Факторный анализ. Метод главных компонент

Т.к. исходные данные представляют собой выборку из генеральной совокупности, то мы получили не собственные числа и собственные вектора матрицы, а их оценки. Нас будет интересовать на сколько “хорошо” со статистической точки зрения выборочные характеристики описывают соответствующие параметры для генеральной совокупности.

 Доверительный интервал для  i-го собственного числа ищется по формуле:

Доверительные интервалы для собственных чисел в итоге принимают вид:

Оценка значения нескольких собственных чисел попадает в доверительный интервал других собственных чисел. Необходимо проверить гипотезу о кратности собственных чисел.

Проверка кратности производится  с помощью статистики

  , где r-количество кратных корней.

Данная статистика в случае справедливости распределена по закону с числом степеней свободы . Выдвинем гипотезы:

                      

Так как , то гипотеза отвергается, то есть собственные числа и не кратны.

Далее,

:

                      

Так как , то гипотеза отвергается, то есть собственные числа и не кратны.

:

                      

Так как , то гипотеза отвергается, то есть собственные числа и не кратны.

     

       Необходимо выделить  главные компоненты на уровне  информативности 0,85. Мера информативности показывает какую часть или какую долю дисперсии исходных признаков составляют k-первых главных компонент. Мерой информативности будем называть величину:

I1= =0,458

I2= =0,667

I3=

 На заданном уровне информативности  выделено три главных компоненты.

                                       

        Запишем матрицу  =

Для получения нормализованного вектора перехода от исходных признаков к главным компонентам необходимо решить систему уравнений: , где - соответствующее собственное число. После получения решения системы необходимо затем нормировать полученный вектор.

        Для решения  данной задачи воспользуемся  функцией eigenvec системы MathCAD, которая возвращает нормированный вектор для соответствующего собственного числа.

В нашем случае первых четырех главных компонент достаточно для достижения заданного уровня информативности, поэтому матрица U (матрица перехода от исходного базиса к базису из собственных векторов)

Строим матрицу U, столбцами которой являются собственные вектора:

U= .

Матрица весовых коэффициентов:

А= .

 

Коэффициенты матрицы А являются коэффициентами корреляции между центрировано – нормированными исходными признаками  и ненормированными главными компонентами, и показывают наличие, силу и направление линейной связи между соответствующими исходными признаками и соответствующими главными компонентами.

 

 

 

 

 

 

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

 

Факторный анализ - это непростая процедура. Всякий, кто постоянно использует факторный анализ со многими (например, 50 или более) переменными, мог видеть множество примеров "патологического поведения", таких, как: отрицательные собственные значения и не интерпретируемые решения, особые матрицы и т.д. Если вы интересуетесь применением факторного анализа для определения или значащих факторов при большом числе переменных, вам следует тщательно изучить какое-либо подробное руководство (например, книгу Хармана (Harman, 1968)). Таким образом, так как многие критические решения в факторном анализе по своей природе субъективны (число факторов, метод вращения, интерпретация нагрузок), будьте готовы к тому, что требуется некоторый опыт, прежде чем вы почувствуете себя уверенным в нем. Модуль Факторный анализ был разработан специально для того, чтобы сделать легким для пользователя интерактивное переключение между различным числом факторов, вращениями и т.д., так чтобы испытать и сравнить различные решения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

 

 

1.Дубров А.М., Мхитарян В.С., Трошин Л.И. Многомерные статистические методы: Учебник. – М.: Финансы и статистика,1998.- 352с.

2.Сошникова Л.А., Тамашевич В.Н., Уебе Г., Шефер М. Многомерный статистический анализ в экономике: Учебное пособие для вузов- М.:ЮНИТИ-ДАНА, 1999.-598 с.

3. Эконометрика: Учебник/И.И. Елисеева, С.В. Курышева, Т.В. Костеева и др., Под ред. И.И. Елисеевой. – 2–е изд., перераб. и доп. – М.: Проспект, 2011. – 228 с.

4 Айвазян С.А., Иванова С.С. Эконометрика. Краткий курс: учеб. пособие / С.А. Айвазян, С.С. Иванова. – М.: Маркет ДС, 2010

5.Бородич С.А. Вводный курс эконометрики: Учебное пособие. – Мн.: БГУ, 2000. – 354 с.

6.Справочная система ППП STATISTICA фирмы StatSoft