Исследование операций

Федеральное государственное  бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Санкт-Петербургский государственный  политехнический университет»

Факультет экономики и менеджмента

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Курсовая работа

по  дисциплине: «Исследование операций».

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнил:                 /Сбитнев В.С./

Проверил:                      /                           /

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Санкт-Петербург. 2013

Содержание

 

Введение            3

1. Динамическое программирование       4

2. Решение задачи динамического программирования    5

Заключение           9

Использованная литература         10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

 

Исследование операций (ИО, англ. operations research — OR, также англ. management science — наука управления) — дисциплина, занимающаяся разработкой и применением методов нахождения оптимальных решений на основе математического моделирования, статистического моделирования и различных эвристических подходов в различных областях человеческой деятельности. Иногда используется название математические методы исследования операций.

Исследование операций —  применение математических, количественных методов для обоснования решений  во всех областях целенаправленной человеческой деятельности. Исследование операций начинается тогда, когда для обоснования  решений применяется тот или  другой математический аппарат. Операция — всякое мероприятие (система действий), объединённое единым замыслом и направленное к достижению какой-то цели. Операция всегда является управляемым мероприятием, то есть зависит от человека, каким способом выбрать параметры, характеризующие её организацию (в широком смысле, включая набор технических средств, применяемых в операции). Решение (удачное, неудачное, разумное, неразумное) — всякий определённый набор зависящих от человека параметров. Оптимальное — решение, которое по тем или другим признакам предпочтительнее других. Цель исследования операций — предварительное количественное обоснование оптимальных решений с опорой на показатель эффективности. Само принятие решения выходит за рамки исследования операций и относится к компетенции ответственного лица (лиц). Элементы решения — параметры, совокупность которых образует решение: числа, векторы, функции, физические признаки и т. д. Если элементами решения можно распоряжаться в определённых пределах, то заданные («дисциплинирующие») условия (ограничения) фиксированы сразу и нарушены быть не могут (грузоподъёмность, размеры, вес). К таким условиям относятся средства (материальные, технические, людские), которыми человек вправе распоряжаться, и иные ограничения, налагаемые на решение. Их совокупность формирует множество возможных решений.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Динамическое программирование

 

Динамическими называются задачи экономики, организации и управления, в которых необходимо распределять ресурсы на каждом этапе какого – либо промежутка (времени).

Формулировка задачи ДП:

Имеется некая система S, находящаяся в первоначальном состоянии S. Данная система имеет какие  – либо параметры. При переходе системы  из одной точки в другую необходимо в каждый момент времени выбирать направление дальнейшего движения из нескольких допустимых направлений  при условии, что  каждому направлению соответствует своя эффективность (параметры системы изменяются по разному), и необходимо таким образом спланировать маршрут из начальной точки в конечную, чтобы критерий эффективности достигал экстремального значения.

Иными словами из множества  допустимых управлений U=(U1, U2, …, Un) необходимо  найти оптимальное, при котором система переходит из своего начального состояния в конечное таким образом, что критерий оптимальности W достигает своего максимума.

Динамическое программирование представляет собой метод оптимизации  многошаговых процессов по шагам. Локальный  оптимум на каждом шаге должен рассчитываться не как оптимальный на данном этапе, а как дающий максимальное значение критерия оптимальности в конце движения. Несоблюдение этого правила приводит к серьезным ошибкам, поэтому при решении задач ДП двигаются обычно из конца пути в начало, рассчитывая затраты при движении в каждом направлении, а затем из начала в конец, находя локальный оптимум из рассчитанных затрат на каждом шаге. Таким образом получаем максимальное значение критерия оптимальности.

В основе расчетов методом  динамического программирования лежит  принцип Беллмана. Он звучит так: оптимальное управление обладает тем свойством, что каковы бы ни были достигнутые состояния и решения до данного момента, последующее решение должно составлять оптимальное поведение относительно состояния, достигнутого на данный момент.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Решение задачи динамического программирования

                    

Распределение ресурсов предприятиями.

 

Предприятие 1.

