Механика жидкости и газа

;

;

представляет  собой замкнутую систему уравнений гидродинамики или газовой динамики в зависимости, как уже было сказано выше,  от уравнения состояния.

 

    Газ  называется баротропным, если  плотность газа зависит только от давления    ρ=ρ(Р),  в противном случае газ называется бароклинным:    ρ=ρ(Р,Т), 

    1) Газ  несжимаем, если ρ=соnst

    2) Процесс  изотермичен, если температура  постоянная. В этом случае имеет  место формула:

    3) Процесс  адиабатичен (нет притока тепла  извне), тогда имеет место адиабата:

,   т.е.  

где γ - показатель адиабаты. Для воздуха          γ = 1,4. Для одноатомного газа   γ = 5/3.

    Для  стационарного потока идеальной  несжимаемой  жидкости  или газа справедлива теорема Бернулли: Р+ρυ² /2 = соnst = P₀.         

    Формулировка  теоремы:  при  стационарном  движении  идеальной несжимаемой жидкости в отсутствии объемных сил полный напор, равный сумме пьезометрического и скоростного  напора, сохраняет свою величину вдоль линии тока (траектории).

    Рo  - полный напор, или полное давление;

    Р - пьезометрический напор, или статическое давление;

    ρυ² /2 - скоростной напор.

    Из  формулы Бернулли находится скорость:  .  Эта формула показывает, что газ может течь только под действием перепада давления. Нет перепада давления - нет движения.

    Отношение  скорости    движения  газа в данной точке потока к соответствующей в данной точке скорости звука называется  числом Маха.  Число Маха  отличается  от числа  π тем,  что оно не постоянное.               π = 3.141593, а число Маха изменяется            0 < М < ∞.  Но тем не менее это число потому,  что оно безразмерное. Это число характеризует будет ли поток в данной точке  дозвуковым M  <  1,  звуковым  М =1 или сверхзвуковым М >  1. Скорость звука в воздухе 342 м/с. Скорость ветра 34 м/с - это ураган,  но по сравнению со скоростью звука - это глубокий дозвук, т.к. число Маха М = 0.1.

    На  срезе сопла ракеты число Маха М= 3 - 4.  Спускаемые аппараты входят в атмосферу со скоростью 20 Махов.

    Определим  еще одну функцию  состояния  -  энтропию.  Согласно второму   закону термодинамики при реальных процессах, протекающих в конечной изолированной системе энтропия возрастает (энтропия это еще одна,  наряду с давлением функция состояния, определяемая дифференциальным соотношением dS =dQ/T, где dQ - полное количество  тепла,  подводимое как извне,  так и изнутри,  Т - абсолютная температура).

    Для  адиабатического и плюс к этому  еще и изентропического течения газа кроме соотношения       справедливы формулы:

                       

    Связь  между отношениями незаторможенных и заторможенных плотностей,  давлений,  температур  и  чисел  Маха  потока называются изентропическими формулами:

 

     а)  отношения плотностей

         ;

         ;

 

     б)  отношения давлений

            ;           

           ;

 

     в)  отношения температур

                  ;

                 .

    г)  отношения скорости  потока к  скорости  звука в покоящемся  газе

    По  этим формулам определяют давление,  плотность, температуру заторможенного  газового потока т. е. если газ с известными значениями в потоке натекает на  стенку,  то  значения  параметров  на стенке определяются по изентропическим формулам.  По этим же формулам определяются параметры газа на срезе сопла ракеты  при известных значениях в камере сгорания.  В этом случае в камере сгорания газ является заторможенным.

    Итак, число  Маха  указывает  какой  здесь поток - дозвуковой, звуковой  или сверхзвуковой .

    Кроме  числа Маха есть и другие  важные числа.

    Число Рейнольдса:        ,    где

  l    - характерный размер,

  μ  - коэффициент динамической вязкости.

    Оно  характеризует  режим  течения  - ламинарный или турбулентный.  При ламинарном режиме течение имеет  спокойный,  струйчатый характер.

 

 

 

 

 

При турбулентном - движение неупорядоченное, вихревое.

                  

                                   

 

 

    Число  Рейнольдса может принимать значения от нуля  до  бесконечности.  Ламинарное  течение  реализуется при малых числах Рейнольдса. Переход ламинарного режима в турбулентный происходит при критическом значении числа Рейнольдса. Например при движении жидкости в трубах Rе = 2· 10³.  Характерным размером здесь является диаметр трубы.  Т. е.  критическое значение числа Рейнольдса для каждого потока своё.

    Число  Рейнольдса  определяет  отношение   силы вязкости к силе инерции.

 

    Число Прантля:    Рr = μ С_р λ _,

  λ - коэффициент теплопроводности.

    Число Прантля указывает на связь между вязкостью и  теплопроводностью. Или указывает на связь между тепловым потоком, вызванным трением,  и молекулярным переносом теплоты. (Определяет меру преобразования молекулярного переноса в теплоту).

    Число Нуссельта:   .

  α  - коэффициент теплоотдачи (теплопередачи),   l    - характерный размер,

  λ   - коэффициент теплопроводности.

    Число  Нуссельта характеризует интенсивность процесса  конвективного теплообмена т.е.  теплообмена при воздействии на тело потока газа или жидкости.

    Число Грасгофа:

    Здесь g = 9.8,  β - температурный коэффициент объемного расширения среды,

ΔT  - разность температур,   l  - характерный размер,     μ -коэффициент кинематической вязкости.

    Критерий  Грасгофа характеризует  относительную  эффективность подъемной силы,  вызывающей свободно-конвективное движение среды.

    Число Фруда:

    Оно  характеризует отношение силы  веса к силе инерции.  По  порядку величины  число Фруда определяет  отношение кинетической энергии жидкости к приращению её,  обусловленному работой сил тяжести на пути, равному характерной длине. Чем больше число Фруда, тем больше роль инерции по сравнению с тяжестью и наоборот.

    Число Эйлера:  .

    Число  эйлера  определяет  отношение   силы  гидродинамического давления  к силе инерции.

    Число Струхаля:   

    Число Струхаля  определяет отношение дополнительной (локальной) силы, вызванной неустановившимся характером движения, к силе инерции.

    Эти замечательные   числа  широко используются при моделировании,  т.е.  при получении характеристик на малых моделях.  Скажем необходимо определить мореходные качества корабля.  Строить большой корабль и на нем определять  его качества   нецелесообразно (дорого и трудоемко). Поэтому определяют нужные характеристики на маленьких моделях.

    Моделирование  проводят  по соответствующим критериям.  Например,  чтобы определить скорость, требуют, чтобы числа Маха на модели и на натуре совпадали. При моделировании режима течения требуют,  чтобы совпадали числа Рейнольдса для модели и для  натуры.

Имеем (Rе)_м   =  (Rе)_{н ,}

то есть 

    Но характерный  размер  l на натуре и на модели разные. Они отличаются в масштаб раз:  l_H =Масштаб · l_M . Если М =1:10 то  l_H =10 · l_M . Отсюда  и получается,  что для установления  равенства   чисел Re на модели и на натуре,  надо на модели  увеличивать, например, скорость в 10 раз.  Или увеличивать плотность, сохраняя скорость.

    Вот такую роль  играют все эти замечательные числа. Они, собственно, и были выведены исключительно из этих соображений.

    Таким образом,  кроме геометрического подобия, скажем два треугольника подобны, существуют другие виды подобия, например: гидродинамическое подобие.