Основные понятия статики

Основные понятия статики.

В данной лекции рассматриваются следующие  вопросы

1. Введение.
2. Элементы векторной алгебры.
3. Основные понятия статики.
4. Аксиомы статики.
5. Связи и их реакции.

Изучение этих вопросов необходимо в дальнейшем для изучения центра тяжести, произвольной пространственной системы сил, сил трения скольжения, моментов трения качения, решения задач  в дисциплине «Сопротивление материалов».

Введение

Развитие современной техники  ставит перед инженерами самые разнообразные  задачи, связанные с расчетом различных  сооружений (зданий, мостов, каналов, плотин и т. п.), с проектированием, производством и эксплуатацией всевозможных машин, механизмов, двигателей и, в частности, таких объектов, как автомобили, тепловозы, морские и речные суда, самолеты, ракеты, космические корабли и т. п. Несмотря на многообразие всех этих проблем, решения их в определенной части основываются на некоторых общих принципах и имеют общую научную базу. Объясняется это тем, что в названных задачах значительное место занимают вопросы, требующие изучения законов движения или равновесия тех или иных материальных тел.

Наука об общих законах движения и равновесия материальных тел и  о возникающих при этом взаимодействиях  между телами называется теоретической механикой. Теоретическая механика представляет собой одну из научных основ современных технических дисциплин.

Механикой в широком смысле этого  слова называется наука, посвященная решению любых задач, связанных с изучением движения или равновесия тех или иных материальных тел и происходящих при этом взаимодействий между телами. Теоретическая механика представляет собою часть механики, в которой изучаются общие законы движения и взаимодействия материальных тел, т. е. те законы, которые, например, справедливы и для движения Земли вокруг Солнца и для полета ракеты или артиллерийского снаряда и т. п.

Под движением в механике мы понимаем механическое движение, т. е. происходящее с течением времени изменение  взаимного положения материальных тел в пространстве. Механическим взаимодействием между телами называется тот вид взаимодействия, в результате которого происходит изменение движения этих тел или изменение их формы (деформация). Величина, являющаяся количественной мерой механического взаимодействия тел, называется в механике силой.

Основной задачей теоретической  механики является изучение общих законов  движения и равновесия материальных тел под действием приложенных  к ним сил.

По характеру рассматриваемых  задач механику принято разделять  на статику, кинематику и динамику. В статике излагается учение о  силах и об условиях равновесия материальных тел под действием сил. В кинематике рассматриваются общие геометрические свойства движения тел. Наконец, в динамике изучаются законы движения материальных тел под действием сил.

Термин «механика» впервые появляется в сочинениях одного из выдающихся философов древности Аристотеля (384—322 до н. э.) и происходит от греческого слова μηχαυή, означающего по современным понятиям «сооружение», «машина», «изобретение»

В древние времена, когда запросы  производства сводились главным  образом к удовлетворению нужд строительной техники, начинает развиваться учение о так называемых простейших машинах (блок, ворот, рычаг, наклонная плоскость) и общее учение о равновесии тел (статика). Обоснование начал статики содержится уже в сочинения одного из великих ученых Архимеда (287 – 212 г. но н. э.). 

В России на развитие первых исследований по механике большое влияние оказали  труды гениального ученого и  мыслителя М. В. Ломоносова (1711—1765). Из многочисленных отечественных ученых, внесших значительный вклад в развитие различных областей теоретической механики, прежде всего, должны быть названы: М. В. Остроградский (1801—1861), которому принадлежит ряд важных исследований по аналитическим методам решения задач механики; П. Л. Чебышев (1821—1894), создавший новое направление в исследовании движения механизмов; С. В. Ковалевская (1850—1891), решившая одну из труднейших задач динамики твердого тела; И. В. Мещерский (1859—1935), заложивший основы механики тел переменной массы; К. Э. Циолковский (1857—1935), сделавший ряд фундаментальных открытий в теории реактивного движения; А. Н. Крылов (1863—1945), разработавший теорию корабля и много внесший в развитие теории гироскопических приборов.

Выдающееся значение для развития механики имели труды «отца русской  авиации» Н. Е. Жуковского (1847—1921) и  его ближайшего ученика С. А. Чаплыгина (1869—1942). Характерной чертой в творчестве Н. Е. Жуковского было приложение методов  механики к решению актуальных технических  задач. Большое влияние идеи Н. Е. Жуковского оказали и на преподавание теоретической механики в высших технических учебных заведениях нашей страны.

Стоящая в наши дни перед отечественной  наукой и техникой задача непрерывного роста и внедрения в производство новой техники требует дальнейшего  повышения качества подготовки инженерных кадров, расширения теоретической базы их знаний. Известную роль в решении этой задачи должно сыграть и изучение одной из научных основ современной техники – теоретической механики. 

 

Элементы векторной  алгебры

В теоретической механике рассматриваются  такие векторные величины как  сила, моменты силы относительно точки  и оси, момент пары сил, скорость, ускорение  и другие.

1. Понятие вектора.

Для определенности рассматриваем  прямоугольную декартову систему  координат. 

Вектор - это направленный отрезок, который характеризуется длиной и направлением.

Операции над векторами.  Вектора  можно складывать и умножать на число.

- сумма двух векторов есть вектор

- произведение вектора на  действительное число есть вектор

- существует нулевой вектор 

 

Рис.1 

 

В математике все вектора являются свободными, их можно переносить параллельно  самим себе.

