Отражения и преломления на случайной движущейся поверхности

Отражения и преломления на случайной движущейся поверхности

Ӏ.Шаблон (характеристика,Pattern) и пути зеркальных точек

Свет, падающий из точечного источника на взволнованную поверхность, производит шаблоны образов (a pattern of images), которые двигаются по всей поверхности. Точки образов соответствуют максимумам, минимумам и седловым точкам определенной функции. Показано, что образы, как правило, создаются в парах: максимум с седловой точкой или минимум с седловой точкой, и полное число максимумов, минимумов и седловых точек удовлетворяет отношению

Подробно изучен процесс создания и уничтожения образов, а также изучены траектории(track) точек образов, в определенных  специальных случаях. Показано, что замкнутые траектории могут быть общими. Это подтверждено фотографиями морской поверхности.

 

1.Введение

Когда свет из фиксированного источника падает на волновую поверхность, такую как поверхность озера, когда оно взволновано ветром, наблюдатель может видеть число двигающихся образов(dancing images) источника отражения в разных точках на поверхности; эти точки иногда называют «зеркальными точками». Подобным образом наблюдатель под поверхностью будет видеть число двигающихся образов, зависящих от индекса преломления и положений наблюдателя и источника.

Число образов видимых наблюдателем не постоянно. Образы двигаются и две зеркальные точки могут слиться или, с другой стороны, две такие точки могут внезапно появиться, где до этого не было ни одной. Такое событие, а именно, создание или исчезновение двух зеркальных точек может быть названо «мерцанием».

Можно показать, что в «мерцании» интенсивность образов становится исключительно яркой; свет частично фокусируется на наблюдателе, таким образом, ранее увиденное ярко сверкает. Соответственно, если отраженный или преломленный свет освещает фиксированную поверхность аналогичную средней волновой поверхности, интенсивность освещения на фиксированной поверхности колеблется и особо яркие линии могут быть видны, например, на дне неглубокого озера или моря. В момент, когда одна такая линия проносится через точку на плоскости, наблюдатель в будет видеть «мерцание». Особый случай этого феномена, когда водная поверхность точно постоянна(регулярна) и синусоидальна, и источник на расстоянии бесконечности. Рассмотрено Shenk.

Хорошо известно, однако, что водные волны сгенерированные ветром не являются идеально постоянными (регулярными), но имеют определенную степень случайности возникающей из характера их природы.

 

 

 

Например, уклон (наклон, угловой коэффициент slope) ветровых волн известно имеет статистическое распределение, которое приблизительно Гауссовское. Иногда удобно принимать, что водная поверхность является суммой бесконечного числа волн(long-crested, с хохолком) разных длин и направлений, чьи фазы выбраны случайно на интервале ; исходя из соответствующих условий, распределение стремится к Гауссовому распределению вертикальных (возвышенных, поднятых) наклонов и их высших производных.

Цель данной статьи изучить  примеры(pattern) зеркальных точек на случайных поверхностях, показать, как зеркальные точки могут быть прибавлены или вычтены из «мерцания» и рассмотреть траектории (пути) зеркальных точек таких как обнаруженных к временному виду (местоположению) поверхности. Здесь не принято, что поверхность Гауссова, но только она имеет определенную степень случайности, таким образом, специальные и необычные случаи (вероятность которых 0) можно не рассматривать. В последующих статьях Гауссово предположение(присвоение) будет явно выполнено и среднее число зеркальных точек так же как среднее число точек мерцаний за единицу времени, будет определено в терминах(terms) спектра поверхности.

Первое, в Sec.2 мы рассмотрим пример зеркальных точек на поверхности как типичный момент(instant). Некоторые из этих точек являются максимумами, некоторые минимумами, и некоторые «седловыми точками». Простое отношение между числами каждого вида определяется

             (1.1)

Затем показано, что если поверхность двигается, зеркальные точки обычно создаются в парах – максимум с седловой точкой или минимум с седловой точкой. Путь по которому те соответствует предыдущему примеру также рассмотрен.

Обычно зеркальная точка, если она двигается на поверхности, имеет конечную скорость; но мы обнаруживаем, что вначале и конце ее жизни (то есть, когда она создана или уничтожена с другой зеркальной точкой), скорость становится бесконечной – таким образом, однако, полное расстояние пройденное точкой конечно.

Типичные траектории(пути) зеркальных точек рассмотрены в Sec.6. Показано, что когда поверхность состоит из определенных видов волновых систем, то замкнутые траектории (пути) будут общими. Фотография  таких путей на море воспроизведена в Fig.9.

