Простые ссудные ставки

Простые ссудные  ставки

 

Задача 1. В банк помещается  тыс.руб. под простую процентную ставку 6 % годовых. Нужно узнать какая сумма будет через три года. Какова величина начисленных процентов?

Решение:

Простая процентная ставка: F=P(1+n*r)

P=100 тыс., n=3, r=0.06, F=?

F=100(1+3*0.06)=118 тыс.руб.

Через три года на счете накопится 118 тыс. руб.

F-P=I – величина начисленных процентов

I=118-100=18 тыс. руб.

Величина начисленных через  три года процентов равна 18 тыс.руб.

 

Задача 2. На какой срок необходимо поместить денежную сумму под простую процентную ставку 8 процентов годовых, чтобы она увеличилась в 2 раза?

Решение:

F=P(1+n*r)

r=0.08, F=2*P, n=?

2*P=P(1+0.08*n)

n=12.5

Сумма размещенная в банке под 8 % годовых увеличится в 2 раза через 12,5 лет.

 

Задача 3. В финансовом договоре с клиентом банка предусмотрено погашение долга в сумме 8,9 тыс.руб. Кредит был взять 120 дней назад. Сумма кредита была 8 тыс.руб. Определите доходность  этой операции для банка в виде простых ссудных процентов.

Решение:

F=8.9; P=8; t=120; T=360; r=?

r= ((F-P)/(P*t))*T

r= ((8.9-8)/(8*120))*360=0.3375=33.75%

Доходность банка составит 33,75 %

 

Задача 4. В банк поместили 160 тыс.руб. на следующих условиях. Первые пол года ставка равна 8 % годовых. Каждый следующий квартал ставка повышается на 1 %. Какая сумма будет на счете через 1,5 года? Какую постоянную ставку должен использовать банк, чтобы сумма, накопленная банком, не изменилась?

Решение:

F=P(1+∑n*r)

1. P=160 тыс.руб., n=180/360=0.5, n2,n3,n4 = 0.25; r2,r3,r4 = 9%, 10%, 11%

F=160*(1+0.5*0.08-0.25*0.09+0.25*0.1-0.25*0.11+0.25*0.12)=181.6 тыс.руб.

Через полтора года на счете накопится 184,6 тыс.руб.

2. F=P(1+n*r)

F=181,6, P=160, n=1.5

160*(1+1.5*r)=181.6

r=0.09=9 % годовых

Постоянная ставка, которую должен использовать банк равна 9 % годовых.

 

Задача 5. Кредит выдается под простую ссудную ставку 24 % годовых на 250 дней. Рассчитать сумму, полученную заемщиком, и сумму процентных денег, если необходимо возвратить 3500 тыс. руб.

Решение:

P=F/(1+n*r), n=T/365, при F=3500; n=250/365; r=0.24

P=3500/(1+0.24*250/365)=3017.2

Сумма полученная заемщиком, составит 3017,2 тыс.руб. Сумма процентных денег равна (3500-3017,2)=482,8 тыс.руб.

 

Простые учетные  ставки

 

Задача 6. В банк 6 мая предъявлен для учета векселя на сумму 140 тыс.руб. со сроком погашения 10 июля того же года. Банк учитывает вексель по учетной ставке 40 % годовых, считая что в году 365 дней. Определить сумму, получаемую векселедержателем и комиссионные банка. За какое время до срока платежа операция учета векселя имеет смысл?

Решение:

P=F*(1-n*d), F=140, T=360, d=0.4, n=65/365 (смотрим финн. Таблицу)

P=140(1-0.4*65/365)=129.89

Векселедержатель получит от банка 129,89 тыс.руб.

Комиссионные банка (дисконт): D=F-P=140-129.89=10.11

Комиссионные, удерживаемые банком за свою услугу, равны 10,11 тыс.руб.

 

Задача 7. Вексель на сумму 900 тыс.руб. учитывается по простой учетной ставке за 120 дней до погашения с дисконтом 60 тыс.руб. в пользу банка. Определить величину годовой учетной ставки при временной базе 360 дней в году.

Решение:

d= ((F-P)/(F*t))*T

F=900, F-P=60, t=120, T=360

d=60*360(900*120)=0.20=20 %

Годовая учетная ставка при временной базе 360 дней в году равна 20 %.

