Жылу конвекцияның кері есебінің шешімінің алгоритмін параллельдеу

МАЗМҰНЫ

 

КІРІСПЕ..................................................................................................................3

 

1. НЕГІЗГІ ТЕҢДЕУЛЕР ЖҮЙЕСІ……....................................................................5

   1.1 Математикалық физиканың негізгі есептері...............................................5

   1.2 Параболалық типті айырымдылық схемалары.........................................ч

   1.3 Сызықты жылу конвекция теңдеулер жүйесіне интегралдық,

         қосымша анықталған, шартпен қойылған кері есеп.......................................ч

 

2. САНДЫҚ ӘДІС................................................................................................17

   2.1 Жылу конвекция  теңдеулер жүйесіне қойылған тура

         есепті сандық шешу………………………………………............................17

   2.2 Жылу конвекция теңдеулер жүйесіне қойылған кері

        есепті сандық шешу………………………………………............................4

 

3. ПАРАЛЛЕЛЬДІ АЛГОРИТМ ҚҰРУ............................................................10

   3.1 Параллель программалау дамуының хронологиясы………. …………....10

    3.2 Процессорлардың көптүрлiлiгi. Топология..................................................10

    3.3 Параллель программалаудың тиімділігін бағалау......................................10

 

4. ЕСЕПТЕУ ЭКСПЕРИМЕНТІ...........................................................................26

 

5. САНДЫҚ НӘТИЖЕ..........................................................................................31

 

ҚОРЫТЫНДЫ......................................................................................................34

 

ҚОЛДАНҒАН ӘДЕБИЕТТЕР.............................................................................34

 

 

 

 

 

 

 

 

Кіріспе

Әртүрлі температурасы  бар екі дене  жанасқан кезде, құрылымдық бөлшектердің (молекулалар, атомдар, бос электрондар)  қозғалыс энергияларымен алмасу пайда болады, сол үшін температурасы төмен дененің бөлшектерінің қозғалу қарқындылығы өседі, ал температурасы жоғары дененің бөлшектерінің қозғалу қарқындылығы азаяды. Нәтижесінде жанасқан денелердің біреуі қызады, ал екіншісі суиды. Көбірек қызған дененің бөлшектерімен суық дененің бөлшектеріне беретін энергия ағыны жылу ағыны деп аталады. Сонымен жылу алмасудың пайда болуының жалғыз шарты-қарастырылып отырған денелердің арасында температуралар айырмашылығының болуы, осымен бірге жылу ағыны кіші температуралар жағына бағытталады.

Жылу алмасудың техникадағы  да, табиғаттағы да маңызы - денелердің физика-химиялық қасиеттері негізінде  температураға, яғни жылулық күйіне байланысты. Жылулық күй жылу алмасудың шарттарымен анықталады, сол үшін олар заттың агрегаттық күйінің өзгеру процесстеріне, химиялық реакциялардың өтуіне (жеке алғанда жану процессіне), денелердің механикалық, электризоляциялық, магниттік және басқа қасиеттеріне шешуші ықпал тигізеді.

Жылу беру немесе жылу алмасу дегеніміз кеңістіктегі жылудың  таралуының өздігінен өтетін қайтымсыз  процесстері туралы оқу. Жылудың  таралу процессі деп қарастырылып отырған  жүйенің жеке элементтері мен  аумақтарының арасындағы ішкі энергиямен алмасу алынады. Жылу алмасу негізгі үш тәсіл арқылы іске асырылады: жылу өткізгіштік, конвекция және жылулық сәулелену арқылы.

Жылу өткізгіштік дегеніміз  қарастырылып отырған кеңістіктегі температураның өзгергіштігімен шартталған, денелердегі (немесе олардың арасындағы) жылудың молекулярлық тасымалдануы.

Конвекция – сұйықтық немесе газ (аққыш орта) көлемінің  кеңістікте бір температурасы бар  аумақтан басқа температурасы бар  аумаққа жылжу кезіндегі жылудың  тасымалдану процессі. Оған қоса жылудың тасымалдануы ортаның өзінің тасымалдануымен тікелей байланысты.

