Модели массобмена

,    (1-6)

Это уравнение  является уравнением кривой линии.

Если для данной системы  закон равновесного распределения  вещества между фазами неприменим, то эту зависимость можно найти по справочникам и построить соответствующую кривую на фазовой диаграмме. Чаще приходится пользоваться экспериментальными данными, так как законы распределения получены для идеальных систем.

Знание равновесных концентраций позволяет выяснить направление процесса (из какой фазы и в какую будет переходить распределяемое между фазами вещество), которое определяется стремлением к равновесию. Если

y > y* и, следовательно, x < x*, распределяемое вещество М будет переходить из фазы G в фазу L. При условии y < y*   
(x > x*) распределяемое вещество будет переходить из фазы L в фазу G.

Таким образом, распределяемое между фазами вещество в точке контакта фаз переходит в ту фазу, рабочая концентрация которой меньше равновесной.

 

Глава 2. Модели массопереноса

Основной вопрос теории массопередачи заключается в том, что происходит на межфазной поверхности. При этом необходимо не только выявить вид механизма переноса вещества через межфазную поверхность – молекулярный (молекулярная диффузия) или турбулентный (вихревая диффузия), но и выявить всю совокупность взаимодействий микро- и макроэффектов.

2.1  Пленочная модель Льюиса и  Уитмена

Двухпленочная модель массопередачи, разработанная  Льюисом и Уитменом, была заимствована из теории растворения твердых тел, предложенной ранее Нернстом. Основными положениями двухпленочной теории Льюиса и Уитмена являются:

1) на границе  раздела двух фаз (газ–жидкость, пар–жидкость, жидкость–жидкость)  со стороны каждой фазы возникают  пограничные пленки (газовая пленка, жидкостная пленка и т.п.), создающие основное сопротивление при переходе вещества из одной фазы в другую;

2) на границе  раздела двух фаз, соответственно  на границе раздела между пленками, создаются условия подвижного  равновесия, т.е. достигаются стационарные  условия массообмена;

3) диффузионный  поток компонента в пределах  каждой фазы пропорционален разности  концентраций или разности парциального  давления компонента в основной  массе (С_ж, р_г) и у границы (С_i, р_i).

Для десорбции  идеальных газов диффузионный поток  выразится как:

,    (2-1)

где k_г и k_ж – коэффициенты пропорциональности или пленочные коэффициенты массоотдачи:

,    (2-2)

,      (2-3)

где D_г, D_ж – коэффициенты молекулярной диффузии компонентов через газовую или жидкостную пленки;

δ_г, δ_ж – толщина газовой или жидкостной пленки.

Для диффузии одного компонента через неподвижный слой справедливы уравнения:

,      (2-4)

,        (2-5)

где Р – общее  давление;

р_ср – среднее логарифмическое парциальное давление недиффундирующего компонента;

С_ср – средняя логарифмическая концентрация недиффундирующего компонента;

ρ_m – молярная плотность жидкой фазы.

Практически Р/р_ср = 1 и ρ_m/С_ср = 1, поэтому k⁰_г = k_г и k⁰_ж = k_ж.

Из уравнений 2-2 и 2-3 следует, что пленочные коэффициенты массоотдачи пропорциональны коэффициентам молекулярной диффузии в первой степени.

Так как поверхность  фазового контакта в промышленных аппаратах  непосредственно не поддается измерению, то в уравнениях массоотдачи вводят объемные коэффициенты: для газовой пленки k_га, для жидкостной пленки k_жа, а вместо равновесных концентраций в качестве предельных берут концентрации у границы раздела (индексы i). Уравнения массоотдачи принимают вид:

,    (2-6)

,   (2-7)

Числа единиц переноса для газовой пленки N_г и для жидкостной пленки N_ж выражаются через уравнения:

,       (2-8)

,    (2-9)

Если один компонент  диффундирует через неподвижную пленку, уравнения для N_г и N_ж принимают вид:

,    (2-10)

,    (2-11)

где (1-y)_m и (1-x)_m – средне логарифмическое разностей (1-y) и (1-x).

