Основы гидромеханики

 
Содержание 
Введение……………………………………………………………………….3 
 
Идеальная жидкость………………………………………………………….6 

Стационарное течение………………………………8

 
Уравнение Бернулли……………………………………………………….10 
 
Следствие уравнения Бернулли…………………………………………12 

Вязкость…………………………………………….14

Уравнение Навье-Стокса…………………………………………………..16

 
Число Рейнольдса…………………………………………………………..17 
 
Ламинарное течение………………………………………………………..19 

Турбулентное течение………………………………23

 
Подъемная сила……………………………………………………………..26 
 
Список использованной литературы…………………………………….28 

Введение 
 
(от гидро... и динамика), раздел гидромеханики, в котором изучаются движение несжимаемых жидкостей и взаимодействие их с твёрдыми телами. Методами Гидромеханики. можно исследовать также движение газов, если скорость этого движения значительно меньше скорости звука в рассматриваемом газе. При скорости движения газа, близкой к скорости звука или превышающей её, начинает играть заметную роль сжимаемость газа и методы Гидромеханики. уже неприменимы. Такое движение газа исследуется в газовой динамике. 
 
При решении той или иной задачи в Гидромеханике . применяют основные законы и методы механики и, учитывая общие свойства жидкостей, получают решение, позволяющее определить скорость, давление и касательную напряжения в любой точке занятого жидкостью пространства. Это даёт возможность рассчитать, в частности, и силы взаимодействия между жидкостью и твёрдым телом. Главными свойствами жидкости, с точки зрения Гидромеханики., являются её лёгкая подвижность, или текучесть, выражающаяся в малом сопротивлении жидкости деформациям сдвига, и с плотностью (в Гидромеханики. жидкость считается непрерывной однородной средой); кроме того, в Гидромеханики. принимается, что жидкости не сопротивляются растяжению. 
 
Основные уравнения Гидромеханики. получаются путём применения общих законов физики к элементарной массе, выделенной в жидкости, с последующим переходом к пределу при стремлении к нулю объёма, занимаемого этой массой. Одно из уравнений, называемое неразрывности уравнением, получается путём применения к элементу, выделенному в жидкости, закона сохранения массы: другое уравнение (или в проекциях на оси координат - три уравнения) получается в результате применения к элементу жидкости закона о количестве движения, согласно которому изменение количества движения элемента должно совпадать по величине и направлению с импульсом силы, приложенной к нему. Решение общих уравнений Гидромеханики. исключительно сложно и может быть доведено до конца не всегда, а только в небольшом числе частных случаев. Поэтому приходится упрощать задачи путём отбрасывания в уравнениях членов, которые в данных условиях имеют менее существенные значение для определения характера течения. Например, в ряде случаев можно с достаточной для практики точностью описать реально наблюдаемое течение, пренебрегая вязкостью жидкости; т. о., приходят к теории идеальной жидкости, которую можно применять для решения многих гидродинамических задач. В случае движения жидкостей с весьма большой вязкостью (густые масла и т.п.) величина скорости течения изменяется незначительно и можно пренебречь ускорением. Это приводит к др. приближённому решению задач Гидромеханики. 
 
В Гидромеханики идеальной жидкости особенно важное значение имеет Бернулли уравнение,

 согласно которому  вдоль струйки жидкости имеет  место следующее соотношение  между давлением р, скоростью v течения жидкости (с плотностью r) и высотой z над плоскостью отсчёта p + 1/2rv2 + rgz = const. (g - ускорение свободного падения). Это уравнение является основным в гидравлике. 
 
Анализ уравнений движения вязкой жидкости показал, что для геометрически и механически подобных течений (см. Подобия теория) величина rvl/m= Re должна быть постоянной (l - характерный для задачи линейный размер, например радиус обтекаемого тела или сечения трубы и т.п., r, v и m - соответственно плотность, скорость, коэффициент вязкости жидкости). Эта величина называется Рейнольдса числом и определяет режим движения вязкой жидкости: при малых значениях Re (для трубопроводов при Re = vcpd/n £ 2300, где d - диаметр трубопровода, n = m/r) имеет место слоистое, или ламинарное течение, при больших значениях Re струйки размываются и в жидкости происходит хаотическое перемешивание отдельных масс; это т. н. турбулентное течение. 
 
