Теоретико-групповой анализ колебательных и магнитных представлений HoFe3(BО3)4

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального  образования

«Сибирский  государственный аэрокосмический  университет

имени академика М.Ф. Решетнева»

(СибГАУ)

 

 

 

Научно-образовательный центр

«Институт космических  исследований и высоких технологий»

 

Кафедра технической  физики

 

 

 

 

Курсовая  работа

 

Теоретико-групповой  анализ колебательных и магнитных  представлений HoFe₃(BО₃)₄

 

 

 

 

                                                              Выполнил:

                                                                              cтудент гр. БФ-81

                                                                     Елисеева Н.П.

 

                                                                                       Научный руководитель:

                                                             к.ф.-м.н.

                                                                         Софронова С.Н.

 

 

 

 

Красноярск 2011

ОГЛАВЛЕНИЕ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. ЛИТЕРАТУРНЫЙ ОБЗОР

 

Существование магнитоэлектрических взаимодействий в редкоземельных ферроборатах, RFe₃(BО₃)_4, кристаллическая структура которых при высоких температурах тригональная и описывается пространственной группой ,   было обнаружено недавно.[1]

Для физики магнитных явлений эти  соединения представляют большой интерес  как f−d-соединения со своей спецификой взаимодействия редкоземельной и железной подсистем.[2] Главным элементом кристаллической структуры редкоземельных ферроборатов (пространственная группа R32) являются спиральные цепочки октаэдров FeO₆, соприкасающихся по ребру, ориентированные вдоль оси c. Связи между ионами Fe³⁺ вдоль цепочки и между цепочками таковы, что антиферромагнитное взаимодействие внутри цепочки сильнее, чем взаимодействие между цепочками. Железная подсистема в RFe₃(BО₃)₄ упорядочивается при температурах Нееля T_N порядка 30−40K. Редкоземельная подсистема подмагничена за счет f−d-взаимодействия. В магнитную анизотропию и ориентацию магнитных моментов в этих соединениях редкие земли дают существенный вклад.

 Ферробораты RFe₃(BО₃)₄ с разными R могут быть легкоосными (магнитные моменты R и Fe ориентированы вдоль оси c кристалла), легкоплоскостными антиферромагнетиками, спиральными магнетиками (магнитные моменты R и Fe лежат в ab-плоскости кристалла) либо образуют угловые магнитные структуры. Было установлено, что редкоземельные ферробораты принадлежат к новому классу мультиферроиков, в которых сосуществуют упругие, магнитные и электрические параметры порядка. При определенной магнитной структуре кристалла, возникает электрическая поляризация. Появление электрической поляризации в некоторых кристаллах ферробората связано с ориентационными фазовыми переходами.[3] Поэтому изучение магнитных фазовых диаграмм и природы фазовых переходов в этих кристаллах, а также способы управления магнитным состоянием очень важны. Но на сегодняшний день полного понимания механизмов возникновения спонтанной поляризации и взаимосвязи магнитных и электрических свойств нет. Теоретических расчетов как магнитных, так и электрических свойств такого рода соединений крайне мало. В связи с этим проведение расчетов фононных спектров, магнитных обменных взаимодействий очень важно.

Поскольку в элементарной ячейке исследуемых соединений содержится большое число атомов (20 в R32 и 60 в ), то для анализа фононных спектров, магнитной структуры необходимо провести теоретико-групповой анализ. На основании теоретико-группового анализа можно из соображений симметрии определить, какие колебания присутствуют в кристалле, найти собственные вектора колебаний, определить правила отбора для Раман и ИК спектроскопии. Поскольку в кристалле имеются магнитные атомы, в рамках теоретико-группового анализа можно определить возможные магнитные структуры. Для понимания механизмов фазовых переходов и взаимосвязи магнитных и электрических свойств, важно знать, с каким неприводимым представлением связано возникновение поляризации в кристалле, изменение магнитной структуры.

1.1 Основы теории групп

 

Для успешного применения теории представлений групп к  различным прикладным вопросам, часто, оказывается, необходимо произвести разложение приводимого представления на входящие в него неприводимые представления.

Чтобы получить набор всевозможных магнитных структур кристалла  RFe₃(BО₃)₄ нам надо разложить приводимое магнитное представление на неприводимые представления. Для этого введем несколько определений:

 

Группой называется всякое множество  элементов, в котором выполняются следующие четыре условия:

1. На множестве определено групповое действие «умножение» ставящее в соответствие каждой паре элементов и некоторый элемент из этого множества; это записывается так:

                                                           

                                                (1.1.1)

Элемент называется произведением элементов и g, а сами элементы и -сомножителями. Заметим, что произведение двух сомножителей зависит от их порядка, так что элементы и могут отличаться друг от друга.