2. Состояния зеркальной точки

Пусть уравнение поверхности в прямоугольных координатах имеет вид

           (2.1)

где ось направлена в вертикальном направлении. Если источник света и точка наблюдения находятся в точках

и соответственно (оба над поверхностью), тогда для того чтобы точка на была зеркальной необходимо

  ,          (2.2)

 где

         (2.3)

предполагается, что и , маленькие величины. Подобным образом, если расположена на расстоянии под поверхностью и , индексы преломления для двух сред над и под поверхностью, мы снова получаем Eq.(2.2), но с

       (2.4)

Из (2.2) следует, что зеркальные точки соответствуют решениям уравнений

,        (2.5)

где

        (2.6)

то есть, они стационарные точки функции .

Рассмотрим вначале поверхность как «застывшую» в определенный момент времени , таким образом, функция только от двух переменных , . Форма поверхности в соседстве с зеркальной точкой хорошо известна. Перемещая начала , в точку и предполагая, что дважды дифференцируема, мы получаем

    (2.7)

где остаток от степени большей, чем вторая  

Мы можем записать              (2.8)

 

для дискриминанта квадратичной формы в (2.7); также равняется «полной» кривизне поверхности в . В целом есть два возможных случая:

 

Fig.1. Сплошные линии описывают контуры в соседстве с ordinary зеркальной точкой: (а) максимум, (b) седловая точка, (с) минимум. Пунктирные линии и стрелки описывают направления крутейшего подъема.

(1) ; квадратичная форма в (2.7) всегда одного знака и имеет максимум или минимум соответствующий ; контуры являются эллипсами как в Figs.1(a) и 1(с).

(2) ; квадратичная форма не определена и контур  является гиперболическим, как в Figs.1(b)

Особый интерес для  нас представляют пути крутейшего подъема (крутизны) на поверхности; это ортогональные траектории контуров линий, показано на Fig.2. Очевидно, что в случае (1) путь крутейшего спуска может одно из двух: или войти или покинуть (enter) в любом направлении и есть непрерывное семейство таких путей. В случае (2), с другой стороны, ортогональные траектории являются прямоугольными гиперболами(rectangular hyperbolas) с центром в точке и тогда могут никогда не пройти через , за исключением гиперболы нуля «радиус», то есть, линейная пара, которая формирует асимптоты всех остальных путей. Таким образом, в седловой точке существуют только две пары направлений, для которых путь крутейшего подъема может войти или покинуть точку, сравнив(compared) с непрерывным семейством направлений для максимумов и минимумов.

Мы специально сейчас не исследуем особый случай , потому что, если поверхность «застыла» вероятность появления таких точек 0; только когда поверхности двигается, то есть, дана дополнительная степень свободы, есть конечная вероятность, что пройдет через 0 в заданный промежуток времени.

3. Пример зеркальных точек

Достаточно предположить, что при «застывшей» поверхности, стационарные точки являются или минимумами или максимумами или стационарными точками; любые другие случаи имеют полную вероятность 0.

Сейчас мы дадим цепь размышлений, которая предполагает, что все минимумы на поверхности могут быть присоединены сетью путей с тем, чтобы каждая ячейка содержала один максимум и каждый сегмент содержал одну седловую точку.

Рассмотрим форму  с радиусом , стремящимся к бесконечности. В (2.6) константа положительна. Если мы предположим, что Гауссова, с тем чтобы вероятность больших отрицательных величин была экспоненциально мала, тогда будет следовать, что если , также всегда стремится на бесконечность.

Более, если первая и вторая производные  также Гауссовы (и конечно, если наклоны(угловые коэффициенты) ограничены) мы можем ожидать, что пути крутейших подъемов на поверхности будут, снаружи круга данного радиуса все стремиться к бесконечности, не считая множеств поверхностей имеющих вероятность , где стремится к 0 при . Следовательно, мы предполагаем, , что по ту сторону данного радиуса все пути направлены наружу к «максимуму на бесконечности», понятно, что мы пренебрегаем множеством случаев полного стремления вероятности к  0.

Мы также примем, что  есть только конечное число стационарных точек в любое время на всей плоскости.

