Глава XI. ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОЕ
ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
§ 52. УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОГО
ДВИЖЕНИЯ (ДВИЖЕНИЯ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ). РАЗЛОЖЕНИЕ
ДВИЖЕНИЯ НА ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ И ВРАЩАТЕЛЬНОЕ
Плоскопараллельным (или плоским)
называется такое движение твердого тела,
при котором все его точки перемещаются
параллельно некоторой фиксированной
плоскости П (рис. 141). Плоское движение
совершают многие части механизмов и машин,
например катящееся колесо на прямолинейном
участке пути, шатун в кривошипно-ползунном
механизме и др. Частным случаем плоскопараллельного
движения является вращательное движение
твердого тела вокруг неподвижной оси.
Рис. 141
Рис. 142
Рассмотрим сечение S тела какой-нибудь
плоскостью
параллельной плоскости П (рис. 141). При
плоскопараллельном движении все точки
тела, лежащие на прямой ММ, перпендикулярной
сечению S, т. е. плоскости П, движутся тождественно.
Отсюда заключаем, что для изучения
движения всего тела достаточно изучить,
как движется в плоскости
сечение S этого тела или некоторая плоская
фигура S. Поэтому в дальнейшем вместо
плоского движения тела будем рассматривать
движение плоской фигуры S в ее плоскости,
т. е. в плоскости
При этом все результаты, которые будут
получены в § 53—59 для точек плоской фигуры,
справедливы, конечно, и для точек сечения
S твердого тела, движущегося плоскопараллельно.
Положение фигуры S в плоскости
определяется положением какого-нибудь
проведенного на этой фигуре отрезка АВ
(рис. 142). В свою очередь положение отрезка
АВ можно определить, зная координаты
точки А и угол
который отрезок АВ образует с осью
Точку А, выбранную для определения положения
фигуры S, будем в дальнейшем называть
полюсом.
При движении фигуры величины
будут изменяться.
Чтобы знать закон движения,
т. е. положение фигуры в плоскости
в любой момент времени, надо знать зависимости
Уравнения (50), определяющие
закон происходящего движения, называются
уравнениями движения плоской фигуры
в ее плоскости. Они же являются уравнениями
плоскопараллельного движения твердого
тела.
Первые два из уравнений (50)
определяют то движение, которое фигура
совершала бы при
это, очевидно, будет поступательное движение,
при котором все точки фигуры движутся
так же, как полюс А. Третье уравнение определяет
движение, которое фигура совершала бы
при
т. е. когда полюс А неподвижен; это будет
вращение фигуры вокруг полюса А. Отсюда
можно заключить, что в общем случае движение
плоской фигуры в ее плоскости может рассматриваться
как слагающееся из поступательного движения,
при котором все точки фигуры движутся
так же, как полюс А, и из вращательного
движения вокруг этого полюса
Рис. 143
Основными кинематическими
характеристиками рассматриваемого движения
являются скорость и ускорение поступательного
движения, равные скорости и ускорению
полюса
а также угловая скорость со и угловое
ускорение
вращательного движения вокруг полюса.
Значения этих характеристик в любой момент
времени t можно найти, воспользовавшись
уравнениями (50).
При изучении движения можно
в качестве полюса выбирать любую точку
фигуры. Рассмотрим, что получится, если
вместо А выбрать в качестве полюса какую-нибудь
другую точку С и определять положение
фигуры отрезком CD, образующим с осью
угол
(рис. 143). Характеристики поступательной
части движения при этом изменятся, так
как в общем случае
(иначе движение фигуры было бы поступательным).
Характеристики же вращательной части
движения, т. е.
, остаются неизменными. В самом деле, проведя
из С прямую
параллельную АВ, мы видим, что в любой
момент времени угол
где
Отсюда
или
Следовательно, вращательная
часть движения от выбора полюса не зависит.