4) Массопередача  в пределах каждой фазы рассматривается  независимо и принимается аддитивность диффузионных сопротивлений. Поэтому общие коэффициенты массопередачи K_oya и K_oxa выражаются через пленочные коэффициенты в следующем виде:

,     (2-12)

Соотношение 2-12 непосредственно вытекает из принимаемой разницы концентраций:

,   (2-13)

при этом:

,    (2-14)

где m – тангенс  угла наклона линии равновесия.

При Р=9,8*10⁴ Па (1 атм) и концентрации жидкости, выраженной в кг/кг, соотношение между коэффициентами приводится к виду:

,    (2-15)

соответственно  для чисел единиц переноса

,    (2-16)

и

,     (2-17)

Если один компонент  диффундирует через неподвижную  пленку, то

,     (2-18)

Для разбавленных растворов среднее логарифмической разности концентраций близко к единице. Преимущественное влияние сопротивления, газовой или жидкостной пленки определяется в зависимости от растворимости газа и жидкости. Если газ хорошо растворим в жидкости, то основное сопротивление сосредоточено в газовой пленке, если плохо растворим, то в жидкой пленке.

Для дистилляции, если т мало (близкокипящие смеси), определяющим является сопротивление в паровой пленке. Сопротивление в газовой пленке становится определяющим в следующих случаях:

1. абсорбция или десорбция хорошо растворимых газов;

2. дистилляция близкокипящих смесей;

3. испарение чистых жидкостей в движущийся инертный газ и конденсация жидкостей из инертного газа.

Сопротивление в жидкой пленке становится определяющим в следующих случаях:

1. абсорбция или десорбция труднорастворимых газов;

2. исчерпывание летучего из кубовой жидкости при больших значениях т; 3. дистилляция систем с большой вязкостью жидкости.

Наибольшую трудность при анализе и обработке опытных данных при помощи пленочной теории вызывает определение концентраций на границе раздела у_i и x_i, которые практически не поддаются измерению. Поэтому расчет движущей силы процесса ведут по равновесным концентрациям и фактически получают не пленочные коэффициенты, а общие коэффициенты массопередачи.

Однако было предложено несколько условных приемов для разделения общего сопротивления на частные – пленочные. Пленочная модель не учитывает гидродинамического взаимодействия между фазами и рассматривает массопередачу по существу в каждой фазе в отдельности. При обобщении опытных данных при помощи пленочной теории получаются кинетические уравнения, аналогичные уравнениям для однофазного потока. Так, для процессов, определяемых сопротивлением в газовой фазе, получают:

,    (2-19)

или

,     (2-20)

Соответственно для процессов, определяемых сопротивлением в жидкой фазе,

,     (2-21)

или

,    (2-22)

Однако для наиболее важных в практическом отношении процессов массообмена, проводимых в абсорбционных и ректификационных аппаратах при высоких скоростях потоков газа и жидкости и непрерывно деформируемой границе раздела фаз, уравнения (2-19) и (2-21) оказываются недостаточными, так как не учитывают взаимодействия потока фаз.

2.2  Модель пограничного диффузионного  слоя 

Для объяснения явлений, происходящих на границе раздела фаз, было введено понятие диффузионного пограничного слоя. Под диффузионным пограничным слоем понимают тонкий слой жидкости, прилегающий к поверхности раздела, в котором проявляется молекулярная диффузия и происходит резкое изменение концентрации вещества. Эффективная толщина этого пограничного слоя δ определяется из соотношения:

,     (2-23)

где ω – скорость потока;

D_м – коэффициент молекулярной диффузии;

z – расстояние от точки набегания потока жидкости на тело;

ν – кинематическая вязкость жидкости.

