Основные понятия и определения потенциальных течений

Вариант №25

Основные понятия и определения потенциальных течений

Потенциальные течения – это течения, у которых  во всем потоке, следовательно существует функция φ, называемая потенциалом, зависитφ(х,у,z,t) и связана с составляющими U соотношениями:

 то есть 

Записанные соотношения могут быть записаны и для любой другой функции, которая отличается от φ на константу:  . Таким образом, уравнение потенциала определяется с точностью до константы. Геометрическое место точек с одинаковым значением φ образуют эквипотенциальные поверхности, уравнения которых:  . Так как  , следовательно вектор U расположен по перпендикулярам в любой точке эквипотенциальной поверхности. Так как вектор U касателен к линии тока, то линии тока перпендикулярны эквипотенциальной поверхности.

Рассмотрим стационарное плоское течение, то есть  , тогда

и  .

Уравнение сплошности имеет вид:

Таким образом, потенциал U удовлетворяет уравнению Лапласа, следовательно является гармонической функцией.

Введем в рассмотрение функцию ψ, связанную с составляющими U уравнениями:

и 

Функция ψ удовлетворяет уравнению сплошности, т.к.

ψ – функция тока, она также определяется с точностью до постоянной.

Уравнение  называется уравнением линии тока.

В плоских течениях эквипотенциальные поверхности дают проекции на плоскость (х,у) в виде линии, поэтому часто в задачах рассматриваются эквипотенциальные линии которые перпендикулярны линии тока.

В потенциальном потоке  , в плоском течении 

                            функция тока ψ гармоническая

Сравнение потенциала φ и ψ позволяет записать:

 -условие Коши-Римана.