Двойственные оценки

 

Пусть х₁ гектаров нужно засеять кукурузы, х₂ – сои.

Первое ограничение  задачи – по площади –  имеет  вид:   х₁+ х₂ ≤ 400, т.к. у фермера всего имеется 400 га земли. 

Второе ограничение  – по общим затратам на сев и  уборку: 200х₁+100х₂ ≤ 60 000, т.к. фермер получил на расходы ссуду в 60 тыс. ден.

Третье ограничение  – по объему собранного зерна: 30х₁+60х₂ ≤ 21 000, т.к. вместимость склада составляет 21 тыс. центнеров.

Прибыль фермера: 30х₁∙3+60х₂∙6 = 90x₁+120x₂ (ден. ед.)

Построим экономико-математическую модель задачи:

max f(X) = 90x₁+120x₂

х₁+ х₂ ≤ 400

200х₁+100х₂ ≤ 60 000

30х₁+60х₂ ≤ 21 000

x_1,2 ³ 0

Это задача линейного  программирования с двумя переменными, а значит ее можно решить графическим методом.

Последнее ограничение  – прямое, означает, что область  решений будет лежать в первой четверти декартовой системы координат.

Остальные три – функциональные ограничения.

1. Определим область допустимых решений первого неравенства. Оно состоит из решения уравнения и строгого неравенства. Решением уравнения служат точки прямой x₁+x₂=400. Построим прямую a по двум точкам (0;400) и (400;0), которые легко получить в результате последовательного обнуления одной из переменных.

Область решений  строгого неравенства — одна из полуплоскостей, на которую делит плоскость построенная прямая. Какая из них является искомой, можно выяснить при помощи одной контрольной точки. Если в произвольно взятой точке, не принадлежащей прямой, неравенство выполняется, то оно выполняется и во всех точках той полуплоскости, которой принадлежит контрольная точка, и не выполняется во всех точках другой полуплоскости. В качестве такой точки удобно брать начало координат. Подставим координаты (0; 0) в неравенство x₁+x₂≤400, получим 0 ≤ 400, т.е. оно выполняется. Следовательно, областью решения неравенства служит нижняя полуплоскость.

Аналогичным образом  построим области решения двух других неравенств

200x₁+100x₂=60 000

2 x₁+ x₂ = 600

x₁ = 0, x₂ = 600

x₁ = 300, x₂ = 0

По точкам (0;600), (300;0) построим прямую b.

200х₁+100х₂ ≤ 60 000 при x₁ = x₂ = 0;

0 ≤ 60 000  выполняется, берется левая полуплоскость.

30x₁+60х₂=21 000

x₁ = 0, x₂ = 350

x₁ = 700, x₂ = 0

По точкам (0;350) и (700;0) построим прямую c.

30х₁+60х₂ ≤ 21 000 при x₁ = x₂ = 0;

0 ≤ 21 000 выполняется, берется нижняя полуплоскость.

Выделим общую  область для всех неравенств. Обозначим вершины области латинскими буквами и определим их координаты, решая систему уравнений двух пересекающихся соответствующих прямых. Например, определим координаты точки C, являющейся точкой пересечения первой и второй прямой:

x₁+x₂=400,         x₁ = 200; x₂ = 200

2 x₁+ x₂ = 600.

Аналогично поступим для  других точек, являющихся вершинами области АВСDO, представляющей собой область допустимых решений рассматриваемой ЗЛП. Координаты этих вершин имеют следующие значения: А(0;350), В(100;300), С(200;200), D(300;0), О(0;0).

2. Построим вектор-градиент  , координаты которого являются частными производными функции f(X), т.е. =(90;120). Чтобы построить этот вектор, нужно соединить точку (90;120) с началом координат. При максимизации целевой функции необходимо двигаться в направлении вектора-градиента, а при минимизации — в противоположном направлении.

3. Приравняем целевую функцию постоянной величине а:

90x₁+120x₂ = а.

Это уравнение  является множеством точек, в котором  целевая функция принимает значение, равное а. Меняя значение а, получим семейство параллельных прямых, каждая из которых называется линией уровня. Пусть а=0, вычислим координаты двух точек, удовлетворяющих соответствующему уравнению 90x₁+120x₂ = 0. В качестве одной из этих точек удобно взять точку О(0;0), а так как при x₁ = 4   x₂ = -3, то в качестве второй точки возьмем точку E(4;-3).

Через эти две  точки проведем линию уровня f(Х)= 90x₁+120x₂ = 0.

В нашем случае движение линии уровня будет осуществляться до ее пересечения с точкой В, далее она выходит из области допустимых решений. Следовательно, именно в этой точке достигается максимум целевой функции.

Решение исходной ЗЛП:

Вычислим значение целевой функции в точке  B (100;300):

f(Х)= 90x₁+120x₂=90∙100 + 120∙300 = 45000.

max f(Х) =45000,  достигается при x₁ = 100, x₂=300.

Следовательно, чтобы получить максимальную прибыль, фермер должен засеять 100 га земли кукурузой, 300 га – соей. При этом прибыль составит 45 000  ден. ед.

Если поставить  задачу минимизации функции f(Х) = 90x₁+120x₂ при тех же ограничениях, линию уровня необходимо смещать параллельно самой себе в направлении, противоположном вектору-градиенту. В нашем случае минимум функции будет в точке О(0;0). Это означает, что фермер не получит ни чего, если не засеет поле зерновыми культурами.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 4.4.

На станке производятся детали в количестве 20 тыс. штук в месяц. Эти детали используются для производства продукции на другом станке с интенсивностью 5000 шт. в месяц. По оценкам специалистов компании, издержки хранения составляют 5 руб. в год за одну деталь. Стоимость производства одной детали равна 2,50 руб.,а затраты на подготовку производства составляют 1000 руб. Каким должен быть размер партии деталей, производимой на первом станке и с какой частотой следует запускать производство этих партий?

Постройте график общих  годовых затрат.

Решение:

К = 1000 шт.,

V = 5000 шт. в месяц или 60000 шт. в год,

S = 5 руб. в год за деталь,

= 20000 шт. в месяц или 240000 шт. в год.

     Найдем размер  партии деталей, производимой  на первом станке по формуле  Уилсона:

в год

 

      Частота  запускания партий в производство:

года или 1,08 месяцев

 

      Общие затраты  на управление запасами:

                         руб. в год

 

Рис.3  График общих годовых  затрат.

 

 

 

 

 

Список использованной литературы:

1. http://slovari.yandex.ru
2. http://emm.ostu.ru/lect/lect2_3.html#vopros5
3. Орлова И.В. Экономико-математическое моделирование: Практическое пособие по решение задач. – М.: Вузовский учебник, 2004.
4. Орлова И.В. Половников В.А. Экономико-математические методы и модели: компьютерное моделирование: Учебное пособие. – М.:Вузовский учебник, 2007.