпадать с нулевыми значениями x и у. При выборе начала координат следует руководствоваться тем, чтобы полностью использовалась  вся площадь чертежа (рис.2.).

На координатах осях графика  указываются не только названия или  символы величин, но и единицы  их измерения. Масштаб по осям координат  следует выбирать так, чтобы измеряемые точки располагались по всей площади  листа. При этом масштаб должен быть простым, чтобы при нанесении точек на график не производить арифметических подсчетов в уме.

 Экспериментальные точки на графике  должны изображаться точно и ясно. Точки, полученные при различных  условиях эксперимента (например, при нагревании и охлаждении), полезно наносить разными цветами или разными значками. Если известна погрешность эксперимента, то вместо точки лучше изображать крест или прямоугольник, размеры которого по осям соответствуют этой погрешности. Не рекомендуется соединять экспериментальные точки между собой ломаной линией. Кривую на графике следует проводить плавно, следя за тем, чтобы экспериментальные точки располагались как выше, так и ниже кривой, как показано на рис.3. 

 При построении графиков помимо системы координат с равномерным масштабом применяют так называемые функциональные масштабы. Подобрав подходящие функции x и y, можно на графике получить более простую линию, чем при обычном построении. Часто это бывает нужно при подборе к данному графику формулы для определения его параметров. Функциональные масштабы применяют также в тех случаях, когда на графике нужно растянуть или сократить какой-либо участок кривой. Чаще всего из функциональных масштабов используют логарифмический масштаб (рис.4).