Главные оси и главные
моменты инерции Оси
, относительно которых
центробежный момент инерции равен нулю,
называют главными осями (иногда их называют
главными осями инерции). Через любую точку,
взятую в плоскости сечения, можно провести
в общем случае пару главных осей (в некоторых
частных случаях их может быть бесчисленное
множество). Для того чтобы убедиться в
справедливости этого утверждения, рассмотрим,
как изменяется центробежный момент инерции
при повороте осей на 90' (рис. б.7). Для произвольной
площадки dA, взятой в первом квадранте
системы осей хОу, обе координаты, а следовательно,
и их произведение положительны. В новой
системе координат х,Оу„ повернутой относительно
первоначальной на 90', произведение координат
рассматриваемой площадки отрицательно.
Абсолютное значение этого произведения
не изменяется, т. е. ху= — х1у,. Очевидно,
то же самое имеет место и для любой другой
элементарной площадки. Значит, и знак
суммы dAxy, представляющий собой центробежный
момент инерции сечения, при повороте
осей на 90' меняется на противоположный,
т. е. J = = — J. В процессе поворота осей центробежный
момент инерции изменяется непрерывно,
следовательно, при некотором положении
осей он становится равным нулю. Эти оси
и являются главными. Хотя мы и установили,
что главные оси можно провести через
любую точку сечения, но практический
интерес представляют только те из них,
которые проходят через центр тяжести
сечения — главные центральные оси. В дальнейшем,
как правило, для краткости будем называть
их просто главными осями, опуская слово
«центральные». В общем случае сечения
произвольной формы для определения положения
главных осей необходимо провести специальное
исследование. Здесь ограничимся рассмотрением
частных случаев сечений, имеющих по меньшей
мере одну ось симметрии (рис. 6.8). Проведем
через. центр тяжести сечения ось Ох, перпендикулярную
оси симметрии Оу, и определим центробежный
момент инерции J. Воспользуемся известным
из курса математики свойством определенного
интеграла (интеграл суммы равен сумме
интегралов) и представим J s виде двух
слагаемых: так как, для любой элементарной
площадки, расположенной справа от оси
симметрии, есть соответствующая слева,
для которой произведение координат отличается
лишь знаком. Таким образом, центробежный
момент инерции относительно осей Ох и
Оу оказался равным нулю, т. е. это главные
оси. Итак, для нахождения главных осей
симметричного сечения достаточно найти
положение его центра тяжести. Одной из
главных центральных осей является ось
симметрии, вторая ось ей перпендикулярна.
Конечно, приведенное доказательство
остается в силе, если ось, перпендикулярная
оси симметрии, проходит и не через центр
тяжести сечения, т. е. ось симметрии и
любая, ей перпендикулярная, образуют
систему главных осей. Нецентральные главные
оси, как уже указывалось, интереса не
представляют. Осевые моменты инерции
относительно главных центральных осей
называют главными центральными (или сокращенно
главными) моментами инерции. Относительно
одной из главных осей момент инерции
максимален, относительно другой — минимален.
Например, для сечения, изображенного
на рис. 6.8, максимальным является момент
инерции J (относительно оси Ox). Конечно,
говоря об экстремальности главных моментов
инерции, имеют в виду лишь их сравнение
с другими моментами инерции, вычисленными
относительно осей, проходящих через ту
же точку сечения. Таким образом, то обстоятельство,
что один из главных моментов инерции
максимален, а другой — минимален, можно
рассматривать как объяснение того, что
они (н соответствующие оси) называются
главными. Равенство же нулю центробежного
момента инерции относительно главных
осей — удобный признак для нх нахождения.
Некоторые типы сечений, например круг,
квадрат, правильный шестиугольник и др.
(рис. 6.9), имеют бесчисленное множество
главных центральных осей. Для этих сечений
любая центральная ось является главной.
Не приводя доказательства, укажем, что,
в случае если два главных центральных
момента инерции сечения равны между собой,
у этого сечения любая центральная ось
главная и все главные центральные моменты
инерции одинаковы.
Источник: http://5fan.ru/wievjob.php?id=6976