Жылу конвекциясын өте  дәл сипаттау үшін үлкен көлемдегі  мәліметтерді өңдеу қажет. Бұл мақсатта параллельді есептеуіш жүйелерді  қолданған тиімді. Параллелді есептеуіш жүйелерді қолдану (ПЭЖ) есептеу техникасының дамуының стратегиялық бағыты болып табылады.Қазіргі заманғы ғылым мен техника мүмкіндіктерінің "үлкен шақыру" мәселелері: климатты моделдеу, гендік инженерия, интегралдық схемаларды жобалау,  қоршаған ортаның ластануының анализі, емдік дәрумендерді жасау және тағы сол сияқтылар - өздерінің анализі үшін әр секундта  қалқымалы үтірі бар (1 TFlops) 1000 миллиард операцияларды орындайтын ЭЕМ талап етеді.

 

Компьютерлік архитектура  мен желілік технологиялардың дамуы, сондай-ақ есептеудің орасан көп санын талап ететін жаңа, ғылыми және қолданбалы міндеттердің пайда болуы программалау мен есептеу технологияларында параллель есептеулердің көкейкестілігі мен болашағы бар екендігін көрсетіп, программалау мен есептеу технологияларындағы орталық орындардың бірінен орын алды.

Жоғарғы дәрежелелі өнімділікті  есептеуіш жүйелерді құру мәселесі қазіргі заманғы ғылым мен  техникалық есептердің ең күрделісі  болып табылады. Осы мәселені шешу көптеген талантты ғалымдар мен конструкторлардың  білімдері мен күштерін жан – жақты концентрациялағанда ғана мүмкін, оның үстіне ғылым мен техниканың соңғы жетістіктерін қолдануды және маңызды финанстік инвестицияларды талап етеді. Сонымен қатар осы саладағы соңғы кездегі жетістіктер таңқаларлықтай. "Компьютерлік белсенділікті стратегиялық шектеу" Accelerated Strategic Computing Initiative – ASCI) [25] бағдарламасы АҚШ-та 1995ж қабылданған, осының негізінде суперЭЕМ- дердің өнімділігін 18 айда 3 есе арттыру және өнімділік дәрежесін секунтына 100 триллион операцияларды орындауға арттыру мәселелері болды. Қазіргі уақытта жылдам әрекет ететін суперЭЕМ-дердің бірі NEC жапон фирмасының  бір векторлық процесстің жылдамдығы секундтына 8 миллиард (8 GFlops) операциялар орындайтын SX-6 компьютері болып табылады. Көп процессорлы жүйелер үшін қол жеткізілген жылдам әрекет ету көрсеткіштері әлде қайда жылдам: мысалға, Intel (США, 1997) фирмасының ASCI Red жүйесінің жылдамдығы секундтына 1,8 триллион (1,8 TFlops) операциялар. Осы курстың лекйияларын жазу кезіндегі жылдам әрекет етуші есептеуіш жүйелердің  Top 500 тізімінде BlueGene/L есептеуіш комплексі алғашқы қатарда.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 Негізгі теңдеулер жүйесі

1.1 Математикалық физиканың негізгі есептері

Қарапайым дифференциалдық  теңдеудің шешімі бір айнымалыға және т.с.с. тәуелді болады. Көптеген тәжірибелік есептердің шешімі-ізделінетін функциялар бірнеше айнымалы және берілген мәліметтерге тәуелді теңдеулерге, ізделінетін функция  есептері дербес туынды болады.Олар дербес туынды теңдеулер деп аталады.

Математикалық қойылымдар дифференциалдық теңдеулермен бірге  кейбір қосымша шарттардан құралады. Егер шешім шектелген облыста  ізделінсе, онда оның шекаралық шарттары беріледі,олар шекаралық (шектік)  деп аталады. Осындай есептер шектік есептер деген атауға ие және дербес туынды теңдеулерге арналған.

Алғашқы шарттарды қанағаттандыратын  мәндері берілген есеп  дербес туынды теңдеулер жүйесі үшін Коши есебі (КЕ) деп аталады.Сол себепті есеп шығару барысында шексіз кеңістікте шығарылады және шекаралық шарттар берілмейді. Алғашқы және шекаралық шарттар қойылатын есептер стационарлық емес (аралас) шектік есептер деп аталады. Алынатын шешімдер уақыт өтуімен өзгереді.

Дұрыс қойылған есеп алғашқы және шекаралық шарттарын қанағаттандыратын шешімдері бар, сонымен қатар сол теңдеулердің шарттарының коэффициенттерінен үзіліссіз тәуелді болатын есептерді атайды.

Қарастырылып отырған  облыстың түрлі сеткеларының енгізілуіне негізделген есептеу әдістерінің ішіндегі түрлі әдістерді қарастырайық. Барлық туынды, алғашқы және шекаралық шарттар байлам сеткаларының функция мәндері арқылы беріледі,соның нәтижесінде түрлі схема деп аталатын сызықтық теңдеулер жүйесі шығады. Сетканың қарастырылып жатқан облысқа енгізілуіне негізделген дербес туынды теңдеулер шешуіне байланысты түрлі сеткалар құрастырылады. Сеткалар байламдары есептелетін нүктелер болып табылады.

 

 

 

 

 

 

a£x£b   x_i=a+ih₁  (I=0,1,…,I)

 

c£y£d   y_j=c+jh₂   (j=0,1,…,J)

 

 Түрлі сеткаларды құрастыру үшін дербес туынды теңдеулер кейбір шаблондардың шектік түрлі қатынастарымен алмастырылады.Сонда ізделініп жатқан функцияның нақты мәндері U торлы функциясының мәндерімен u түрлі байлам сеткаларында алмастырылады.

 

 

Айырымдылық схемасы алғашқы және шекаралық шарттар жылу өткішгіштік теңдеулерін шешу үшін келесі түрде беріледі:

        

Кез-келген мезетте қарастырылып жатқан [0,1] кесіндісінің аяғында ψ₁(t) және ψ₂(t) - температураларының бөлінуі алғашқы және шекаралық шарттарымен келісілген, яғни болуы керек. Тік бұрышты торды енгізейік : мұндағы һ,τ-қадамдар. -сетканың байламдарындағы функцияның мәндері.Сондықтан,

 

                                                    

 

Торлы функцияның ішкі байламдарындағы мәндерін табу үшін алгебралық теңдеулер жүйесін табамыз.Шекаралық шарттан

                                                                 (4)

 болғанда байламдар  жиынтығы қабат деп аталады. (2)-ден тізбекті мәндерді -нің қабатына лайықты мәндер арқылы -ді -қабатында табамыз. Мұндай схемалар айқындалған деп аталады. болғанда есеп басында бастапқы қабаттағы алғашқы шартпен анықталатын келесі түрдегі шешім қажет :

                                                               (5)

          Әрбір айырымдылық теңдеу (3) айқын схемаға қарағанда әрбір үш белгісіз нүктеде жаңа мағына қабатының мәндерін құрайды,сондықтан алдындағы қабаттың белгілі шешімдері арқылы бұл мәндерді лезде табуға болмайды.Олар айқынсыз схемалар деген атқа ие.Сонда (3) айырымдық схема сызықтық үш нүктелік теңдеулерден құралады, бірақ әрбір теңдеу тап осы қабаттың үш нүктесіндегі белгісіз функциядан тұрады.Ол айдап шығу әдісімен шешіледі.

         Тап осы мысалда екі қабатты схеманы қарастырдық,яғни әрбір айырымдылық теңдеуге екі қабатты функция мәндері –төменгі,қайсыда шешімі табылған және  жоғарғы,байламдағы шешімдері ізделуде кіреді.

Жинақтылық. Аппроксимация. Орнықтылық.