 

Задача 8. Предприниматель планирует получить ссуду в 1 млн. руб. на 2 года. Банк предоставляет ссуду на условиях начисления простых учетных процентов по ставке 20% годовых. Какую сумму предприниматель должен будет вернуть банку через 2 года?

 

Решение: Для простой учетной ставки используется формула:

где Fn – накопленная через n периодов сумма долга;

Р – начальная сумма (1 млн. руб.);

d – ставка простых учетных процентов (20%);

n – количество периодов (n=2 года).

 

 

Задача 9. Определить, под какую ставку ссудных процентов выгоднее поместить капитал в 3 млн. руб. на пять лет - под простую ставку 10% годовых или под сложную ставку 8% при ежеквартальном начислении процентов?

Решение:

Для простой ставки в 10% годовых  через 5 лет накопленная сумма  составит:

Для сложной ссудной  ставки 8% годовых с ежеквартальным начислением процентов, накопленную сумму будем рассчитывать по формуле:

Для 8% годовых, значение ежеквартальных начислений: Число периодов (кварталов) за 5 лет составит n=20.

Накопленная сумма:

Выгоднее поместить под простую  ставку в 10% годовых.

 

Переменные учетные ставки

 

Задача 10. В банк предъявлен вексель на сумму 500 тыс.руб. за 1,5 года до его погашения. Банк учитывет вексель по переменной простой уч.ставки: первые пол года – 30 %, следующие полгода – 36 %, затем каждый квартал ставка повышается на 2 %. Определить дисконт банка и сумму которую получит векселедержатель.

Решение: Р=F(1-∑n*d)

n1=0.5; n2=0.5; n3=0.25; n4=0.25

d1=0.3; d2=0.36; d3=0.38; d4=0.4

Вычислим множитель наращивания 

1-(0,5*0,3+0,5*0,36+0,25*0,38+0,25*0,4)=0,475

P=500*0.475=237.5

Владелец векселя получит 237,5 тыс.руб.

Дисконт равен D=500-237.5=262.5 тыс.руб.

 

Задача 11. Что выгоднее для инвестора  – положить имеющие у него 1000 долл в банк на годовой депозит при ссудной ставке 4 % годовых или купить за 1000 долл вексель со сроком погашения через год и номинальной стоимости 1050 долл.

Решение: F=P(1+n*r)

P=1000, n=1, r=0.04

Вычислим сумму, которую  через год получит инвестор, положив 1000 долл в банк на депозит: F= 1000*(1+0,04*1)=1040

Купив вексель инвестор через год при его погашении  получит 1050 долл, а 1050 больше чем 1040 поэтому  для инвестора выгоднее приобрести вексель.

Сложные ставки

 

Задача 11. За выполненную работу предприниматель должен получить 600 тыс руб. Заказчик предлагает отложить срок уплаты на 2 года по истечению которых он обязуется выплатить 730 тыс руб. Выгодно ли это предпринимателю если приемлемая норма прибыли составит  10 %.

Решение:

P=600; n=2; r=0.1

F=600(1+0.1)2(в квадрате)=726

Будущая стоимость 600 тыс  руб через два года при норме  прибыли 10 % составит 726 тыс. руб. Это  меньше чем 730 тыс.руб. поэтому предпринимателю  выгодно ждать расчет 2 года.

 

Задача 12. Банк предоставит ссуду в размере 5000 долл. на 39 месяцев под 10 % годовых на условиях полугодового начисления процентов. Рассчитайте возвращаемую сумму при различных схемах процентов.

Решение:

39 мес = 6,5 полугодий

1. , считая полугодия базовым периодом: w=6; f=3.25*2-6=0.5; r=5%

F= 5000(1+0.05)^6+0.5=6865.9

По схеме сложных  процентов возвращаемая сумма равна 6865,9 долл.

2. F=P(1+r)^w(1+f*r), считая полугодие базовым периодом, при w=6; f=3.25*2-6=0.5; r=5%

F=5000(1+0.05)⁶*(1+0.5*0.05)=6867.9 долл

Наращение по смешанной  схеме всегда идет быстрее.

 

Задача 13. За какой срок первоначальный капитал в 500 тыс  руб увеличится до 2 млн руб., если на него будут начисляться сложные проценты по ставке 10 % годовых?

