Проектирование активного фильтра верхних частот Баттерворта

Федеральное агентство  по образованию

ГОУ ВПО «Уральский Федеральный Университет — УрФУ»

Институт радиоэлектроники и информационных технологий — РТФ

Кафедра: «Теоретических основ радиотехники»

 

 

 

 

 

                                                             Оценка ____________

                                                                                            

 

 

 

 

 

ПРОЕКТИРОВАНИЕ АКТИВНОГО ФИЛЬТРА

ВЕРХНИХ ЧАСТОТ БАТТЕРВОРТА

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА 
К КУРСОВОЙ РАБОТЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «Электротехника и электроника»

ВАРИАНТ 4 ПОДВАРИАНТ 5 

 

 

 

                           Подпись                           Дата                                    Ф. И. О.

Руководитель     _________________________________             

Студент           ________________________________       

 

 

 

 

Екатеринбург, 2011

СОДЕРЖАНИЕ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ПЕРЕЧЕНЬ  УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ.

 

АЧХ(|H(jω)|) – амплитудно-частотная характеристика.

ФЧХ(φ(ω)) – фазо-частотная  характеристика.

ОУ – операционный усилитель.

f_c – частота среза, кГц.

f_s – граница частоты подавления, кГц.

A – минимальное затухание в полосе задерживания, дБ.

K – коэффициент усиления фильтра в полосе пропускания.

R_н – сопротивление нагрузки, Ом.

K₀ – коэффициент усиления ОУ.

U₁(s) – входное напряжение.

U₂(s) – выходное напряжение.

ИНУН – источник напряжения, управляемый напряжением.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЗАДАНИЕ

 

1. Спроектировать активный электрический фильтр высоких частот Баттерворта на основе каскадного соединения звеньев, состоящих из резисторов, конденсаторов и ОУ, на биквадратной основе.
2. Вывести выражения для передаточных функций звеньев.
3. Привести полную схему фильтра и рассчитать его АЧХ и ФЧХ.
4. Выполнить анализ спроектированного фильтра. Расчет характеристик производится на ПЭВМ с использованием стандартной программы MicroСap9.

 

Значения параметров фильтра:

f_s =1 кГц.

f_с =0.7 кГц.

A=15 дБ.

K=4.

R_н =75 Ом.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВВЕДЕНИЕ

В радиотехнике под фильтрацией сигналов на фоне помех понимают любое выделение параметров случайных процессов, отражающих полезную информацию.

В большинстве случаев электрический  фильтр представляет собой частотно-избирательное  устройство. Следовательно, он пропускает сигналы определенных частот и задерживает или ослабляет сигналы других.

Более точно характеристику частотно-избирательного фильтра можно описать, рассмотрев его передаточную функцию

H(s)=U₂(s)/U₁(s).

Для установившейся частоты s=jω(j= ) передаточную функцию можно переписать в виде

H(jω)= |H(jω)|e^jφ(ω)

Диапазоны или полосы частот, в которых сигналы проходят, называются полосами пропускания и в них значения АЧХ |H(jω)| относительно велико, а в идеальном случае постоянно. Диапазоны частот, в которых сигналы подавляются, образуют полосы задерживания и в них значение АЧХ относительно мало, а в идеальном случае равно нулю.

На практике невозможно реализовать  эту идеальную характеристику, поскольку требуется сформировать очень узкую переходную область. Следовательно, основная проблема при конструировании фильтра заключается в приближении реализованной в лаборатории реальной характеристики с заданной степенью точности к идеальной. (См. Рис. 1).

 

 

Рис. 1

В практическом случае полосы пропускания и задерживания чётко не разграничены и должны быть формально определены. В качестве полосы пропускания выбирается диапазон частот, где значения АЧХ превышает некоторое заранее выбранное число, а полосу задерживания образует диапазон частот, в котором АЧХ меньше определённого значения. Интервал частот, в котором характеристика постоянно спадает, переходя от полосы пропускания к полосе задерживания, называется переходной областью.