Решение основных уравнений Г. вязкой жидкости оказалось возможным найти только для крайних случаев - для Re очень малых, что соответствует (при обычных размерах) большой вязкости, и для Re очень больших, что соответствует течениям жидкостей с малой вязкостью. В ряде технических вопросов особо важны задачи о течениях жидкостей с малой вязкостью (вода, воздух). В этом случае уравнения Г. можно значительно упростить, выделив слой жидкости, непосредственно прилегающий к поверхности обтекаемого тела, в котором вязкостью пренебречь нельзя; этот слой называется пограничным слоем. За пределами пограничного слоя жидкость может рассматриваться как идеальная. Для характеристики движений жидкости, в которых основную роль играет сила тяжести (например, волны, образующиеся на поверхности воды при ветре, прохождении корабля и т.д.), в Г. вводится др. безразмерная величина v2/gl = Fr, называемая числом Фруда. 
 
Практические применения Г. чрезвычайно разнообразны. Г. пользуются при проектировании кораблей и самолётов, расчёте трубопроводов, насосов, гидротурбин и водосливных плотин, при исследовании морских течений и речных наносов, изучении фильтрации грунтовых вод и нефти в подземных месторождениях и т.п. Об истории Г. см. в ст. Гидроаэромеханика. 
 
Идеальная жидкость 
 
Идеальная жидкость — воображаемая (идеализированная) жидкость, в которой, в отличие от реальной жидкости, отсутствуют вязкость и теплопроводность. В идеальной жидкости отсутствует внутреннее трение, то есть, нет касательных напряжений между двумя соседними слоями.  
 
Моделью идеальной жидкости пользуются при теоретическом рассмотрении задач, в которых вязкость не является определяющим фактором и ею можно пренебречь. В частности, такая идеализация допустима во многих случаях течения, рассматриваемых гидроаэромеханикой, и даёт хорошее описание реальных течений жидкостей и газов на достаточном удалении от омываемых твёрдых поверхностей и поверхностей раздела с неподвижной средой. Математическое описание течений идеальных жидкостей позволяет найти теоретическое решение ряда задач о движении жидкостей и газов в каналах различной формы, при истечении струй и при обтекании тел.  
 
Для кинематического описания течения идеальной жидкости воспользуемся методом Эйлера. Для этого выберем систему отсчета и зададим в ней поле скоростей, т. е. зависимость скорости каждой точки среды u от ее радиус-вектора и времени u = f(r, t). Мысленно проведем в жидкости линии тока.  
 
Линии тока - линии, касательные к которым совпадают с направлением вектора скорости течения жидкости u.  
 
При этом совершим построение так, чтобы густота линий тока (число линий, пронизывающих площадку единичной площади в перпендикулярном им направлении) была бы пропорциональна величине вектора скорости. Направление линий тока при этом должно совпадать с направлением u. Применение метода Эйлера дает наглядное представление о направлении и величине вектора скорости течения жидкости в разных точках. В случае стационарного течения картина линий тока не изменяется, а сами они совпадают с траекториями движения молекул жидкости.  
 
Поверхность, образованная линиями тока, проведенными через все точки замкнутого контура, называется трубкой тока.  
 
При стационарном течении жидкости ее молекулы не пересекают трубку тока.  
 
Обычная динамика рассматривает, как правило, движение частиц и твердых тел. Характерной чертой этих физических объектов являлась их дискретность, т. е. расположение в строго определенных ограниченных и изменяющихся с течением времени, областях пространства. В противоположность этому жидкости и газы, если не вдаваться в молекулярную структуру вещества, можно рассматривать как непрерывные среды, применяя к описанию их движения характерные методы. 
 
Уравнение Бернулли 
 
Рассмотрим стационарное течение идеальной жидкости плотности ρ в однородном поле силы тяжести под действием сторонних сил. Пусть под действием перепада давлений p₁ - p₂, вызванного внешними сторонними силами, за интервал времени dt молекулы жидкости, находящиеся в сечениях трубки тока S₁ иS₂, сместились вдоль нее соответственно на расстояния dL₁ и dL₂ (см. рис.14.5).  
 
Для описания движения воспользуемся энергетическими соображениями. Рассмотрим жидкость, сосредоточенную между сечениями трубы S₁ и S₂. Согласно закону изменения полной механической энергии ее приращение равно работе внешних сторонних A_ст и внутренних неконсервативных сил, действующих на рассматриваемый объем жидкости. Последняя из этих составляющих в отсутствие внутреннего трения у идеальной жидкости равняется нулю и, следовательно,  
 
Δ=A_ст  
 
Исходя из того, что работу совершают только тангенциальные составляющие сил, получим выражение для расчета работы по перемещению выделенного объема жидкости:  
 
Aст = p₁·S₁·dL₁ - p₂·S₂·dL₂  
 
Из этой формулы и уравнения неразрывности струи cледует, что  
 
A_ст = (p₁ - p₂)·dV,  
 
где dV - объем жидкости, протекающей через сечение трубки тока за время dt  
 
Приращение полной механической энергии ΔE найдем как сумму приращений кинетической и потенциальной энергий в 1-м и 2-м сечениях трубки тока:  
 
ΔE = (ρ·ΔV·v₂²/2 - ρ·ΔV·v₁²/2) + (ρ·ΔV·g·h₂ - ρ·ΔV·g·h₁).  
 
Отсюда, с учетом произвольности выбора сечений 1 и 2, получим, что для выбранной трубки тока справедливо следующее соотношение:  
 
ρ·v²/2 + p + ρ·g·h = соnst  
 
Это соотношение, называемое уравнением Бернулли, получено для достаточно узкой трубки тока и, строго говоря, справедливо, когда трубка тока переходит в линию тока. Оно хорошо выполняется для реальных жидкостей, обладающих малым внутренним трением.  
 
Это уравнение описывает стационарное течение несжимаемой жидкости (иногда употребляют термин "идеальной жидкости"), и играет фундаментальную роль в гидродинамических исследованиях. Если нам известно давление p₁, скорость v₁ в некотором сечении трубки тока, находящемся на высоте h₁, то в любом другом сечении на высоте h величины p и v связаны соотношением  
 
ρ·v²/2 + p + ρ·g·h = ρ·v₁²/2 + p₁ + ρ·g·h₁  
 
Рассмотрим более подробно физический смысл входящих в уравнение Бернулли членов. Так, статическое давление p численно равно работе сил давления, совершаемых над единичным объемом жидкости; динамическое давление ρv²/2 есть кинетическая энергия единицы объема, а величина ρgh является потенциальной энергией единичного объема в поле силы тяжести  
 
Давление p - это статическое давление, которое получит манометр, находящийся в жидкости и движущийся вместе с нею, ρv²/2 - это динамическое давление, смысл которого будет раскрыт позднее. Заметим, что в покоящейся жидкости предыдущее равенство описывает гидростатическое распределение давлений. 

 
Ламинарное течение 
 
Гидродинамика ламинарных течений изучает поведение жидкости в нетурбулентном режиме. Во многих случая уравнения гидродинамики имеют достаточно простой вид и могут быть решены точно. Некоторые наиболее важные задачи этого раздела гидродинамики: 

•  
  стационарное течение идеальной несжимаемой жидкости при различных граничных условиях
•  
  стационарное течение вязкой жидкости, уравнение Навье-Стокса
•  
  волны на поверхности идеальной несжимаемой жидкости и прочие нестационарные явления
•  
  ламинарное обтекание конечных тел
•  
  течения в различных несмешивающихся жидкостях, тангенциальные разрывы и их устойчивость
•  
  струи, капли и прочие течения конечных размеров

 
Ламинарное течение наблюдается  при малых значениях числа  Рейнольдса. Начиная с некоторого определенного значения Re, называемого критическим, течение приобретает турбулентный характер. Для воды в гладких круглых трубах Re_кр = 2000.  
 
