Экономико-математические методы и модели

 

Задача  №1

Пошивочное ателье собирается наладить выпуск повседневной одежды. При этом изделий каждого вида должно быть выпущено не более 200 штук.

В таблице приведены  нормы расхода материалов на одно изделие, а также стоимость.

 

 

Составьте оптимальный  план выпуска изделий пошивочной мастерской, при котором максимальна общая стоимость продукции. Спрос по каждому виду изделий не превышает 200 штук.

 

Решение

Пусть переменные х₁ – кол-во мужских брюк;

х₂ – женских юбок;

х₃ – детских брюк;

х₄ – детских юбок.

Целевая функция, определяющая общую стоимость продукции:

 

f(x) = 1500x₁ + 1400x₂ + 800x₃ + 750x₄ →max

 

Ограничения задачи:

1,4х₁ + 0,9х₂ + 0,7х₃ + 0,6х₄ ≤ 500

1,0х₁ + 0,8х₂ + 0,6х₃ + 0,5х₄ ≤ 400

6х₁ + 4х₂ + 6х₃ + 3,5х₄ ≤ 2500

х₁, х₂, х₃, х₄ ≤ 200

х₁, х₂, х₃, х₄ – целые

 

MS Excel.

Для значений переменных назначаются ячейки В3:Е3. Коэффициенты целевой функции вводятся в ячейки В6:Е6. Ячейка целевой функции – Н7. В ней вводится функция СУММПРОИЗВ, Массив 1 В3:Е3, Массив 2 В6:Е6.

В ячейки В9:Е11 вводятся коэффициенты ограничений задачи, в ячейки G9:G11 вводятся правые части системы ограничений согласно условиям задачи. В ячейки H9:H11 вводятся правые части системы ограничений с помощью функции СУММПРОИЗВ, Массив 1 В3:Е3, Массив 2 В9:Е9 – В11:Е11.

 

 

 

 

 

 

Далее открывается  надстройка Поиск решения. В ней  указывается целевая ячейка $Н$7, направление целевой функции «максимум», изменяемые ячейки переменных $В$2:$Е$2. Затем вводятся ограничения. Метод решения выбирается «Поиск решения линейных задач симплекс-методом».

 

 

 

Затем выполняется  действие Найти решение. Появляется диалоговое окно, извещающее о том, что решение найдено.

 

Согласно найденному решению максимальная общая стоимость продукции составит 642300 руб. Для этого необходимо произвести 157 мужских брюк, 200 женских юбок, 200 детских юбок и отказаться от производства детских брюк.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача  №2

Имеются три специализированные мастерские по ремонту двигателей. Их производственные мощности равны  соответственно 100, 350, 580 ремонтов в  год. В пяти районах, обслуживаемых  этими мастерскими, потребность  в ремонте равна соответственно 190, 250, 220, 180, 180 двигателей в год. Затраты  на перевозку одного двигателя из районов к мастерским следующие:

 

 

Спланируйте количество ремонтов каждой мастерской для каждого из районов, минимизирующее суммарные транспортные расходы.

 

Решение.

Пусть переменные х_1j – кол-во ремонтов мастерской А для района Р_j;

x_2j – мастерской В для района Р_j;

х_3j – мастерской С для района Р_j.

Целевая функция, определяющая суммарные транспортные расходы:

 

f(x) = 4,5х₁₁ + 3,7x₂₁ + 8,3х₃₁ + 2,1x₁₂ + 4,3х₂₂ + 2,4x₃₂ + 7,5x₁₃ + 7,1х₂₃ + 4,2x₃₃ + 5,3x₁₄ + 1,2х₂₄ + 6,2x₃₄ + 4,1x₁₅ + 6,7х₂₅ + 3,1x₃₅ → min

 

Ограничения задачи:

х₁₁ + х₁₂ + х₁₃ + х₁₄ + х₁₅  ≤ 100;

х₂₁ + х₂₂ + х₂₃ + х₂₄ + х₂₅  ≤ 350;

х₃₁ + х₃₂ + х₃₃ + х₃₄ + х₃₅  ≤ 580;

х₁₁ + х₂₁ + х₃₁ = 190;

х₁₂ + х₂₂ + х₃₂ = 250;

х₁₃ + х₂₃ + х₃₃ = 220;

х₁₄ + х₂₄ + х₃₄ = 180;

х₁₅ + х₂₅ + х₃₅ = 180;

x_1j, x_2j, x_3j ≥0, целые.

 

MS Excel.

Формируется матрица  ремонтов. Для этого в блок ячеек  B3:D7 вводится «1». В ячейках B8:D8 будет отображаться общее количество ремонтов для каждой мастерской (через функцию СУММ). В ячейки B9:D9 вводятся производственные мощности мастерских. E3:E7 – количество ремонтов для каждого района (через функцию СУММ), F3:F7 – потребность в ремонте каждого района.

Затем в блок ячеек  В13:D17 вводятся исходные данные.

Ячейкой целевой  функции назначается G11. С помощью функции СУММПРОИЗВ выбираются массивы 1 - B3:D7; 2 - В13:D17.

 

 

 

Далее открывается  надстройка Поиск решения. В ней указывается ячейка целевой функции $G$11, направление изменения целевой функции «минимум». Изменяемые ячейки переменных указываются $B$3:$D$7.

Затем вводятся ограничения. Метод решения выбирается Поиск  решения линейных задач симплекс-методом.

 

 

Затем выполняется  действие Найти решение. Появляется диалоговое окно, извещающее о том, что решение найдено.

 

 

Таким образом, получен  план ремонтов, при котором суммарные  транспортные расходы будут минимальны и составят 2022 ед. План означает, что:

• в мастерской А выполняются 100 заказов из района Р2;
• в мастерской В выполняются 350 заказов из района Р4;
• в мастерской С выполняются 580 заказов из района Р2.