Значение АЧХ можно также  выразить децибелах(дБ) следующим образом:

A=-20log₁₀|H(jω)|.

В основном затухание  в полосе пропускания никогда  не превышает 3дБ.

С помощью реализуемых  фильтров (которые разрабатываются  на основе реальных схемных элементов) можно получить приближения к  идеальным. Передаточная функция реализуемого фильтра представляет собой отношение полиномов:

H(s)=U₂(s)/U₁(s)=(a_ms^m+ a_m-1s^m-1+…+ a₁s+a₀)/( b_nsⁿ+ b_n-1s^n-1+…+ b₁s+b₀).

Коэффициенты a и b – вещественные постоянные величины, а

m, n = 1,2,3…(m≤n).

Степень полинома знаменателя n определяет порядок фильтра. Реальные АЧХ лучше(более близки к идеальным) для фильтров более высокого порядка.

Для применения фильтров в диапазоне низких частот из схем желательно исключить катушки индуктивности (на низких частотах параметры требуемых  катушек индуктивности становятся неудовлетворительными из-за их больших размеров и значительного отклонения рабочих характеристик от идеальных). Это достигается разработкой активных фильтров на основе резисторов, конденсаторов и одного или нескольких активных приборов, таких как транзисторы, зависимые источники и т. д.

Одним из наиболее часто  применяемых активных приборов, который в основном и будет использоваться, является интегральная схема ОУ.

ОУ представляет собой  многовходовый прибор, но для простоты используем только три его вывода: инвертирующий входной, не инвертирующий входной и выходной. В идеальном случае ОУ обладает бесконечным входным и нулевым выходным сопротивлениями и бесконечным коэффициентом усиления. На практике ОУ по своим характеристикам приближаются к идеальным, наиболее близко только для ограниченного диапазона частот, который зависит от типа ОУ.

Для частотно-избирательных  фильтров наиболее важной является АЧХ, поскольку её значение на некоторой частоте определяет или прохождение сигнала этой частоты, или его подавление.

 

 

 

 

 

1. Аналитический обзор вопроса

1.1. Фильтры Баттерворта

Амплитудно-частотную  характеристику данных фильтров можно представить как:

     (1)

Эта характеристика монотонно  спадает при увеличении частоты. Увеличение порядка фильтра приводит к улучшению характеристик фильтра.

Фильтр Баттерворта  представляет собой полиномный фильтр и в общем случае обладает передаточной функцией вида:

     (2)

где К – постоянное число.

Для нормированного фильтра, т.е. при  передаточную функцию можно записать в виде произведения сомножителей: для так:

     (3)

или для

 

   (4)

В обоих случаях коэффициенты задаются при  следующим образом:

  (5)

Коэффициент усиления фильтра Баттерворта, описываемого уравнением (2), равен К (значению передаточной функции при s=0). Если фильтр построен на основе каскадного соединения звеньев то, соответствующих сомножителям в (3) и (4), то и/или будут представлять коэффициент усиления звена. Таким образом, коэффициент усиления фильтра равен произведению коэффициентов усиления звеньев.

АЧХ фильтра Баттерворта наиболее плоская вблизи частоты по сравнению с характеристикой любого полинормального фильтра n-ого порядка, поэтому называется максимально плоской. Следовательно, для диапазона низких частот характеристика фильтра Баттерворта наилучшим образом аппроксимирует идеальную характеристику.

1.2. Минимальный порядок фильтра

 

Одной из главных задач при проектировании фильтров является задача аппроксимации. Она включает в себя рациональный выбор передаточной функции, то есть необходимо выбирать передаточную функцию так, чтобы создать не излишне сложный, но удовлетворяющий техническому заданию фильтр. Для этого в начале работы определяют важнейшую характеристику – порядок фильтра. Он указывает на максимальную степень многочлена в знаменателе передаточной функции.

