Явления переноса в газах. Средняя длина свободного пробега. Эффективное сечение

Явления переноса в газах.

Средняя длина свободного пробега.

Эффективное сечение

Столкновение молекул представляет собой тот механизм, который приводит систему в равновесное состояние. В идеальном газе эти столкновения происходят только между двумя молекулами; одновременными столкновениями между тремя и большими числами молекул пренебречь.

Столкновения являются случайными процессами и зависят: от скорости молекул, их размеров и концентрации. При столкновении молекулы сближаются до некоторого наименьшего расстояния, которое условно считается суммой радиусов взаимодействующих молекул: .

Столкновения между молекулами может произойти только в том, случае, если их центры сблизятся на расстояние, меньшее или равное , или, если центр молекулы окажется внутри круга, имеющего площадь . Величина называется сечением рассеяния молекул, и при одинаковых сталкивающихся молекулах , где  диаметр молекулы.

Среднее расстояние, проходимое молекулой между двумя последовательными столкновениями называют средней длиной свободного пробега молекулы . Это случайная величина.

Промежуток времени  между двумя последовательными соударениями тоже есть случайная величина, зависящая как от скорости взаимодействующих молекул, так и от их взаимного расположения. Среднее значение  называют средним временем свободного пробега.

Пусть пучок, содержащий в начале рассмотрения его движения (t=0, x=0) N0 молекул, движущихся в газе вдоль оси Х со средней скоростью , имеет сечение dS.

Благодаря рассеянию при соударениях с молекулами газа число молекул в пучке уменьшается и в момент времени t при k=x составляет N=N(k).

При дальнейшем перемещении на dx число нерассеянных молекул уменьшится на  наша задача заключается в том, чтобы выяснить: от чего зависит ?

 вероятность рассеяния.

 вероятность рассеяния молекулы на единичном пути =1; это отношение суммарного сечения рассеяния молекул (<1, т.е. сечения рассеяния не перекрывают друг друга), расположенных в цилиндре с сечением dS и единичной длиной (высотой цилиндра =1), к сечению пучка молекул dS:

, интегрируя от N0 до N и от 0 до х, получим:

.

Обозначая , получаем

.

 средняя длина свободного пробега молекул.

Число молекул dN, для которых длина пробега в пучке составила (х; х+dx), равно:

.

 вероятность того, что молекула пройдёт расстояние x до столкновения.

Интегрируя по частям, найдём

.

Т.к.  среднее время свободного пробега молекул.

 среднее число столкновений в единицу времени.

Более точное рассмотрение задачи показывает, что вместо средней скорости следует рассматривать относительную скорость:

Выражение для ,  и z уточняются:

Итак,

― из-за рассеяния интенсивность пучка убывает экспоненциально.

называют коэффициентом рассеяния, это вероятность рассеяния на единице длины.

На этой формуле основан прямой метод измерения длины свободного пробега (М.Борн и Е.Борман ― 1921 г.).

Идея опыта: путём испарения получался пучок атомов серебра, резко ограниченный диафрагмами. На пути пучка помещались 4 коаксиальных диска на расстоянии 1 см друг от друга, в которых были вырезаны одинаковые круглые отверстия с центрами на оси системы.

На каждом диске закреплялся стеклянный квадрант, вершина которого лежала на оси системы. Квадранты были повернуты на 900 друг относительно друга, так что на каждый из них направлялась ¼ часть атомов пучка. Вся система помещалась в кварцевой трубке, давление воздуха в которой менялось с помощью насоса и измерялось манометром. Диски охлаждались жидким азотом:

.

измерялось по степени почернения стеклянных квадрантов.

Основные сведения о длинах свободного пробега были получены косвенными методами при изучении явлений переноса: внутреннего трения, теплопроводности и диффузии.

4