В сумме двух векторов (рис.1,а) начало второго вектора можно поместить в конец первого вектора, тогда сумму двух векторов можно представить как вектор, имеющий начало в начале первого вектора, а конец в конце второго вектора. Применяя это правило для суммы нескольких векторов (рис.1,б)  получаем, что суммой  нескольких векторов является вектор замыкающий ломаную линию, состоящую из слагаемых векторов.

Операции над векторами подчиняются  следующим законам  (см. рис.2):

 

 

Рис.2 

 

2. Правые и левые системы координат.

Декартовы системы координат делятся на два вида: правую и левую.

Рассмотрим декартовы системы координат на плоскости (см. рис. 3).

При повороте оси  Ox  правой системы координат на 90^о против часовой стрелки она совпадает с осью Oy .

  

                                                      Рис.3                         Рис.4 

 

Рассмотрим декартовы системы координат в пространстве  (см. рис.4).

При повороте оси  Ox  правой системы координат вокруг оси Oz на 90⁰ против часовой стрелки она совпадает с осью Oy .

3. Длина, проекции и направляющие  косинусы вектора.

В дальнейшем будем рассматривать  правую декартову систему координат. Единичные вектора вдоль осей  Ox,  Oy  и Oz образуют систему единичных (или базисных)  векторов. Любой вектор, имеющий начало в точке O, можно представить как сумму   числа (a_x, a_y, a_z)  -  это проекции вектора на оси координат  (см. рис.5).

Рис.5 

 

Длина (или модуль) вектора  определяется формулой и обозначается или .

Проекцией вектора на ось называется скалярная величина, которая определяется отрезком, отсекаемым перпендикулярами, опущенными из начала и конца вектора  на эту ось. Проекция вектора считается  положительной (+), если направление ее совпадает с положительным направлением оси, и отрицательной (-), если проекция направлена в противоположную сторону  (см. рис.6).

Рис.6 

 

Направляющими косинусами  , , вектора называются косинусы углов между вектором и положительными направлениями осей  Ox,  Oy  и Oz  соответственно.

Любая точка пространства с координатами  (x, y, z) может быть задана своим радиус-вектором

Координаты  (x, y, z)  это проекции вектора   на оси координат.

4. Скалярное произведение двух  векторов

Имеется два вектора  и .   

,

.

Рис.7 

 

Результатом скалярного произведения двух векторов и является  скалярная величина (число).

Записывается как  или  .  Скалярное произведение двух векторов равно 

Свойства скалярного произведения:

5. Векторное произведение двух  векторов

Имеется два вектора  и .

,  

.

Рис.8 

 

Результатом векторного произведения двух векторов и   является  вектор .  Записывается как    или .

Векторное произведение двух векторов это вектор , перпендикулярный к обоим этим векторам, и направленный так, чтобы с его конца поворот вектора   к вектору   был виден против часовой стрелки.

Длина  (или модуль)  векторного произведения равна  .

Свойства векторного произведения:

Векторное произведение двух векторов вычисляется через их проекции следующим образом:

 

 

Основные понятия статики

Статикой называется раздел механики, в котором излагается общее учение о силах и изучается условия  равновесия материальных тел, находящихся  под действием сил.

Твердое тело. В статике и вообще в теоретической механике все тела считаются абсолютно твердыми. То есть предполагается, что эти тела не деформируются, не изменяют свою форму и объем, какое бы действие на них не было оказано.

Исследованием движения нетвердых  тел – упругих, пластичных, жидких, газообразных, занимаются другие науки (сопротивление материалов, теория упругости, гидродинамика и т.д.).

Под равновесием будем понимать состояния покоя тела по отношению  к другим материальным телам.

Основные понятия:

1. Величина, являющаяся количественной  мерой механического взаимодействия  материальных тел, называется  в механике силой.

Сила является величиной векторной.

Ее действие на тело определяется: 1) численной величиной или модулем силы, 2) направлением силы, 3) точкой приложения силы (рис.9).

Рис.9 

 

Прямая DE, вдоль которой направлена сила, называется линией действия силы.

В тексте вектор силы обозначается латинскими буквами , , и др., с черточками над ними. Если черточки нет, значит у силы известна только ее численная величина - модуль.

Рис. 1.2. 

Предполагается, что действие силы на тело не изменится, если ее перенести по линии действия в любую точку тела (конечно – твердого тела). Поэтому вектор силы называют скользящим вектором. Если силу перенести в точку, не расположенную на этой линии, действие ее на тело будет совсем другим.

        2. Совокупность  сил, действующих на какое-нибудь  твердое тело, будем называть  системой сил.

        3. Тело, не  скрепленное с другими телами, которому из данного положения  можно сообщить любое перемещение  в пространстве, называется свободным. 

         4. Если  одну систему сил, действующих  на свободное твердое тело, можно  заменить другой системой, не  изменяя при этом состояния покоя или движения, в котором находится тело, то такие две системы сил называются эквивалентными.  

        5. Система  сил, под действием которой  свободное твердое тело может  находиться в покое, называется  уравновешенной или эквивалентной нулю.

6. Если данная система сил  эквивалентна одной силе, то эта  сила называется равнодействующей  данной системы сил. Таким образом,  равнодействующая - это сила, которая  одна заменяет действие данной  системы сил на твердое тело.  

7. Сила, равная равнодействующей  по модулю, прямо противоположная ей по направлению и действующая вдоль той же прямой, называется уравновешивающей силой.

8. Силы, действующие на твердое  тело, можно разделить на внешние и внутренние. Внешними называются силы, действующие на частицы данного тела со стороны других материальных тел. Внутренними называются силы, с которыми частицы данного тела действуют друг на друга.