 

Количество составов	Прибыль на 1 состав
6,17	676,8
4,31 – 6,17	388,8
3,08 – 4,31	244,8
1,85 – 3,08	172,8
до 1,85	100,8

 

 

Предприятие 2.

 

Количество составов	Прибыль на 1 состав
6,18	459,25
4,33 – 6,18	305,25
3,09 – 4,33	151,25
1,85 – 3,09	74,25
до 1,85	-78,75

 

Предприятие 3.

 

Количество составов	Прибыль на 1 состав
5,66	294,68
3,96 – 5,66	40,28
2,83 – 3,96	-214,12
1,7 – 2,83	-298,92
до 1,7	-458,52

 

 

 

Количество составов, выделенных всем трем предприятиям (N), равно 14.

Рассчитаем эффективность  использования средств предприятиями. Для этого прибыль на один состав умножим на количество составов, при  которых достигается эта прибыль  на каждом из предприятий.

,  где n – количество составов, Pn – прибыль при этом количестве составов.

 

Количество составов	Предприятие 1	Предприятие 2	Предприятие 3
1	100,8	-78,15	-458,52
2	345,6	148,5	-597,94
3	518,4	222,75	-642,36
4	979,2	605	161,12
5	1944	1526,25	201,40
6	2332,8	1831,5	1768,08

 

 

 

Рассчитаем  - максимально возможное количество составов для предприятий 1 и 2. составов. Теперь рассчитаем минимально возможное количество составов для предприятий 1 и 2, исходя из того, что максимально возможное количество составов для предприятия 3 равно   = 6 составов, тогда составов. Составим таблицу выделения средств двум предприятиям (1 и 2). Здесь x - общее количество ресурсов (составов) для двух предприятий; x = x1 + x2;  0 x₁ 6 – допустимое количество составов для предприятия 1; 0 x₂ 6 – допустимое количество составов для предприятия 2. Отсюда видно, что  0 x , однако количество составов для предприятия 3 не может превышать 6, следовательно x , следовательно x ; 8 x 12. q₁, q₂ – эффективность использования средств предприятиями 1 и 2 соответственно взятая из предыдущей таблицы. W2 = q1 + q2 – суммарная эффективность обоих предприятий. Наибольшую суммарную эффективность для каждого значения x будем подчеркивать.

 

 

 

 

 

 

x	x1	X2	Эффективность
			q1	q2	W2
8	2	6	345,6	1831,5	2177,1
	3	5	518,4	1526,25	2044,65
	4	4	979,2	605	1584,2
	5	3	1944	222,75	2166,75
	6	2	2332,8	148,5	2481,3
9	3	6	518,4	1831,5	2349,9
	4	5	979,2	1526,25	2505,45
	5	4	1944	605	2549
	6	3	2332,8	222,75	2555,55
10	4	6	979,2	1831,5	2810,7
	5	5	1944	1526,25	3470,25
	6	4	2332,8	605	2937,8
11	5	6	1944	1831,5	3775,5
	6	5	2332,8	1526,25	3859,05
12	6	6	2332,8	1831,5	4164,3

 

 

 

Теперь составим таблицу  выделения средств всем трем предприятиям. Так как N – общее количество составов равно 14, а максимально возможное  количество составов для предприятий 1 и 2 =12, то всем трем предприятиям может быть выделено 13 или 14 составов. W3 – суммарная эффективность всех трех предприятий.

 

 

Количество      Составов	x3	x	Эффективность использования ресурсов
			q3	W2	W3
13	1	12	-458,52	4164,3	3705,78
	2	11	-597,94	3859,05	3261,11
	3	10	-642,36	3470,25	2827,89
	4	9	161,12	2555,55	2716,67
	5	8	201,4	2481,3	2682,7
14	2	12	-597,94	4161,3	3563,36
	3	11	-642,36	3859,05	3216,69
	4	10	161,12	3470,25	3631,12
	5	9	201,4	2555,55	2756,95
	6	8	1768,08	2481,3	4249,38

 

W3 максимальное равно  4249,38, следовательно Z = 4249,38.