Каждому веществу с данным значением коэффициента диффузии отвечает свой пограничный слой. Если диффундирует одновременно несколько веществ при данных условиях перемешивания, существует несколько пограничных слоев. В отличие от обычных пленок в диффузионном пограничном слое учитывается: 1) движение жидкости и конвективный перенос вещества; 2) молекулярная и конвективная диффузия в поперечном и тангенциальном направлении; 3) отсутствие выраженной границы слоя.

При абсорбции газа жидкой турбулентно текущей пленкой коэффициент турбулентной (вихревой) диффузии пропорционален квадрату расстояния от свободной поверхности:

,    (2-24)

где ϑ₀ — характерная пульсационная скорость, определяемая через напряжение трения;

τ = ρgδ = aρϑ₀²; δ – толщина стекающей пленки, а – постоянная; ρ – плотность;

λ – размер области затухания турбулентности у свободной поверхности, определяемый выражением:

,

где σ – поверхностное натяжение.

В соответствии с формулой 2-24 коэффициент турбулентной диффузии уменьшается по мере приближения к поверхности и при толщине пограничного слоя δ_сл оказывается равным коэффициенту молекулярной диффузии:

,     (2-25)

Таким образом, поток разбивается на две области: область, непосредственно прилегающую к поверхности раздела толщиной δ_сл (диффузионный слой), в которой коэффициент турбулентной диффузии меньше коэффициента молекулярной диффузии; и область, представляющую остальную часть потока, в которой коэффициент турбулентной диффузии больше коэффициента молекулярной диффузии. В первой области турбулентной диффузией по сравнению с молекулярной пренебрегают и рассматривают поток вещества, проходящий через нее, как чисто молекулярный. Это положение оказывается справедливым при наличии твердой фиксированной границы раздела.

2.3 Модель проницания и обновления поверхности

2.3.1 Модель проницания  Хигби 

Принимая кратковременность контакта фаз и считая процесс диффузии неустановившимся, Хигби решил уравнение для движущейся пленки, выразив общее количество молей компонента А, проходящее через единицу времени, через единицу площади поперечного сечения, в виде равенства:

,      (2-26)

Приняв в качестве движущей силы разность , Хигби представил уравнение 2-26 в виде:

,     (2-27)

и получил коэффициент массоотдачи в жидкую пленку равным

,     (2-28)

где τ_l – время, необходимое для прохождения жидкой пленкой расстояния l, при изменении концентрации от С_А до С_А∞.

Основной вывод из уравнения Хигби заключается в том, что коэффициент массоотдачи пропорционален коэффициенту молекулярной диффузии в степени 1/2:

,     (2-29)

Из равенства 2-29 видно, что соотношение k_г/k_ж не зависит от времени. По Хигби, концентрации на границе раздела фаз также не зависят от времени и, следовательно, остаются постоянными на протяжении всего периода диффузии.

2.3.2 Модифицированные модели проницания и обновления поверхности

Данквертц, и независимо от него Кишеневский развили модель проницания Хигби, введя понятие об обновлении поверхности контакта фаз. Согласно этой теории пограничные пленки или слои отсутствуют, а межфазная поверхность непрерывно обновляется свежей жидкостью. Массопередача осуществляется не только молекулярной, но и турбулентной диффузией. В качестве кинетической характеристики принимается коэффициент эффективной диффузии D_э, равный сумме коэффициентов молекулярной D_М, и турбулентной D_Т диффузий, т. е.

,    (2-30)

Из этой теории следует, что коэффициент массопередачи пропорционален коэффициенту молекулярной диффузии в степени, меньшей 1/2. Это положение соответствует процессам, осуществляемым при значительной турбулизации.

Для установления кинетических зависимостей необходимо учитывать распределение по возрастам разных элементов поверхности. По Данквертцу, функция распределения находится из предположения, что средняя скорость обновления поверхности постоянна на всех участках и что вероятность смены того или иного участка поверхности в заданный момент времени не зависит от его возраста. Исходя из этого предположения, получаем:

,    (2-31)

где s – частота смены элементов поверхности, постоянная по всей поверхности раздела;

τ – возраст рассматриваемого элемента поверхности.

Скорость абсорбции определяется выражением: