Три закона Кеплера

 

 

 

 

 

 

 

Реферат на тему: «Три закона Кеплера»

 

 

 

 

 

 

Выполнил студент 1-ого курса

геологического факультета СПбГУ

Казанов Сергей. Группа №2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Биография Иоганна Кеплера.

Иоганн Кеплер появился на свет 27 декабря 1571 года в городке Вейле близ Штутгарта  в Германии. Кеплер родился в бедной семье, и поэтому ему с большим  трудом удалось окончить школу и  поступить в 1589 году в Тюбингенский университет. Здесь он занимался  математикой и астрономией. Его  учитель профессор Местлин втайне был последователем Коперника. Вскоре и Кеплер стал сторонником теории Коперника.

Уже в 1596 году он издает "Космографическую тайну" где, принимая вывод Коперника  о центральном положении Солнца в планетной системе, пытается найти  связь между расстояниями планетных  орбит и радиусами сфер, в которые  в определенном порядке вписаны  и вокруг которых описаны правильные многогранники. Несмотря на то что этот труд Кеплера оставался еще образцом схоластического, квазинаучного мудрствования, он принес автору известность.

В 1600 году приехавший в Прагу  знаменитый датский астроном-наблюдатель  Тихо Браге предложил Иоганну  работу в качестве своего помощника  для наблюдений неба и астрономических  вычислений. После смерти Браге в 1601 году Кеплер начал изучать оставшиеся материалы с данными долголетних  наблюдений. Кеплер пришел к мысли  о неправильности мнения о круговой форме планетных орбит. Путем  вычислений он доказал, что планеты  движутся не по кругам, а по эллипсам. Первый закон Кеплера предполагает: Солнце находится не в центре эллипса, а в особой точке, называемой фокусом. Из этого следует, что расстояние планеты от Солнца не всегда одинаковое. Кеплер нашел, что скорость, с которой  движется планета вокруг Солнца, также  не всегда одинакова: подходя ближе  к Солнцу, планета движется быстрее, а отходя дальше от него - медленнее. Эта особенность в движении планет составляет второй закон Кеплера.

Оба закона Кеплера стали  достоянием науки с 1609 года, когда  была опубликована его "Новая астрономия" - изложение основ новой небесной механики.

Необходимость совершенствования  средств астрономических вычислений, составление таблиц движений планет на основе системы Коперника привлекли  Кеплера к вопросам теории и практики логарифмов. Он построил теорию логарифмов на арифметической базе и с ее помощью  составил логарифмические таблицы, впервые изданные в 1624 году и переиздававшиеся до 1700 года.

В книге "Дополнения к  Вителлию, или Оптическая часть астрономии" (1604) Кеплер, изучая конические сечения, интерпретирует параболу как гиперболу  или эллипс с бесконечно удаленным  фокусом - это первый в истории  математики случай применения общего принципа непрерывности.

В 1617-1621 годах в разгар Тридцатилетней войны, когда книга  Коперника уже попала в ватиканский "Список запрещенных книг". Кеплер издает тремя выпусками "Очерки коперниканской астрономии". Название книги неточно  отражает ее содержание - Солнце там  занимает место, указанное Коперником, а планеты, Луна и незадолго до того открытые Галилеем спутники Юпитера  обращаются по открытым Кеплером законам. В эти же годы Кеплер издает и "Гармонию мира", где он формулирует третий закон планетных движений: квадраты периодов обращения двух планет относятся  между собой как кубы их средних  расстояний от Солнца.

В течение многих лет он ведет работу по составлению новых  планетных таблиц, напечатанных в 1627 году под названием "Рудольфинские  таблицы", которые многие годы были настольной книгой астрономов. Кеплеру  принадлежат также важные результаты в других науках, в частности в  оптике. Разработанная им оптическая схема рефрактора уже к 1640 году стала  основной в астрономических наблюдениях.

Кеплер занимался не только исследованием обращения планет, он интересовался и другими вопросами  астрономии. Его внимание особенно привлекали кометы. Подметив, что хвосты комет всегда обращены в сторону  от Солнца, Кеплер высказал догадку, что  хвосты образуются под действием  солнечных лучей. В то время ничего еще не было известно о природе  солнечного излучения и строении комет. Только во второй половине XIX века и в XX веке было установлено, что  образование хвостов комет действительно  связано с излучением Солнца.

Умер ученый во время поездки  в Регенсбург 15 ноября 1630 года, когда  тщетно пытался получить хоть часть  жалованья, которое за много лет  задолжала ему императорская  казна.

 

 

Законы Кеплера

Законы Кеплера – это три эмпирических соотношения, выведенных Иоганном Кеплером в начале XVII века на основе наблюдений другого великого астронома того времени – Тихо Браге. Эти законы описывают идеализированную гелиоцентрическую орбиту планеты (то есть орбиту, когда планеты Солнечной системы вращаются вокруг Солнца).

