Расчет устройства защиты от ошибок

Выбор корректирующего кода для обеспечения вероятности ошибки в сообщении не более допустимой

Вероятность выдачи сообщения получателю с ошибкой Рош определяется в основном вероятностью не обнаружения ошибки Р кодом, принятым в системе. Корректирующие свойства кода зависят от его длины n и избыточности Wk . С увеличением длины кода необходимая избыточность для достижения тех же корректирующих свойств уменьшается.

Код, который может быть применен в проектируемой системе, должен обеспечивать вероятность не обнаруживаемой ошибки Р меньше допустимой, при этом избыточность его не должна быть больше допустимой избыточности. Допустимая избыточность может быть определена из соотношения:

Wдоп = (B-Bист) / B

Вист - скорости выдачи информации источником

В - допустимой скорости работы в ДК

Теперь необходимо найти минимальную длину кода, который бы при избыточности Wk < Wдоп обеспечивал вероятность не обнаруживаемой ошибки Р не больше допустимой Рош.доп. Для этого построим зависимость Wн = f(n), где

(Wn – необходимая избыточность, n – число символов в коде)

 

          

Рис.2. Зависимость необходимой избыточности от длины кода

Как видно на рисунке nmin = 24. Из таблицы, приведенной в приложении, находим подходящий циклический код (31,11). У этого кода n = 31, а k = 11. но k на единицу больше требуемого значения. Так как желательно иметь код, длина информационной последовательности которого кратна длине сообщения источника L=10, укоротим выбранный код на один разряд. Получим код (30, 10).То есть n>=nmin.

Для этого кода избыточность равна:

Величина необходимой избыточности:

Pош.доп – допустимая вероятность ошибки в сообщении

У нас получилось, что Wк£ Wн, но при расчете графика зависимости необходимой избыточности от длины кода мы брали приближенные значения. Поэтому считаем что наш код удовлетворяет условию.

Pош.доп – допустимая вероятность ошибки в сообщении

Pn(³ 1) – распределение вероятности возникновения хотя бы одной ошибки на длине n.

Эти значения удовлетворяют  Wн£ Wk £ Wдоп

Найдем образующий полином выбранного кода g(x) и кодовое расстояние d = 11. Из таблицы циклических кодов, приведенной в приложении, имеем fj(x) = 57, f2j(x) = 67, f2j(x) = 75, fj(x) = 45 Запишем каждый знак этих чисел тремя знаками двоичного кода:

g(x) = fj · f2j· f3j · f4j

57 = 111001

67 = 1000011

75 = 1010101

45 = 101101

g(x) = x26 + x25 + x24 + x23 + x22 + x21 + x17 +x15 + x14 + x12 + x10 + x8 + x5 + x4

Уточним значение вероятности не обнаруживаемой кодом ошибки P. Значение Pn(³ d) найдем по заданному распределению распределению Pn(³ t)

 

 

 

 

 

                 

Вероятность ошибки кратности d.

        Вероятность необнаруживаемой кодом ошибки.

P < Pош.доп

8.289·10-10 < 0,5·10-9

Вероятность обнаруживаемой ошибки равна

 

Вероятность правильного приема согласно равна

Расчет вероятностей вставок, выпадений и стираний

Вероятности выпадений и вставок зависят в первую очередь от вероятностей искажений сигналов ОС. Если сигналы обратной связи передаются по специальному каналу, то в качестве сигналов ОС могут быть выбраны две двоичные последовательности длины m с максимально возможным кодовым расстоянием d=m. Скорости передачи в прямом и обратном каналах могут существенно различаться. Однако, длительность сигнала обратной связи (mτ1) не должна превышать длительность сигнала, соответствующего кодовому слову, в прямом канале (nτ0).

nτ0  mτ1

τ0 и τ1 -длительности единичных элементов сигналов в прямом и обратном ДК соответственно.

τ0=1/В1 τ1=1/В2 ,

     

где В и В1 - скорость передачи в прямом и обратном канале соответственно.

Выберем длину m сигналов решения (обратной связи).

Реализация структурных схем кодера и декодера.