В случае ламинарного течения жидкости согласно третьему закону Ньютона более медленные слои за счет вязкого трения тормозят более быстрые и наоборот, быстрые ускоряют медленные. Причем молекулы стенок трубы не имеют тангенциальной составляющей скорости, и пограничный слой жидкости жестко "прилипает" к ее стенкам. Таким образом, скорость движения отдельных равноудаленных от оси трубы цилиндрических слоев жидкости возрастает от нулевого до максимального значения по мере удаления от стенок трубы (см. рисунок). При стационарном течении распределение скоростей по сечению трубы имеет параболический характер.  
 
Рассчитаем поток или количество жидкости, протекающей через поперечное сечение трубы S в единицу времени. В случае однородного поля скоростей величина потока Q зависит от скорости течения жидкости u по формуле Q = v·S.  
 
Рассчитаем поток жидкости dQ, вытекающей из цилиндрического слоя толщиной dr, расположенного на расстоянии r от оси трубы, а затем проведем интегрирование по всем слоям от 0 до R.  
 
dQ = v(r)·dS = v(r)·2π·r·dr,  
 
где dS - площадь поперечного сечения цилиндрического слоя.  
 
Для ответа на поставленный вопрос необходимо найти зависимость v(r). Выделим цилиндр радиусом r и длиной L, расположенный симметрично осевой линии трубы. При стационарном течении скорость течения со временем не изменяется, следовательно, сумма всех сил, действующих на все объемы жидкости, равна нулю. На выделенный цилиндр действуют следующие силы: сила давления, равная произведению разности внешних давлений на площадь поперечного сечения выделенного объема, и сила вязкого трения, действующая на боковую поверхность цилиндра радиусом r, рассчитываемая по формуле Ньютона. Таким образом,  
 
(p₁ - p₂)π·r² = μ·|dv/dr|·2π·r·L.  
 
Преобразуя предыдущее уравнение, получим, что  
 
- dv = (p₁ - p₂)·r·dr/(2μ·L)  
 
Проинтегрировав это выражение с учетом граничных условий v = 0 при r = R,  
 
получим формулу для расчета скорости слоев жидкости, расположенных на расстоянии r от оси трубы:  
 
v(r) = (p₁ - p₂)·(R² - r²)/(4μ·L)  
 
Максимальная скорость, достигаемая в центре трубы v₀, равна:  
 
v₀ = (p₁ - p₂)·R²/(4μ·L)  
 
Проведя интегрирование по радиусу, найдем выражение для потока жидкости, вытекающей из трубы:  
 
Q = (p₁ - p₂)·π·R⁴/(2μ·L)  
 
Это соотношение называется формулой Пуазейля.  
 
Из него следует, что поток в случае стационарного течения жидкости обусловлен перепадом давлений, зависит от геометрии трубы и свойств жидкости. Следует обратить внимание на существенную зависимость пропускной способности трубы от ее радиуса R. При заданном давлении на входе водопроводной сети увеличение диаметра труб вдвое влечет увеличение их пропускной способности в 16 раз!  
 
Формулой Пуазейля пользуются при расчетах показателей транспортировки жидкостей и газов в трубопроводах различного назначения. Ламинарный режим работы нефте- и газопроводов является наиболее выгодным в энергетическом отношении. Так, в частности, коэффициент трения при ламинарном режиме практически не зависит от шероховатости внутренней поверхности трубы (гладкие трубы).  
 
Пользуясь формулой Пуазейля можно определить вязкость жидкости. Так, например, в опыте, изображенном на рисунке ниже, легко измерить разность давлений и расход жидкости и при известном радиусе горизонтальной трубки посчитать вязкость жидкости Однако более удобно вязкость жидкости определять по методу Стокса, измеряя время падения шарика в этой жидкости.  
 
