Изучение тестов на обнаружение гетероскедастичности

 

 

Таблица №6

Результаты моделирования  третьей выборки.

Регрессионная статистика		Дисперсионный анализ		Коэффициенты		P-Значение
Множественный R	0,99	Значимость F	1,65E-10	Y-пересечение	-8,2	0,007388
				ВВП	0,07	1,65E-10
		SSостат	388,2359
R-квадрат	0,99	F	674,4532

 

Определим фактическое  значение F-критерия Фишера:

F_ф = 196,909 и =2,01023E-07

F_кр = 5,117,  при уровне значимости

 > , что говорит о том, что нулевая гипотеза об отсутствии гетероскедастичности (Н₀) отвергается, и принимается альтернативная гипотеза (H₁), которая свидетельствует о наличии гетероскедастичности.

 

1.3 Возможные причины появления гетероскедастичности.

Основными причинами  появления гетероскедастичности являются:

неправильная функциональная спецификация модели, значительные ошибки в исходной информации, а также отсутствие в модели переменной, существенно влияющей на результативный показатель.

 

1.4 Решение проблемы наличия гетероскедастичности.

Предположим, что причиной гетероскедастичности является неправильная спецификация модели. Для устранения ошибки учтём в модели численность  населения, получим уравнение зависимости расходов на образование на одного человека в функции ВВП на одного человека и произведем тестирование на наличие (отсутствие) гетероскедастичности с помощью теста ранговой корреляции Спирмена.

 

Таблица №7

Зависимость расходов на образование, затраченных на одного человека от валового внутреннего продукта на одного человека.

Страна	РО на 1 чел	ВВП на 1 чел
Люксембург	0,944444444	15,75
Уругвай	0,075862069	3,493103448
Сингапур	0,133891213	4,744769874
Ирландия	0,35755814	5,488372093
Израиль	0,467700258	5,410852713
Венгрия	0,095238095	2,069094304
Новая Зеландия	0,409677419	7,687096774
Португалия	0,10775428	2,484390735
Гонконг	0,132149901	5,435897436
Чили	0,112612613	2,483783784
Греция	0,078125	4,182291667
Финляндия	0,585774059	10,79916318
Норвегия	1,19804401	14,11002445
Югославия	0,156669651	2,821396598
Дания	0,869140625	12,953125
Турция	0,035618878	1,490872663
Австрия	0,567243675	10,23701731
Швейцария	0,833594976	15,95761381
Саудовская Аравия	0,764635603	13,85543608
Бельгия	0,72515213	12,11866126
Швеция	1,350180505	14,93983153
Австралия	0,592339261	9,642954856
Аргентина	0,205469327	5,685513673
Нидерланды	0,948373409	11,97878359
Мексика	0,081008902	2,764540059
Испания	0,127972215	5,65802832
Бразилия	0,072502642	2,029748842
Канада	0,789473684	10,91938179
Италия	0,279628331	6,934081346
Великобритания	0,534405719	9,561572833
Франция	0,625395643	12,20052132
ФРГ	0,627355426	13,23911631
Япония	0,527573215	8,909487926
США	0,796432964	11,36179933

 

1.4.1 Результаты использования теста ранговой корреляции Спирмена с учетом изменения спецификации модели.

Таблица №8

Таблица рангов экзогенных переменных (х) и рангов модулей остатков (e_i) после изменения спецификации модели.

Ранг экзогенной переменной (x)	Ранг модулей остатков (ei)
33	1
25	2
22	3
7	4
20	5
30	6
15	7
27	8
8	9
16	10
2	11
10	12
17	13
6	14
14	15
12	16
4	17
1	18
23	19
3	20
34	21
29	22
11	23
28	24
19	25
9	26
31	27
26	28
5	29
24	30
18	31
32	32
13	33
21	34

 

r(x,e)= 0,052897

r(x,e)* = 0,303868553

Р-факт = 0,380943

Как значение стандартизованной  переменной r(x,e)* , равное 0,304 (0,304<1,96), так и значение при уровне значимости ( ) свидетельствуют о принятии нулевой гипотезы, а, следовательно, об отсутствии гетероскедастичности в остатках.

Данное утверждение  может подтвердить и график зависимости остатков от Х:

 

После избавления от гетероскедастичности дадим оценку точности, адекватности модели и значимости ее коэффициентов.

 

Результаты моделирования зависимости  РО на 1 человека от ВВП на 1 человека.