Реализация структурных схем кодера и декодера циклического кода с параметрами (30,10) и образующим полиномом

g(x) = x26 + x25 + x24 + x23 + x22 + x21 + x17 +x15 + x14 + x12 + x10 + x8 + x5 + x4

 

 

Рис.2. Структурная схема кодера

Рис.3. Структурная схема декодера

 

ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ

Характеристики УЗО:

L = 70 – число разрядов

M = 13 – число сообщений в секунду

Pош.доп = 0.5·10-9 – допустимая вероятность ошибки в сообщении

Рвып.доп = 7∙10-6 – допустимая вероятность выпадения сообщения

Рвст.доп = 5 10-3 – допустимая вероятность вставки сообщения

Рст.доп = 10-10 – допустимая вероятность стирания сообщения

Τз.доп = 2 с – допустимое время задержки сообщения

Характеристики прямого канала:

В = 1200 Бод – максимальная скорость работы по каналу

α = 0.48 – коэффициент группирования ошибок

ре = 10-3 – вероятность ошибки в двоичном символе

tр = 32 мс – время распространения

Характеристики обратного канала:

В1 = 200 Бод – максимальная скорость передачи по специальному каналу

α1 = 0.52 – коэффициент группирования ошибок в специальном канале

pе = 10-3 – вероятность ошибки в двоичном символе в специальном канале

tр = 50 мс – время распространения в специальном канале

 

РАСЧЕТ ПРОЕКТИРУЕМОЙ СИСТЕМЫ

устройство Выбор корректирующего кода для обеспечения вероятности ошибки в сообщении не более допустимой

Вероятность выдачи сообщения получателю с ошибкой Рош определяется в основном вероятностью не обнаружения ошибки Р кодом, принятым в системе. Корректирующие свойства кода зависят от его длины n и избыточности Wk . С увеличением длины кода необходимая избыточность для достижения тех же корректирующих свойств уменьшается.

Код, который может быть применен в проектируемой системе, должен обеспечивать вероятность не обнаруживаемой ошибки Р меньше допустимой, при этом избыточность его не должна быть больше допустимой избыточности. Допустимая избыточность может быть определена из соотношения:

Wдоп = (B-Bист) / B

Вист - скорости выдачи информации источником

В - допустимой скорости работы в ДК

Теперь необходимо найти минимальную длину кода, который бы при избыточности Wk < Wдоп обеспечивал вероятность не обнаруживаемой ошибки Р не больше допустимой Рош.доп. Для этого построим зависимость Wн = f(n), где

(Wn – необходимая избыточность, n – число символов в коде)

 

Рис.2. Зависимость необходимой избыточности от длины кода

Как видно на рисунке nmin = 98. Из таблицы, приведенной в приложении, находим подходящий циклический код (105,71). У этого кода n = 105, а k = 71. но k на единицу больше требуемого значения. Так как желательно иметь код, длина информационной последовательности которого кратна длине сообщения источника L=70, укоротим выбранный код на один разряд. Получим код (104, 70).То есть n>=nmin.

Для этого кода избыточность равна:

           

Величина необходимой избыточности:

 

 

Pош.доп – допустимая вероятность ошибки в сообщении

У нас получилось, что Wк£ Wн, но при расчете графика зависимости необходимой избыточности от длины кода мы брали приближенные значения. Поэтому считаем что наш код удовлетворяет условию.

Pош.доп – допустимая вероятность ошибки в сообщении

Pn(³ 1) – распределение вероятности возникновения хотя бы одной ошибки на длине n.

Эти значения удовлетворяют  Wн£ Wk £ Wдоп

Найдем образующий полином выбранного кода g(x) и кодовое расстояние d = 9. Из таблицы циклических кодов, приведенной в приложении, имеем fj(x) = 23, f2j(x) = 127, f2j(x) = 16475, fj(x) = 13321 Запишем каждый знак этих чисел тремя знаками двоичного кода:

g(x) = fj · f2j· f3j · f4j

23= 10111

127= 1111111

16475 = 100000001011011

13321 = 11010000001001

Уточним значение вероятности не обнаруживаемой кодом ошибки P. Значение Pn(³ d) найдем по заданному распределению распределению Pn(³ t)

 

 

Вероятность ошибки кратности d.

        Вероятность необнаруживаемой кодом ошибки.

P < Pош.доп

1.651·10-13 < 0,5·10-9

Вероятность обнаруживаемой ошибки равна

Вероятность правильного приема согласно равна

Расчет вероятностей вставок, выпадений и стираний

Вероятности выпадений и вставок зависят в первую очередь от вероятностей искажений сигналов ОС. Если сигналы обратной связи передаются по специальному каналу, то в качестве сигналов ОС могут быть выбраны две двоичные последовательности длины m с максимально возможным кодовым расстоянием d=m. Скорости передачи в прямом и обратном каналах могут существенно различаться. Однако, длительность сигнала обратной связи (mτ1) не должна превышать длительность сигнала, соответствующего кодовому слову, в прямом канале (nτ0).

nτ0  mτ1

τ0 и τ1 -длительности единичных элементов сигналов в прямом и обратном ДК соответственно.