2. Умножение ассоциативно: если , и три произвольных элемента, то произведение элемента f на элемент должно равняться произведению на элемент .
3. Множество содержит единичный элемент, т.е. такой, каков бы ни был элемент принадлежащий группе имеет место соотношение:

                                                

                                         (1.1.2)          

4. Вместе с любым элементом множество содержит элемент обратный данному:

                                                

                                      (1.1.3)          

Если умножение обладает свойством коммутативности, т.е. для любой пары элементов и имеет место равенство = , то группа называется коммутативной или абелевой.

Теория представлений изучает гомоморфные отображения произвольной группы на всевозможные группы линейных операторов. Значение теории представлений связано с тем обстоятельством, что подобные отображения возникают «сами собой» при рассмотрении задач, обладающих той или иной симметрией.

Мы будем говорить, что задано представление  группы в некотором линейном пространстве , если каждому элементу группы  отвечает оператор в пространстве , так что при этом произведение элементов группы отвечает произведение операторов

                                        

                                     (1.1.4)          

Размерность пространства называют размерностью представления.

Представление группы в пространстве называется приводимым, и если в существует, хотя бы одно нетривиальное подпространство инвариантное относительно всех операторов .

Пространство  линейного пространства называется инвариантным относительно некоторого оператора , если этот оператор, действуя на векторы из подпространства переводит их в векторы, принадлежащие этому же подпространству.

                                         

, если                                         (1.1.5)              

Все подпространства  пространства , кроме самого и нуль пространства, называется нетривиальными пространствами.

Представление группы в пространстве называется неприводимым, если в не существует ни одного нетривиального подпространства   инвариантного относительно всех операторов .

Характером  представления называется сумма диагональных элементов матрицы, соответствующей в каком - либо базисе оператору . Числа показывают сколько раз входят в представление неприводимые представления , определяют представление с точностью до эквивалентности.

Представление группы , связанные отношением

                                      

                                            (1.1.6)          

называются эквивалентными.

Если  есть неприводимое унитарное представление группы , действующее в пространстве  , то пространство можно разложить на сумму инвариантных подпространств

                                       

                                          (1.1.7)          

каждое, из которых образуется по одному из неприводимых представлений:

                                                 

                                               (1.1.8)             

Группы  . Инвариантное подпространство, преобразующееся по неприводимым представлениям, будет называться неприводимыми подпространствами. Разложение пространства на неприводимые взаимно-ортогональные подпространства называются полным разложением пространства . Подчеркнем, что неприводимые представления группы считаются неизвестными. Более того, мы будем считать, что каждое из неприводимых представлений задано в матричной форме.

В каждом из подпространств выберем ортогональный базис, таким образом, чтобы оператор изображался в каждом из этих подпространств выбранной заранее матрицей, то есть, чтобы имели место соотношения

                                 

                                (1.1.9)          

, , ;

здесь - есть базисный вектор с номером неприводимого подпространства . Выбранный таким образом базис будем называть каноническим.

Подчеркнем, что в данной формуле  коэффициенты не зависят от индекса . Это является результатом согласованного выбора базисов в подпространствах одного класса.

Метод, который используется для  решения задачи о фактическом  разложении приводимого представления, базируется на следующей Лемме: Оператор

                      

                        (1.1.10)             

оставляет неизвестными базисные векторы  и обращает в нуль все остальные базисные векторы. Так как все базисные векторы взаимно ортогональны, то лемму можно сформулировать еще и так:

Оператор  является оператором проектирования на подпространство , представляющее собой линейную оболочку векторов

                                      

;                                            (1.1.11)            

Поскольку оператор проектирование известен, то нетрудно найти и подпространства , на которое он проектирует все векторы из подпространства . Для этого достаточно взять произвольных векторов из

                                          

                                               (1.1.12)          

и подействовать на них  оператором , то полученные векторы

                                   

                                         (1.1.13)          

лежат в пространстве  и линейно независимы.

Итак, из пространства можно фактически выделить все подпространства , причем знание подпространств не является необходимым для этой цели.

Более полную характеристику подпространства  дает следующая теорема.

Если  - какое-нибудь инвариантное подпространство пространства , преобразующиеся по неприводимому представлению и

                                            

                                                (1.1.14)            

если канонический базис  в  , то вектор содержится в подпространстве . Наоборот, если есть произвольный вектор из подпространства , то существует неприводимое подпространство и притом только одно, содержащее этот вектор и преобразующееся по представлению . Вектор совпадает при этом с первым вектором канонического базиса в пространстве .

Существуют простые  формулы, связывающие вектора  с вектором и . Они имеют следующий вид