Параболический профиль скорости слоев, как нетрудно подсчитать, будет и при течении жидкости между двумя пластинами . Если этот рисунок разрезать посередине на высоте и наклонить нижнюю пластину под углом α, то мы получим картину слоистого течения воды в реке под действием силы тяжести. Вместо перепада давления dp/dx мы можем использовать компоненту силы тяжести F_x = ρg sin α при расчете профиля скоростей течения. 

Турбулентное  течение

 
При достаточно малых скоростях  потока жидкости или газа течение  всегда является ламинарным, однако при  увеличении скорости всегда происходит переход в турбулентное течение, которое является уже существенно  нестационарным и пространственно-неоднородным, поскольку скорость частиц жидкости, давление и другие характеристики среды  изменяются во времени и пространстве нерегулярно, случайным образом  даже при постоянных внешних условиях.  
 
Основным параметром, с помощью которого описываются ламинарное течение, турбулентное течение и переход от ламинарного течения к турбулентному течению, является число Рейнольдса Re.  
 
Параметр Re - безразмерный, он определяет отношение сил инерции к вязким силам в уравнении Навье-Стокса. Существует критическое число Рейнольдса Reкр, такое, что при Re < Reкр поток будет ламинарным, а при Re > Re_кр - турбулентным.  
 
Переход ламинарного течения в турбулентное легко фиксируется при наблюдении окрашенных струй. При ламинарном течении струя имеет вид ровной линии. При переходе к турбулентному течение струю завихряется, краска размывается, постепенно расплываясь по всему сечению трубки.  
 
Изменение числа Re при течении в одной и той же трубке можно осуществлять как изменением скорости потока (перепада давления на концах трубки), так и изменением вязкости жидкости, например, нагревая ее или заменяя на другую.  
 
Если увеличивать скорость потока так, что число Рейнольдса станет несколько больше единицы, то увидим, что поток изменился. За сферой возникают вихри. Обычно считают, что циркуляция нарастает постепенно. Когда Re принимает значения от 10 до 30, поток меняет свой характер.  
 
Когда число Рейнольдса проходит значение в районе 40, характер движения претерпевает неожиданное и резкое изменение. Один из вихрей за цилиндром становится настолько длинным, что отрывается и плывет вниз по течению вместе с жидкостью. При этом жидкость за цилиндром снова закручивается и возникает новый вихрь. Вихри отслаиваются то с одной, то с другой стороны и в какой-то момент вытягиваются вихревым следом за цилиндром. Такой поток вихрей называется цепочкой Кармана. Она всегда появляется для чисел Рейнольдса Re > 40.  
 
 
 
а) ламинарный режим, Re < 1;  
b) первая стадия неустойчивости, 1 < Re <40;  
c) вторая стадия неустойчивости (вихревая дорожка), Re > 40;  
d) развитая турбулентность, Re > 10³.  
 
1. При малых значениях Re ( Re < 1 ) имеет место ламинарное обтекание цилиндра (рис. а).  
 
2. При 1 < Re < 40 вблизи первого критического значения значения Re = 1 исходный поток становится неустойчивым, однако новый тип течения окончательно определяется при Re > 10: за цилиндром образуются два вихря, но течение остается стационарным и ламинарным (рис. b).  
 
3. При Re > 40 стационарное движение теряет устойчивость. Вихри удлиняются, отрываются и уплывают с потоком жидкости. В результате за цилиндром образуется т.н. вихревая дорожка. Движение становится нестационарным, но периодическим (рис. c).  
 
4. При Re > 1000 вихри уже не успевают формироваться и заменяются быстротурбулизирующимися областями. При Re ~ 10⁴ движение становится нерегулярным; при Re ~ 10⁵ турбулентная область продвигается вплоть до поверхности цилиндра (рис. d).  
 

 
 
Список использованной литературы 
 
1. Трофимова В.И. Курс физики: Учеб. Пособие для вузов.5-е изд., стер. – М.: Высш. Шк., 1998. – 542 с.  
 
2. Савельев И.В. Курс общей физики: Учеб пособие. Т. 1 
 
3. «Энциклопедия Кирилла и Мефодия» в электронном виде, 2005.