Cначала определяется ширина переходной области:

    (6)

Для фильтра Баттерворта минимальный порядок можно определить по формуле (1) , подставив все необходимые значения. В результате получим:

    (7)

Уравнение (6) запишем как:

      (8)

Если полученное соотношение  подставить в (7) то можно получить зависимость порядка фильтра n от ширины переходной зоны, а не от частоты .

 

1.3. Фильтр верхних частот.

Фильтр верхних частот представляет собой устройство, пропускающее сигналы высоких частот и подавляющее сигналы низких частот.

На Рис. 1 изображены: идеальная и реальная амплитудно-частотные характеристики, где для практического случая обозначены полоса пропускания (0 > , полоса задерживания, , переходная область , и частота среза (рад/с), или f_c=( /2 (Гц).

Передаточную функцию фильтра верхних частот с частотой среза можно получить из передаточной функции нормированного фильтра нижних частот (имеющего , равную 1 рад/с) с помощью замены переменной s на /s.

Следовательно, функция фильтров верхних частот Баттерворта и Чебышева будет содержать следующие сомножители второго порядка:

 

     (9)

 

Где B и C представляют собой коэффициенты звена фильтра нижних частот второго порядка. При нечетном порядке фильтра может присутствовать и звено первого порядка, обладающее функцией вида:

     (10)

Где С – нормированный  коэффициент нижних частот первого  порядка.

 

Коэффициент усиления фильтра  верхних частот представляет собой значение его передаточной функции при бесконечном значении параметра s.

Следовательно для звеньев 1 и 2 порядков, коэффициент усиления звена равен К.

Ширина переходной области фильтра верхних частот связана с нормированной шириной переходной области  его прототипа нижних частот следующим соотношением (рад/с):

     (11)

И наоборот, можно найти по заданному значению , в результате получится:

           (12)

Минимальный порядок фильтра верхних частот, ширина переходной области которого не превышает , такой же, как и порядок фильтра нижних частот с шириной переходной области, не превышающей .

1.4. Биквадратные фильтры верхних частот

 

Биквадратная схема второго порядка, реализующая фильтр Баттерворта изображена на рисунке Рис. 2.

 

Рис. 2

Анализ этой схемы  дает:

 

     (13)

где

Значения сопротивлений определяются следующими соотношениями:

    (14)

где имеют произвольные значения.

При расчете берем  значения .

Биквадратная схема  фильтра верхних частот содержит большее количество элементов, чем  фильтры на ИНУН. Однако этот недостаток компенсируется большими возможностями  при настройке и стабильностью биквадратной схемы.

 

Для расчета звена  первого порядка фильтра верхних  частот более высокого нечетного  порядка заданного типа, обладающего  заданной частотой среза (Гц), коэффициентом  усилиения звена К, минимальным  затуханием в полосе задерживания (MSL) и, если используется, неравномерностью передачи в полосе пропускания (PRW), необходимо выполнить следующие шаги.

1. Найти нормированный коэффициент нижних частот С для звена первого порядка из соответствующей таблицы.
2. Выбрать номинальное значение емкости С.
3. Если К>1, вычислить значения сопротивлений и реализовать этот фильтр в соответствии со схемой, показанной на рисунке:

2. ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

2.1. Расчет фильтра

Все расчеты были произведены  в программе MathCAD (см. Приложение 1).

Минимальный порядок  фильтра, удовлетворяющего начальным условиям, исходя из расчетов – n=3.

Передаточная функция  фильтра Баттерворта 6 порядка будет состоять из трех сомножителей, а сам фильтр будет включать в себя три звена, обладающих соответствующими передаточными характеристиками.

Коэффициенты B и C для каждого звена выбираются из справочника.

 

Звено	B	C
первое	1,000000	1,000000
второе	1,000000	1,000000

 

Методика расчета и  основные формулы приведены в разделе «Аналитический обзор вопроса».

Начальные данные приведены  в разделе «Задание»

Схема звена биквадратного  фильтра Баттерворта приведена на Рис.2.