Алғашқы және шекаралық  шарттары берілген дифференциалдық есеп дербес туынды теңдеулермен операторлық түрде құрастырылып жазылады.

                                                         (6)

Операторлық теңдеу негізгі дербес туынды теңдеу және қосымша алғашқы және шекаралық шарттарынан тұратын теңдеуден құралады. теңдеудің алғашқы және шекаралық шарттарының оң жағын бейнелейді, есептеу облысынан да, шекарадан да тұрады. (6) дифференциалдық есепті айырымдылық есебімен алмастырамыз , мұндағы , мұндағы .

                                                                 (7)

 сеткалар байламдарында  торлар функциясының мәнін ізделінетін функцияның мәндерін жуықтап сол байламдағы қателіктермен алмастырады.

.                                                   (8)

 енгіземіз.

Егер  (9) байламдар торлары қоюланса, яғни бұл қателіктер мәндері нөлге ұмтылады,олай болса айырымдылық схема (7) қосылатын деп аталады.

Егер мұндағы , онда айырымдылық схемасы k-шы дәлдік ретті немесе жылдамдығымен қосылады деп те айтады. Тордағы қателікті есептеу үшін (7) теңдеуін жазайық. (7)-ге қойып,                                                      (10) аламыз.

Айырымдылық схеманың өлшемі байланыспау деп аталады (аппроксимация қателігі) .Өлшемдік сипаттамасын енгізейік.

                                                                                   (11)

 болғанда аппроксимация һ-пен салыстырғанда k-ші ретті болады. (7) айырымдылық схема (6) негізгі дифференциалдық есепті  аппроксимациялайды ,егер      

                                                                                        (12)

яғни, торды ұсақтаса онда байланыспау нөлге ұмтылады.

Абсолютті (сөзсіз) аппроксимация кез-келген заң бойынша ешбір шартсыз байланыспаудың болғанда нөлге ұмтылатын аппроксимация түрін айтады.Шартты аппроксимацияда кеңістік және уақыт бойынша қадамдар өлшемдеріне  кейбір шарттар қойылады. (7) айырымдылық схемасы орнықтылықтанған деп аталады,егер оның шешімі кіретін мәліметтермен үзіліссіз байланыста болса, яғни кіретін мәліметтер шамалы аз өзгерсе соған сай шешімнің мәндері де аздап өзгереді. Орнықтылық айырымдылық схемасының түрлі қателіктерге сезімталдығын  сипаттайды.

Теорема: Егер (6) негізгі дифференциалдық есептің шешімі бар болса, ал (7) айырымдылық схемасы берілген (6) шешімді орнықтылайды және аппроксициялайды, сонда айырымдылық шешімі дәлдікке қосылады.

1.2 Параболалық  типті айырымдылық схемалары.

Екі қабатты орнықтылық схемалар класы.Энергетикалық тепе-теңдік.Бір  өлшемді жылу өткізгіш теңдеуін дискреттеу.Шаблондары.Айырымдылық  аппроксимация реті.Орнықтылықты Фурье  әдісімен зерттеу.Бастапқы-шекаралық есептері.Алты нүктелік схемалар жиыны.Айқындалған және айқындалмаған схемалары.Кранк-Николсон схемасы.Аппроксимация реті,орнықтылығы.Жылу өткізгіштер теңдеуінің үш қабатты схемалары.Дюфонт және Франкель схемалары.Аппроксимация реті,орнықтылығы.Салмағы бар схемалары.Аппроксимация қателігі және орнықтылығы.Симметриялы және симметриялы емес схемалары.Бастапқы берілген бойынша орнықтылығы.Оң жағы бойынша орнықтылығы.

 

2.1-Параболалық типті  теңдеулері айырымдылық схемалары  

Параболалық типті теңдеудің классикалық мысалы жылу өткізгіштің теңдеуі болып табылады(диффузияя).Біртекті кеңістікте біртекті (энергия көзінсіз) жылу өткізгіштіктің теңдеуі мынандай түрде болады