Первый закон Кеплера

История открытия

Кеплер пришел к мысли  о неправильности установившегося  с древности мнения о круговой форме планетных орбит. Орбиты планет представляют собою более сложные  фигуры, чем окружность. Еще в  конце 16-го века, в начале 17-го (то есть до открытия Ньютоном закона всемирного тяготения) Иоганн Кеплер впервые решился  пересмотреть причины движения планет вокруг Солнца, Луны вокруг Земли. Он ошибался в оценке природы притягивающей  силы, но догадывался, что Солнце искажает притяжением пути планет, которые  стремятся двигаться по прямой. Кеплер на основе результатов кропотливых  и многолетних наблюдений Тихо Браге  за планетой Марс смог определить форму  его орбиты. После длительных расчетов, ошибок, разочарований, перебора множества  вариантов (математика не давала в то время возможности идти другим путем), Кеплер достиг согласования своих результатов  и записей о наблюдениях датского астронома. Орбита оказалась эллипсом. Солнце Кеплер расположил в одном  из фокусов эллипса. Сформулирован закон был в 1609 году.

Откуда следует формулировка 1-ого закона Кеплера: 
Каждая планета Солнечной системы обращается по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце.

Форма эллипса и степень  его сходства с окружностью характеризуется  отношением  , где   — расстояние от центра эллипса до его фокуса (половина межфокусного расстояния),   — большая полуось. Величина   называется эксцентриситетом  эллипса. При  , и, следовательно,   эллипс превращается в окружность. Эксцентриситет - параметр, являющийся характеристикой вытянутости эллипса. Он равен отношению расстояния от центра эллипса до его фокуса к длине большой полуоси (a) или отношению корня из разности квадратов большой и малой (b) полуосей к длине большой полуоси.

Ближайшая к Солнцу точка P траектории называется перигелием.

Точка A, наиболее удаленная от Солнца, называется афелием или апогелием.

Расстояние между афелием  и перигелием – большая ось эллипса (PA).

F и F' – фокусы орбиты.

m<<M, где m –масса планеты, а M – масса Солнца.

Примечания:

• Если центральным объектом является не Солнце, а, например, Земля (или иная планета) и нас интересует движение ее спутников, также можно пользоваться законами Кеплера. Надо Солнце заменить на Землю, а планеты - на спутники. 
  
• Современная формулировка первого закона дополнена так: в невозмущенном движении орбита движущегося тела есть кривая второго порядка – эллипс, парабола или гипербола; эти кривые получаются в результате разных вариантов сечения конуса.

Доказательство  первого закона Кеплера:

Закон всемирного тяготения  Ньютона гласит, что «каждый объект во Вселенной притягивает каждый другой объект по линии, соединяющей  центры масс объектов, пропорционально  массе каждого объекта, и обратно  пропорционально квадрату расстояния между объектами». Это предполагает, что ускорение a имеет форму

В полярных системах координат:      

В координатной форме:

Подставляя  и во второе уравнение, получим

  

Проинтегрировав, получаем:

для некоторой константы  , которая является удельным угловым моментом( ).Пусть:

Уравнение движения в направлении  становится равным

Закон всемирного тяготения  Ньютона связывает силу на единицу  массы с расстоянием как

где G — универсальная гравитационная константа и M — масса звезды.

В результате

Это дифференциальное уравнение  имеет общее решение:

для произвольных констант интегрирования e и θ₀.

Заменяя u на 1/r и полагая θ₀ = 0, получим:

Получается уравнение конического сечения с эксцентриситетом e и началом системы координат в одном из фокусов. Таким образом, первый закон Кеплера прямо следует из закона всемирного тяготения Ньютона и второго закона Ньютона.

 

 

 

 

 

 

 

Второй закон Кеплера 
История открытия

Изучая по наблюдениям  закономерности движения планет, Кеплер смог открыть и такое правило: за любые равные промежутки времени линия, соединяющая Солнце с планетой, покрывает равные по площади участки внутри эллипса.

Это второй закон Кеплера  или закон площадей. Он предвосхитил собою позднее выведенный закон  сохранения момента импульса. Следствие  из этого закона такое: скорость, с  которой движется планета вокруг Солнца, также не всегда одинакова: подходя ближе к Солнцу, планета  движется быстрее, а отходя дальше от него – медленнее. Эта особенность в движении планет составляет второй закон Кеплера.

При этом И. Кеплер разрабатывает  принципиально новый математический аппарат, делая важный шаг в развитии математики переменных величин.

