Сопротивление проводников мостиков Уитстона

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 24.  (2 часа)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ  ПРОВОДНИКОВ МОСТИКОМ УИТСТОНА

Цель работы: ознакомиться с принципом работы схемы мостика Уитстона. Определить неизвестное сопротивление и удельное сопротивление проводника.

Рис. 2. Схема мостика Уитстона

а)                                         б)

Рис. 1. Схема определения сопротивления

Теоретическое введение. Наиболее часто для измерения сопротивления проводника применяется одна из схем, приведенных на рис. 1 (а и б), в силу их простоты. Однако любая из этих схем обладает существенным недостатком. В самом деле, любой прибор обладает конечным, но не нулевым сопротивлением. Поэтому, даже при высоком классе точности приборов, вольтметр, в первом случае, будет показывать суммарное падение напряжения на амперметре и исследуемом сопротивлении (показания амперметра соответствуют току через R_Х). Во втором случае амперметр будет показывать суммарный ток, протекающий через вольтметр и сопротивление R_Х. Показания же вольтметра соответствуют падению напряжения на R_Х. Таким образом, в любом из этих случаев значение сопротивления R_Х, найденное из закона Ома, будет неверным.

      а)                              б)

Рис. 1. Схема определения сопротивления.

Рис. 2. Схема мостика Уитсона.

Схема, сводящая к минимуму влияние прибора на точность измерений, была предложена Уитстоном - так называемый мостик Уитстона (рис. 2). Четыре сопротивления R₁, R₂, R₃, R₄ образуют плечи мостика. R_Б и e - сопротивление и ЭДС батареи. R_г и I_г - сопротивление гальванометра и ток, протекающий через него.

Для расчета сложных  цепей, одной из которых является мостик Уитстона, применимы правила Кирхгофа.

Первое правило: алгебраическая сумма токов, сходящихся в любой точке разветвленной цепи, равна нулю:

 (1).

Токи учитываются со знаком «+», если они приходят в рассматриваемую точку, и со знаком «–», если они выходят из этой точки. Первое правило Кирхгофа применяется к узловым точкам цепи, в которых сходятся три и более токов. Первое правило вытекает из закона сохранения электрического заряда.

Второе правило: если несколько участков электрической цепи образуют замкнутый контур, то сумма падений напряжений на всех участках этого контура равна сумме ЭДС, действующих в этом контуре:

 (2).

Падение напряжения I×R считается положительным, если выбранное направление тока на данном участке контура совпадает с направлением обхода контура и отрицательным, если направление тока и обхода противоположны. ЭДС e имеет положительное значение, если при обходе контура внутри элемента переходим от «–» полюса источника к «+», и отрицательное, если наоборот.

Воспользовавшись правилами Кирхгофа, можно получить шесть независимых  уравнений для мостика Уитстона. По первому правилу Кирхгофа для узлов А, В и С:

  (3)

По второму правилу Кирхгофа для контуров АВСeА, АВDА и ВСDВ

  (4) .

Эти уравнения позволяют найти  шесть неизвестных величин. Если неизвестно одно из сопротивлений, например R₁, то измеряя гальванометром силу тока I_г, из уравнений получают остальные токи и искомое сопротивление R₁. Так поступают в случае неравновесного мостика Уитстона. Изменяя сопротивления R₂, R₃, R₄, можно добиться, что ток через гальванометр станет равным нулю. В этом случае гальванометр не внесет искажений в схему, и уравнения (3) примут вид I₁ = I₂   I₃ = I₄ ,

из уравнений (4) получим:  I₁×R₁ = I₃×R₃   I₂×R₂ = I₄×R₄ ,

отсюда:   (5) .

Неизвестное сопротивление R₁ можно выразить через три других сопротивления

 (6) .

Равенство нулю силы тока через гальванометр определяет равновесное состояние  мостика Уитстона. В этом случае, как видно из формулы (6), для вычисления неизвестного сопротивления необходимо знать абсолютное значение сопротивления R₂ и отношение R₃/R₄.

ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ

Рис. 3. Схема экспериментальной установки

Для измерений применяется схема (рис. 3), аналогичная приведенной на рис. 2. В качестве сопротивления R₂ используется магазин сопротивлений. Сопротивления R₃ и R₄ - участки реохорда - калиброванной проволоки, натянутой на деревянную линейку. Точка D представляет собой подвижный контакт - щуп. Передвигая щуп вдоль реохорда, уравновешивают схему, то есть добиваются положения, когда сила тока через гальванометр равна нулю. Так как реохорд изготовлен из однородной проволоки постоянного сечения, то сопротивления R₃ и R₄ оказываются пропорциональными длинам участков АD и DС. В этом случае отношение R₃/R₄ можно заменить отношением длин l₃/l₄. Неизвестное сопротивление найдется по формуле

  (7) .

Удельное сопротивление проводника находится из соотношения

 (8) ,

где l – длина проводника, S – площадь поперечного сечения; S=p×d ²/4, d – диаметр проводника.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ И ЗАДАНИЯ

1. На магазине сопротивлений R₂ установить сопротивление 1 Ом. Положения остальных ручек должны соответствовать нулевым сопротивлениям.
2. Уравновесить схему. Для этого щупом найти положение точки D, соответствующее нулевой силе тока через гальванометр, и определить длины l₃ и l₄. Данные R₂, l₃ и l₄ занести в таблицу.
3. Последовательно изменяя сопротивление R₂ от 1 до 9 Ом, повторить пункт 2.

Таблица

№ изм.	R2 , Ом	l3 , м	l4 , м	RХ , Ом	RХ ср , Ом	DRХ , Ом	dср , м	r, Ом×м	e, %
1	1	0,46	0,11	4,18	7,08	0,10	0,3×10-3	0,88∙10-6	1,36
2	2	0,41	0,16	5,12
3	3	0,38	0,19	6,00
4	4	0,36	0,21	6,87
5	5	0,34	0,23	7,39
6	6	0,33	0,24	8,25
7	7	0,31	0,26	8,35
8	8	0,30	0,27	8,89
9	9	0,28	0,29	8,69
DR2=0,05 Ом

4. Вычислить в каждом из случаев сопротивление R_Х по формуле (7). Рассчитать среднее значение R_{Х ср} как среднее арифметическое всех .
5. Используя значение R_{Х ср} , по формуле (8) найти удельное сопротивление r проводника. Результаты занести в таблицу.
6. Вычислить абсолютную и относительную e погрешность измерений сопротивления R_Х по результатам одной из средних строк таблицы, считая ошибки в определении длин l₃ и l₄ систематическими и равными 0,5 мм.
7. По результатам работы сделать вывод.

 

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. В чем преимущество мостика Уитстона по сравнению со схемами, приведенными на рис. 1?

Преимущество  мостика Уитстона по сравнению со схемами, приведенными на рис. 1 в том, что он сводит к минимуму влияние электроизмерительных приборов на точность измерений.

2. Сформулировать и записать I и II правила Кирхгофа.

Первое  правило: алгебраическая сумма токов, сходящихся в любой точке разветвленной цепи, равна нулю:

Второе  правило: если несколько участков электрической цепи образуют замкнутый контур, то сумма падений напряжений на всех участках этого контура равна сумме ЭДС, действующих в этом контуре:   

ОТЧЕТ

ВЫЧИСЛЕНИЯ:

;       ;       ;

;        ;        ;

;         ;

;

; ;

;        ;

;

ВЫВОДЫ:

Я ознакомилась с принципом работы схемы мостика Уитстона. На простом мосте Уитстона можно вести измерения с точностью до десятых долей Ома. Недостатком схемы является то, что неконтролируемое сопротивление сое-динительных проводов прибавляется к величине измеряемых сопротивлений. Определила неизвестное сопро-тивление Rxср = 7,08 Ом и удельное сопротивление проводника ρ = 0,878∙10-6 Ом∙м. Абсолютная погрешность ∆R и относительная погрешность e измерений сопротивления RХ по результатам 5-й строки таблицы составили: ∆R = 0,1 Ом, ε = 1,36%