Решение:

F=2000; P=500; r=0.1; m=1

n= Ln(2000/500)/Ln(1.1)=14.54

Капитал в сумме 500 тыс  руб увеличится до 2 млн руб за 15 лет.

 

 

Задача 14. Фирме нужно накопить 2 млн долл, чтобы через 10 лет приобрести здание под офис. Наиболее безопасным способом накопления является приобретение безрисковых гос-венных ценных бумаг, генерирующих годовой доход по ставке 5% годовых при полугодовом начислении процентов. Каким должен быть первоначальный вклад?

Решение:

r=0.05; m=2; n=10; F=2000

P=2000/(1+0.05/2)^10*2=1220.542

Первоначальный вклад  фирмы составит 1220545 долл.

 

Сложные учетные ставки

 

Задача 15. Вексель на сумму 70 тыс руб учтен за 32 месяца по сложной учет ст. 24 % годовых. Определить суммы, которые получит предъявитель векселя при различных способах учета.

Решение:

1. P=F*(1-d)^w+f

n=32/12=8/3, F=70; d=0.24

P=70(1-0.24)^8/3=33.672

Владелец векселя получит 33 672 руб.

 

2. P=F(1-d)^w*(1-f*d)

w=2; f=2/3

P=70(1-0.24)²*(1-2/3*0.24)=33.963

Владелец векселя получит 33 963 руб.

Смешанная схема приносит большую сумму владельцу, чем  схема сложных процентов.

 

Задача 16. Вклад в размере 20 тыс руб помещен в банк на 5 лет на условиях начисления сложных процентов: по годовой учетной ставке: в первые два года – 16 %, в следующие два года – 19 %, в оставшийся год – 23 %. Определить наращенную сумму. При использовании какой постоянной сложной учетной ставки можно получить такую же сумму?

Решение:

1. n1=2; n2=2; n3=1

d1=0.16; d2=0.19; d3=23

F=20/(1-0.16)²(1-0.19)²(1-0.23)=56.106 руб

Наращенная сумма равна 56,106 руб.

2. Постоянную годовую учетную ставку d, дающую тот же результат, находим из равенства множителей наращения: (1-d)⁵=(1-0.16)²(1-0.19)²(1-0.23)

d=0.1864

Постоянная ставка, которая  дает тот же результат 0,1864

Эквивалентные ставки

 

Задача 17. Определить под  какую ставку ссудных процентов  выгоднее поместить капитал в 10 млн  руб на пять лет – под простую  ставку 15 % годовых или под сложную  ставку 12 % годовых при ежеквартальном начислении процентов?

Решение:

,при  m=4; n=5; r(m)=0.12; d_c=1000000

16.12 % больше 15 % поэтому предпочтительнее использовать сложную ставку. А при получении кредита нам выгоднее использовать простую ставку.

Эквивалентные ставки не зависят от вложенной суммы, но от периода начислений зависит.

 

ЗАДАЧА 18. Какие условия  предоставления кредита и почему более выгодно банку 1) 28% годовых  с ежеквартальным начислением. 2) 30 % годовых с полугодовым начислением %-ов.

решение:

1) n=4, r=0.28,

r_e=(1+r/m)^m-1

r_e=(1+0.28/4)⁴-1=0.3107=31.1%

2)при r=0.30; m=2

r_e=(1+0.30/2)²-1=0.3225=32.25%

Банку выгоднее 30% годовых  с полугодовым начислением процентов.

 

ЗАДАЧА 19. Определить номинальную  ставку, если эффективная ставка равна 9% и сложные проценты начисляются ежемесячно.

РЕШЕНИЕ:

r_e=0,09; m=12

r=12(1+0.09)^1/12-1=0.086=8.6%

Таким образом ежегодное  начисление сложных процентов по ставке 9% годовых дает тот результат, что и ежемесяное начисление сложных  процентов по ставке 8,6%

 

ЗАДАЧА 20. Срок уплаты по долговому обязательству  - полгода, простая учетная доходность этой операции, измеренная в виде простой ставки ссудного процента.

РЕШЕНИЕ: r=d/1-nd

n=0.5; d=0.18

r=0.18/(1-0.5*0.18)= 0.19=19%