Оба закона Кеплера стали  достоянием науки с 1609 года, когда  была опубликована его знаменитая «Новая астрономия» – изложение основ новой небесной механики. Однако выход этого замечательного произведения не сразу привлек к себе должное внимание: даже Галилей, по-видимому, до конца дней своих так и не воспринял законов Кеплера. Интересно, что закон площадей Кеплер открыл раньше, чем форму планетных орбит. 
Формулировка закона: Радиус-вектор планеты описывает в равные промежутки времени равные площади.

Доказательство  второго закона

По определению угловой  момент точечной частицы с массой и скоростью записывается в виде:

Где r — радиус-вектор частицы а p=mv — импульс частицы. Площадь, заметаемая радиус-вектором r за время dt из геометрических соображений равна , где представляет собой угол между направлениями r и v.

По определению:

.

В результате мы имеем:

.

Продифференцируем обе части  уравнения по времени:

поскольку векторное произведение параллельных векторов равно нулю. Заметим, что F всегда параллелен r, поскольку сила радиальная, и p всегда параллелен v по определению. Таким образом, можно утверждать, что , следовательно, и пропорциональная ей скорость заметания площади  — константа. 

 

 

Третий закон Кеплера 
История открытия

Кеплер  интуитивно чувствовал, что существуют закономерности, связывающие всю  планетную систему в целом. И  он ищет эти закономерности в течение  десяти лет, прошедших после публикации «Новой астрономии». Богатейшая фантазия и огромное усердие привели Кеплера  к его так называемому третьему закону, который, как и первые два, играет важнейшую роль в астрономии. Кеплер издает «Гармонию мира», где  он формулирует третий закон планетных  движений. Ученый установил строгую  зависимость между временем обращения  планет и их расстоянием от Солнца. 
Наконец, Кеплер отметился еще и третьим законом планетных движений. Он вычислил, что отношения кубов больших полуосей орбит и квадратов периодов обращения планет вокруг Солнца - величины равные. Или где a1 и a2 - длины больших полуосей орбит двух планет, а T1 и T2 - периоды их обращения вокруг Солнца. Если, скажем, мы знаем длину большой полуоси орбиты Земли и период ее движения вокруг Солнца (год), то, установив из наблюдений период движения другой планеты, мы легко можем вычислить большую полуось ее орбиты. Если принять большую полуось Земной орбиту за единицу, а период обращения измерять в годах, то, используя в качестве первой планеты в формуле третьего закона Землю, мы сможем переписать закон так: a3=T2, 
где а измеряется в длинах большой полуоси земной орбиты, а Т - в годах. Длину большой полуоси орбиты Земли издавна принято называть астрономической единицей. Расстояние до других планет в астрономических единицах люди узнали гораздо раньше, чем расстояние от Земли до Солнца, благодаря третьему закону Кеплера.

Круговая и эллиптическая  орбиты. При R = a периоды обращения тел по этим орбитам одинаковы.

Формулировка  закона: Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся, как кубы больших полуосей орбит планет. Справедливо не только для планет, но и для их спутников.

(Формула, уточненная  Ньютоном)

Где T₁ и T₂ – периоды обращения двух планет вокруг Солнца, а a₁ и a₂ – длины больших полуосей их орбит. 
Математическая запись уточнённого третьего закона Кеплера:

P – период обращения

a – большая полуось относительной орбиты спутника данной планеты.

Доказательство  третьего закона:

Второй закон Кеплера  утверждает, что радиус-вектор обращающегося  тела заметает равные площади за равные промежутки времени. Если теперь мы возьмём  очень малые промежутки времени  в момент, когда планета находится  в точках A и B (перигелий и афелий), то мы сможем аппроксимировать (то есть заменить) площадь треугольниками с высотами, равными расстоянию от планеты до Солнца, и основанием, равным произведению скорости планеты на время.

Используя закон сохранения энергии для полной энергии планеты  в точках A и B:

Теперь, найдено , можно найти секториальную скорость. Так как она постоянна, то можем выбрать любую точку эллипса: например, для точки B получим:

 

Однако полная площадь  эллипса равна  (что равно , поскольку ). Время полного оборота, таким образом, равно:

Стоит заметить, что если масса m не пренебрежимо мала по сравнению с M, то планета будет обращаться вокруг Солнца с той же скоростью и по той же орбите, что и материальная точка, обращающаяся вокруг массы . При этом массу M в последней формуле нужно заменить на :

 

 

 

Библиография:

1. Белонучкин В.Е. «Кеплер, Ньютон и все, все, все…» Москва «Наука» 1990 г.
2. http://biographiesofpeople.ru/biografiya/1436-Iogann%20Kepler%20.html
3. http://ru.wikipedia.org/wiki/Кеплер,_Иоганн
4. http://otherreferats.allbest.ru/biology/00084301_0.html
5. http://elementy.ru/trefil/21152
6. http://astronom-ntl.narod.ru/astro/kepler