Регрессионная статистика		Дисперсионный анализ		Коэффициенты		P-Значение
Множественный R	0,928344	Значимость F	2,65E-15	Y-пересечение	-0,12457	0,007563446
				ВВП	0,073173	1,32484E-15
R-квадрат	0,861823	F	199,5876

 

 

Регрессионная модель весьма точно описывает эмпирические данные, поскольку коэффициент детерминации равен 86,18%. Модель адекватна при уровне значимости 3%. При данном уровне значимости также значимы (отличны от нуля) и ее коэффициенты.

Уравнение парной регрессии примет вид:

У=-0,12457+0,073*X

 

 

2. Задание №2 (индивидуальное задание).

Таблица №9

Исходные данные

x	y
1	1707,474
2	925,915
3	76,57004
4	1155,906
5	535,4241
6	1136,48
7	1389,357
8	317,3194
9	481,3931
10	1198,129
11	736,7676
12	806,2397
13	508,918
14	316,9207
15	229,6272
16	404,7787
17	248,4412
18	621,2802
19	113,2517
20	295,9688

Таблица №10

Результаты моделирования  данных индивидуального задания.

Регрессионная статистика		Дисперсионный анализ		Коэффициенты		P-Значение
Множественный R	0,5815	Значимость F	0,007158	Y-пересечение	1133,2	2,66394E-06
				X	-45,03	0,00357896
R-квадрат	0,3382	F	9,197054253

 

 

График остатков наводит  на мысль о наличии гетероскедастичности, поскольку при увеличении величины переменной X, увеличивается и величина остатков.

Выдвинем нулевую гипотезу (Н₀) об отсутствии гетероскедастичности в остатках. Также примем во внимание альтернативную гипотезу (Н₁) о наличии гетероскедастичности.

Для определения наличия (отсутствия) гетероскедастичности, необходимо воспользоваться тестами, выявляющими данную тенденцию.

 

2.1 Использование теста ранговой корреляции Спирмена.

 

Упорядочим значения рангов модулей остатков в порядке  возрастания и найдем разницу  между рангами независимой переменной и рангами модулей остатков.

Таблица №11

Таблица рангов экзогенной переменной (х), рангов модулей остатков (e_i) и квадратов разностей (R_x-R_e)²

Ранг экзогенной переменной (x)	Ранг модулей остатков (ei)	(Rx-Re)2
16	1	225
13	2	121
20	3	289
11	4	49
2	5	9
17	6	121
19	7	144
14	8	36
4	9	25
12	10	4
15	11	16
9	12	9
6	13	49
18	14	16
5	15	100
8	16	64
10	17	49
7	18	121
1	19	324
3	20	289
		2060

 

Определим коэффициент  корреляции, стандартизованную переменную и  :

r(x,e)= -0,54887218

r(x,e)* = -2,392478368

Р-факт = 0,02280182

(при уровне значимости 5%) и r(x,e)* >1,96, следовательно, отвергается нулевая гипотеза об отсутствии гетероскедастичности, и принимается альтернативная гипотеза, которая свидетельствует о том, что гетероскедастичность присудствует.

 

2.2 Использование теста Гольдфельда-Квандта.

Разобьем исходные данные на 3 части (выборки), отсеяв центральную:

Таблица №12

Совокупность исходных данных, разбитых на выборки, за исключением  центральной выборки.

Выборка №1		Выборка №3
X	Y	X	Y
1	1707,474	14	316,9207
2	925,915	15	229,6272
3	76,57004	16	404,7787
4	1155,906	17	248,4412
5	535,4241	18	621,2802
6	1136,48	19	113,2517
7	1389,357	20	295,9688

 

В результате моделирования  данных выборок получили значения остатков:

=1768137

=154339,9

Тогда и =0,003302.

При уровне значимости и F_крит=9,017299 нулевая гипотеза отвергается, следовательно, гетероскедастичность присутствует.

 

 

Общие выводы.

 

Благодаря проделанной  работе, мы познакомились с явлением гетероскедастичности, о котором  свидетельствует зависимость остатков от экзогенной переменной (в парной регрессии) либо от результативной переменной (во множественной регрессии). При наличии данного явления, не имеет смысла использовать обычный МНК (OLS), поскольку параметры уравнения потеряют свою эффективность, поэтому оценка адекватности модели и значимости коэффициентов может дать сбой.

В ходе данной работы были выявлены причины появления гетероскедастичности, а именно: ошибочная функциональная спецификация модели, значительные ошибки в исходных данных и отсутствие объясняющей переменной, существенно влияющей на результативный  признак.