Построение математической модели

Рассчитывается дисперсия  среднего выходного параметра/1/.

                                      

,                                      (2.16)

где y - выборочное среднее значений выходного параметра.

                                      

.                                    (2.17)

 

 

Отсюда

.

Вычислим наблюдаемое значение критерия Фишера:

                                              

.                                                  (2.18)

            

.

Если при этом

                                               F_набл ³ F_a;N-1;N-nb,                                 (2.19)

где 1-a - доверительная вероятность;

F_a;N-1;N-nb - квантиль F - распределения со степенями n1 = N-1 и

n2 = N-n_b;

n_b - количество значимых коэффициентов регрессии.

Квантиль F - распределения со степенями n1 = 19, n2 = 16 и уровни значимости q = 0.05 принимает значение .

Получаем

.

Следовательно, уравнение регрессии адекватно описывает результаты эксперимента.

 

3 Проведение имитационного  моделирования

 

Имитационное моделирование  ставит своей целью выяснение  степени влияния на технологический процесс упрочнения объекта случайного характера его параметров. Для нахождения этого влияния используется метод статистических испытаний (метод Монте-Карло). Последовательность моделирования должна быть следующей:

- составление модели, описывающей поведение объекта в виде зависимости процесса упрочнения от входных параметров (времени обработки и температуры);

- исследование изменения выходного параметра будем производить при изменении параметра х2, характеризующего воздействия температуры, и фиксированном уровне фактора х1, характеризующего время обработки и который определяется как

                                     

=5.254;                               (2.20)

- проведение численного эксперимента;

- обрабатывание результатов численного эксперимента, определяя выборочное среднее, выборочную дисперсию, доверительные интервалы для выборочного среднего и построив выборочное распределение.

 

 

Численный эксперимент  по методу Монте-Карло проводится в  следующей последовательности:

- генерируется N чисел  с соответствующим законом распределения  для каждого стохастического  параметра модели;

- вычисляется N значений  выходного параметра модели в  зависимости от значений случайных параметров в M точках на всем диапазоне варьирования входного параметра. Эта выборка мощностью N·M и будет результатом проведения численного эксперимента.

Так как факторов два, то составляется линейная двухфакторная  модель, учитывающая влияние самих факторов и их парных взаимодействий, в виде

Генерируется 50 чисел с нормальным законом распределения для каждого коэффициента регрессии.

Далее вычисляется 50 значений выходного параметра модели в зависимости от значений случайных параметров b00, b11, b22, b33 в 20 точках на всем диапазоне варьирования входных параметров х1 и х2. Эта выборка размерностью 50х20 и есть результат проведения численного эксперимента.

Определим выборочное среднее значение для выходного параметра как 

                                             ,                                      (2.21)

Значение выборочной дисперсии найдем по формуле

                                           

,                                  (2.22) 

Доверительный интервал определяется как

                                           

.                                       (2.23)

Коэффициент Стьюдента  , выбирается по уровню значимости       α = 1-p и количеству степеней свободы ν = N, т.е. .

Далее производим выборку из результата проведения численного эксперимента, в данном случае она является серединой интервала варьирования, и для нее необходимо построить гистограмму частот - выборочное распределение вероятностей, рассчитать моменты (2.4 … 2.9) и по номо-

грамме (рисунок 2.2/1/) определить вид эмпирического распределения.

В результате получаем гистограмму  частот (рисунок 2.1) и значения

коэффициентов β₁ и β₂:

 

Рисунок 2.1 – Гистограмма  частот

 

β₁ = 0.122;  .

Исходя из полученных значений коэффициентов и , делаем вывод, что данная выборка принадлежит равномерному распределению.

Результаты проведения численного эксперимента и расчеты для определения вида эмпирического распределения представлены в приложениях А, Б соответственно.

По результатам расчета  строим график зависимости выборочного среднего и выборочной дисперсии от значений параметра x2 (рисунок 2.2).

 

Рисунок 2.2 – График выборочного среднего и выборочной дисперсии

Анализируя вид кривых можно утверждать, что уравнение модели имеет линейную зависимость. Кривая , построенная при минимальном значении из выборки x2, монотонно убывает, кривая , принимая значение из той же выборки равное половины суммы минимального и максимального значений, на графике (рисунок 2.2) монотонно возрастает, также монотонно возрастает и кривая , при максимальном значении из выборки х2.

 

 

 

Заключение

 

В процессе проделанной  курсовой работы мы провели анализ исходных данных, выявив существенные параметры объекта и факторы, влияющие на его работу, установили  принадлежность нормальному распределению и провели корреляционный анализ результатов статистических испытаний. В результате корреляционного анализа, выделили два фактора, учитываемых в модели: влиянии времени обработки и температуры на твердость, исходя из чего, составили линейную двухфакторную модель. Далее проверили значимость коэффициентов уравнения регрессии по критерию Стьюдента, определив, что все коэффициенты являются значимыми. По критерию Фишера установили, что уравнение регрессии адекватно описывает результаты эксперимента.

Выяснили степень влияния  на технологический процесс упрочнения объекта случайного характера его параметров. Для нахождения этого влияния использовали метод статистических испытаний (метод Монте-Карло). Провели численный эксперимент, результатом которого является выборка мощностью 50х20, определили для выходного параметра выборочное среднее, выборочную дисперсию и доверительный интервал. Далее произвели выборку из результата проведения численного эксперимента и для нее построили гистограмму частот, рассчитали моменты и по номограмме (рисунок 2.2/1/) установили принадлежность данной выборки равномерному распределению. По результатам расчета построили и проанализировали график зависимости выборочного среднего и выборочной дисперсии от выбранных значений параметра x2.

При выполнении задания была написана программа на Math CAD 2001 professional, которая выполняет решение математических уравнений и построения графиков. Данная программа помогла существенно снизить объем работы, а при расчетах и погрешность вычислений. Так же, обеспечила точность построения графиков на основании проделанных расчетов.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список литературы

 

1 Математическое моделирование  физических процессов. Методические указания к выполнению курсовой работы для студентов специальности Т 1-54 01 01.-“Приборостроение “ дневной формы обучения. Могилев: МГТУ, 2001. – 15с.

2 Тарасик В.П. Математическое моделирование технических систем: Учебник для вузов. – Мн.: ДизайнПРО, 1997. – 640 с.

 

3. Советов Б.Я. Моделирование систем / Б.Я.Советов; С.А.Яковлев.– М.: Высшая школа, 1985.– 271 с.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приложение А

(обязательное)

 

x1 = 5.254,

 

x2 ={3103, 3260, 3300, 3314, 3321, 3405, 3455, 3476, 3483, 3513, 3514, 3543, 3602, 3613,3629,3643, 3767, 3794, 3835, 3853}.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определим доверительные  интервалы:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приложение Б

(рекомендуемое)

 

Определим вид эмпирического  распределения:

 

 

 

 

 

 

 

int 1:

int 2:

int 3:

int 4:

int 5: