Стохастические системы в физике и технике

Московский Государственный технический  университет имени Н.Э. Баумана

 

 

 

 

 

Курсовая работа по курсу

«Стохастические процессы в физике и технике».

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнил  студент группы ФН4:

Преподаватель:

Бункин  Н.Ф.

 

 

 

Москва, 2011г.

 

Оглавление

1.Задание. 3

2.Решение 4

2.1 План решения 4

2.2 Решение задачи. 7

3.Алгоритм в среде Maple 16. 9

4.Результаты. 10

Список литературы. 13

 

 

План

1.Задание.

Рис.1 Схема линейного  фильтра.

 

На  вход линейной системы действует  белый шум  с корреляционной функцией . Найти корреляционную функцию , спектральную плотность и характеристическую функцию сигнала на выходе системы.

 

2.Решение

2.1 План  решения

В данной части приведены основные результаты теории, которые применяются  в курсовой работе.

Для описания случайных, или стохастических процессов, вводят функцию плотности  распределения вероятностей , с помощью которой можно определить вероятность появления значений случайной величины x в момент времени t. Вероятность того, что величина x принимает значение, лежащее в некотором интервале [x₁, x₂] в момент времени t, определяется выражением

.

Функция плотности распределения  вероятностей является неотрицательной  и нормированной.

Случайный процесс описывается  также так называемой характеристической функцией , которая связана с плотностью распределения вероятностей фурье-преобразованием:

,

.

Последняя формула представляет собой  обратное преобразование Фурье.

Характеристическую функцию можно  определить, используя выражение:

,

где - коэффициенты, называемые кумулянтами. К примеру, - кумулянты первого и второго порядка. Согласно теореме Марцинкевича, производя преобразование Фурье над функцией (3), можно получить неотрицательное распределение лишь при n=1,2 или n= .

Используя кумулянты первого и  второго порядков, характеристическая функция будет иметь вид

.

Такой функции соответствует нормальное, или гауссово распределение вероятностей.

Статистическую связь между  случайными величинами и характеризует корреляционная матрица

.

Если  , - значения одного и того же случайного процесса в разные моменты времени:

,

то элементы корреляционной матрицы являются частными значениями корреляционной функции

.

Корреляционная функция имеет  максимальное значение в момент времени  :

.

Переменной, фурье-сопряженной с  временем t, является частота . При описании многих физических процессов пользуются их спектральным представлением, т.е. рассматривают эти процессы как функции от . Для процесса :

,

где называют спектральной амплитудой.

Одной из важнейших характеристик  случайного процесса является спектральная плотность  , которая описывает распределение среднего значения интенсивности по угловым частотам:

.

Функция является действительной и неотрицательной. В физических системах , как правило, имеет смысл распределения энергии. Иногда эту функцию называют "спектральной интенсивностью".

Важнейшее свойство стационарного  случайного процесса состоит в том, что спектральная плотность  является Фурье-образом корреляционной функции этого процесса. Это утверждение известно как теорема Винера – Хинчина:

,

.

Для линейных систем, в которых  протекают случайные процессы, одним  из свойств является связь частотной  передаточной функции  и функции Грина . Эти функции связаны преобразованием Фурье:

,

,

где ; - отклик системы и внешнее воздействие.

Спектральные плотности на входе  и выходе линейной системы связаны  с использованием квадрата модуля частотной  передаточной функции:

.

 

2.2 Решение задачи.

Для получения  коэффициента передачи составим систему дифференциальных уравнений, используя законы Кирхгофа. Выбранные направления токов показаны на рис.2:

Рис.2 Выбранные  направления токов.

Входное и  выходное напряжения:

.

Передаточная  функция есть отношение выходного  к входному напряжению:

.

Выразив из (14) ток  через второй конденсатор, получим в итоге:

Все дальнейшие вычисления выполнены с использованием математического пакета Maple 16.

 

2

С учетом того, что спектральная плотность  белого шума (входного сигнала) равна  , с использованием (13), можно определить спектральную плотность выходного сигнала .

 

3

Корреляционная  функция на выходе системы определяется в результате Фурье-преобразования над функцией (согласно (10)).

 

4

Характеристическая  функция выражается согласно (4). Дисперсия  выходного сигнала, необходимая  для этого представления определяется как максимальное значение корреляционной функции, в соответствии с (7).

 

Результаты  расчетов и значения задаваемых параметров приведены на рисунках.

 

3.Алгоритм в среде Maple 16.

 

Данный алгоритм был реализован в математической среде Maple 16:

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

 

>

>

>

 

>

>

>

 

>

>

 

4.Результаты.

После нахождения всех неизвестных  величин были получены их графики.

Из графиков передаточной функции можно заключить, что устройство можно использовать как одно- и двух полосный высокочастотный фильтр.

Кроме того были получены графики корреляционной функции. Добротность понижается с  уменьшением сопротивления.

 

 

Представлено  сравнение спектральной плотности  выходного сигнала с квадратом  передаточной функции

Список литературы.

1. Бункин Н.Ф., А.Н.Морозов Стохастические системы в физике и технике.-М.: МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2011.

2. Ахманов С.А., Дьяков Ю.Е., Чиркин А.С. Введение в статистическую радиофизику и оптику.- М.: Наука, 1981.