Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям ее движения

Задание K-1. Определение скорости и  ускорения точки по заданным уравнениям ее движения.

 

Вариант № 1.

 

По заданным уравнениям движения точки  М установить вид ее траектории и  для момента времени t = t₁(c) найти положение точки на траектории, ее скорость, полное, касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории в соответствующей точке. Данные приведены в таблице 1.

 

 

 

 

 

Таблица 1.

 

Уравнения движения		t1(c)
x = x(t), см	y = y(t), см
-2t2+3	-5t	0,5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Лист

K-1

 

Решение.

Исходные данные в см и с:

                                     x = -2t² + 3;   y = -5t;                                       (1)

t₁ = 0,5

 

Уравнения движения (1) являются параметрическими уравнениями траектории точки М. Чтобы получить уравнение траектории в обычной координатной форме, исключим время t из уравнений движения. Тогда

 

                                                     25x + 2y² = 75                                           (2)

 

Это уравнение параболы.

Для определения скорости точки находим проекции скорости на оси координат:

 

V_x = x’ = -4t см/с;  V_y = y’ = -5 см/с.

Модуль скорости точки

 

                                           

.                                         (3)

Аналогично проекции ускорения точки

 

a_x = x’’ = -4 см/с²;  a_y = y’’ =  0.

Модуль ускорения точки

 

см/с².

 

Касательное ускорение находим  путем дифференцирования модуля скорости (3)

 

 

 

При t = 0,5 c

 

x = -2×0,5² + 3 = 2,5 см,        y = -5×0.5 = -2,5 см.

 

V_x = -4×0,5 =-2 см/с,  V_y = -5 см/с,  V = 5,38 см/с.

 

a_x = -4  см/с²,  a_y =  0,   a = 4 см/с²

 

 см/с²

 

 

Лист

K-1

 

Модуль касательного ускорения

 

a_t = 1,487 см/с²

 

Знак “+” при dV/dt показывает, что движение точки ускоренное и, следовательно, направления совпадают.

Нормальное ускорение точки:

 

см/с².

 

Радиус кривизны траектории в той точке, где при t = 0,5 с находится точка М:

 

см.

 

Пользуясь уравнением (2), строим траекторию (рис. 1) и показываем на ней положение точки М в  заданный момент времени. Вектор строим по составляющим , причем он направлен по касательной к траектории точки. Вектор находим как по составляющим , так и по .

Рис. 1

 

 

Лист

K-1