Начиная с типичной точки  на поверхности (не стационарной точки), давайте последуем пути крутейшего подъема из ; он будет подыматься до тех пор, пока она не достигнет стационарной точка или уйдет на бесконечность. Как правило, путь не столкнется с седловой точкой, так как для каждой седловой точки есть только два пути крутейшего подъема; следовательно, путь, как правило, достигает максимума (который может быть «максимумом на бесконечности»). Более того, если точка в соседстве с , пути крутейшего подъема из будут, как правило, достигать того же максимума . Следовательно, лежит в непрерывной области, все точки которой связаны с путями крутейшего подъема. Из Fig.1(a), каждый максимум окружен такой областью.

Таким образом, вся плоскость за исключением минимумов и путей, проходящих через седловые точки, разделена на области, одна область для каждого максимума.

Давайте сейчас рассмотрим типичный минимум и последуем линии крутейшего подъема, начиная из в произвольном направлении . Этот путь, по той же причине, вообще стремится к максимуму . Более того, все пути прилежащие (смежные) к первому пути, начинающиеся из немного другого направления , как правило, прибывают также к .

Предполагаем сейчас, что существует два разных направления и , для которых пути крутейшего подъема прибывают в разные максимумы и [Fig.2(a)]. Изменяя непрерывно от до мы должны натолкнуться на направление , для которого путь раздваивается, одна ветвь идет к , а другая к (где может быть такой же, как и ). Точка раздвоения (бифуркации) не может быть обычной точкой или максимумом или минимумом; она должна быть, следовательно, седловой точкой .

Сейчас путь из в должен формировать часть границы области окружающей (для небольшого изменения продолжающего путь, стремящийся к с одной стороны или к с другой). Более, если путь продолжен на расстоянии от седловой точки и, с другой стороны, он должен, в конце концов, достичь стационарной точки, которая является или минимумом или седловой точкой. Седловая точка исключена как с вероятностью, стремящейся к 0. Таким образом, почти во всех случаях, пути заканчиваются и начинаются в другом минимуме .

Fig.2. Конфигурации стационарных точек. ( = максимум, = минимум, Х = седловая точка)

Продолжая в этом направлении  вокруг максимума  мы имеем последовательность минимумов , , и мы, в конечном счете, прибываем обратно к , обойдя всего один раз. Вполне возможно, что совпадает с , как в Fig.2(b).

Перейдем к прилегающим (смежным) областям, которые окружают , мы можем выполнить похожий цикл действий. Тогда, в конечном счете, мы заполним всю плоскость сетью путей, каждая ячейка сети содержит только один максимум. Минимумы лежат в углах ячейки(mesh) и вдоль каждого сегмента между двумя прилегающими(смежными) минимумами есть одна седловая точка.

В действительности, сеть минимумов может быть рассмотрена  как диаграмма  Шлегеля многогранника, в котором грани соответствуют максимумам, вершины соответствуют минимумам и ребра соответствуют седловым точкам – с разницей на то, что допустимо иметь одну вершину, присоединенную к остальным из сети с помощью одного «ребра», как в Fig.2(b).

Легко построена двойная сеть, сформированная линиями соединяющими максимумы и проходящими через седловые точки.

Обе начальные сети и  их двойное соответствие теореме  Эйлера:

           (3.1)

(где обозначает число граней, и т.д.). Одна «грань» в начальной сети соответствует максимуму на бесконечности. Пренебрегая этим, мы имеем:

,           (3.2)

(где , и обозначают число максимумов, минимумов и седловых точек, соответственно)

Следует отметить, что  поверхность может быть разделена  другим путем, на области где положительна (эллиптическая область) и области где отрицательна (гиперболические области). Максимумы и минимумы лежат в эллиптических областях, и седловые точки в гиперболических областях. То есть границы между ними являются местоположением (геометрическое место) точек для которых и называются параболическими линиями.

 

4. Условия мерцания

В дальнейшем мы будем рассматривать движущуюся поверхность, с тем, чтобы особенные (отдельные, частные, individual) зеркальные точки двигались на поверхности. Давайте рассмотрим одну такую точку. Ее координаты задаются условиями

,           (4.1)

и дифференцируя эти выражения по и мы получаем ,

.(4.2)

Равенства (4.2) могут быть решены (единственным образом (uniquely)) для отношений и , при условии

       (4.3)

Другими словами, после короткого промежутка времени , каждая зеркальная точка будет двигаться к определенной новой позиции, при условии, что не равняется 0. Следовательно, необходимое условие для создания или уничтожения зеркальных точек (которые мы назвали «мерцающие») является уничтожение (стремление к 0) .

Давайте переместим начало координат в позицию точки  мерцания, в которой, причем время . Если поверхность непрерывна и трижды дифференцируема, может быть разложена в ряд Тейлора

,          (4.4)

где