τ0=1/В1 τ1=1/В2 ,

     

где В и В1 - скорость передачи в прямом и обратном канале соответственно.

Выберем длину m сигналов решения (обратной связи).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ

Характеристики УЗО:

L = 42 – число разрядов

M = 7 – число сообщений в секунду

Pош.доп = 0.5·10-9 – допустимая вероятность ошибки в сообщении

Рвып.доп = 7∙10-6 – допустимая вероятность выпадения сообщения

Рвст.доп = 5 10-3 – допустимая вероятность вставки сообщения

Рст.доп = 10-10 – допустимая вероятность стирания сообщения

Τз.доп = 2 с – допустимое время задержки сообщения

Характеристики прямого канала:

В = 1200 Бод – максимальная скорость работы по каналу

α = 0.48 – коэффициент группирования ошибок

ре = 10-3 – вероятность ошибки в двоичном символе

tр = 32 мс – время распространения

Характеристики обратного канала:

В1 = 200 Бод – максимальная скорость передачи по специальному каналу

α1 = 0.52 – коэффициент группирования ошибок в специальном канале

pе = 10-3 – вероятность ошибки в двоичном символе в специальном канале

tр = 50 мс – время распространения в специальном канале

 

РАСЧЕТ ПРОЕКТИРУЕМОЙ СИСТЕМЫ

 Выбор корректирующего кода для обеспечения вероятности ошибки в сообщении не более допустимой

Вероятность выдачи сообщения получателю с ошибкой Рош определяется в основном вероятностью не обнаружения ошибки Р кодом, принятым в системе. Корректирующие свойства кода зависят от его длины n и избыточности Wk . С увеличением длины кода необходимая избыточность для достижения тех же корректирующих свойств уменьшается.

Код, который может быть применен в проектируемой системе, должен обеспечивать вероятность не обнаруживаемой ошибки Р меньше допустимой, при этом избыточность его не должна быть больше допустимой избыточности. Допустимая избыточность может быть определена из соотношения:

Wдоп = (B-Bист) / B

Вист - скорости выдачи информации источником

В - допустимой скорости работы в ДК

            

Теперь необходимо найти минимальную длину кода, который бы при избыточности Wk < Wдоп обеспечивал вероятность не обнаруживаемой ошибки Р не больше допустимой Рош.доп. Для этого построим зависимость Wн = f(n), где

(Wn – необходимая избыточность, n – число символов в коде)

 

Рис.2. Зависимость необходимой избыточности от длины кода

Как видно на рисунке nmin = 32. Из таблицы, приведенной в приложении, находим подходящий циклический код (51,43). У этого кода n = 51, а k = 43. но k на единицу больше требуемого значения. Так как желательно иметь код, длина информационной последовательности которого кратна длине сообщения источника L=42, укоротим выбранный код на один разряд. Получим код (50, 42).То есть n>=nmin.

Для этого кода избыточность равна:

Величина необходимой избыточности:

Pош.доп – допустимая вероятность ошибки в сообщении

У нас получилось, что Wк£ Wн, но при расчете графика зависимости необходимой избыточности от длины кода мы брали приближенные значения. Поэтому считаем что наш код удовлетворяет условию.

Pош.доп – допустимая вероятность ошибки в сообщении

Pn(³ 1) – распределение вероятности возникновения хотя бы одной ошибки на длине n.

Эти значения удовлетворяют  Wн£ Wk £ Wдоп

Найдем образующий полином выбранного кода g(x) и кодовое расстояние d = 3. Из таблицы циклических кодов, приведенной в приложении, имеем fj(x) = 763, Запишем каждый знак этих чисел тремя знаками двоичного кода:

g(x) = fj

763= 1011111011

g(x) =x10+x8+x7+x6+x5+x4+x2+x

Уточним значение вероятности не обнаруживаемой кодом ошибки P. Значение Pn(³ d) найдем по заданному распределению Pn(³ t)

Вероятность ошибки кратности d.

       

Вероятность необнаруживаемой кодом ошибки.

P < Pош.доп

1.539·10-5 > 0,5·10-9

Вероятность обнаруживаемой ошибки равна

Вероятность правильного приема согласно равна