Экономико-математические модели и методы

 

 

Задача 4.

Исследовать динамику экономического показателя на основе анализа одномерного временного ряда.

 

Задача 4.10. В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн. р.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя приведен ниже в таблице:

 

t	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Y(t)	5	7	10	12	15	18	20	23	26

 

Требуется: 

1) Проверить наличие  аномальных наблюдений. 

2) Построить линейную  модель   , параметры которой оценить МНК ( - расчетные, смоделированные значения временного ряда). 

4) Оценить адекватность  построенных моделей, используя  свойства независимости остаточной  компоненты, случайности и соответствия  нормальному закону распределения  (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7—3,7).

5) Оценить точность  моделей на основе использования  средней относительной ошибки  аппроксимации.

6) По двум построенным  моделям осуществить прогноз спроса на следующие две недели  (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности р = 70%).

7) Фактические значения  показателя, результаты моделирования  и прогнозирования представить  графически.

 

РЕШЕНИЕ:

1. Проверим наличие аномальных наблюдений.

Используем метод Ирвина

 

t	Y(t)			λ
1	5	102,235
2	7	65,790	2	0,277
3	10	26,123	3	0,416
4	12	9,679	2	0,277
5	15	0,012	3	0,416
6	18	8,346	3	0,416
7	20	23,901	2	0,277
8	23	62,235	3	0,416
9	26	118,568	3	0,416
45	136	416,889

         

         

          

  

Для 9 наблюдений на уровне значимости α = 0,05 табличное значение критерия λ_табл составит 1,46.

Сравниваем λ_табл. с расчетными значениями λ.

λ_t < λ_табл. (α = 0,05), т.е. с вероятностью допустить ошибку 5% можно утверждать, что аномальных наблюдений нет.

 

2) Построим  линейную модель  

Система нормальных уравнений  имеет вид:

     

t	Y(t)	t2	t ∙  y(t)
1	5	1	5
2	7	4	14
3	10	9	30
4	12	16	48
5	15	25	75
6	18	36	108
7	20	49	140
8	23	64	184
9	26	81	234
45	136	285	838

- линейная трендовая модель

 

4) Оценить адекватность построенной моделей

1. Свойство независимости остаточной компоненты. Применяем критерий Дарбина – Уотсона.

При сравнении d_расч могут возникнуть 4 ситуации:

1. 0 < d_расч < d₁ – свойство не выполняется, остатки зависимы;
2. d₁ < d_расч < d₂ – критерий ответа не дает, необходимо применение другого коэффициента (например, 1-ого коэффициента автокорреляции);
3. d₂ < d_расч < 2 – свойство выполняется, остатки независимы, автокорреляция в ряду остатков отсутствует;
4. 2 < d_расч < 4 – находим d’ = 4-d_расч.

Для n = 9, α = 0,05, d₁ = 0.82, d₂ = 1.32.

Поскольку, 2 < d_расч < 4 – находим d¢ = 4 – d_расч = 4 – 2,281 = 1,719

Теперь d¢ сравниваем с табличными значениями

d₂ = 1,32 < d¢ = 1,719 < 2, следовательно свойство выполняется, остатки независимы, автокорреляция отсутствует;

 

t	y(t)		Е(t)	Е(t)2		m
1	5	4,578	0,422	0,178			0,084
2	7	7,211	-0,211	0,045	0,401	1	0,030
3	10	9,844	0,156	0,024	0,134	1	0,016
4	12	12,478	-0,478	0,228	0,401	1	0,040
5	15	15,111	-0,111	0,012	0,134	0	0,007
6	18	17,744	0,256	0,065	0,134	1	0,014
7	20	20,378	-0,378	0,143	0,401	1	0,019
8	23	23,011	-0,011	0,000	0,134	0	0,000
9	26	25,644	0,356	0,126	0,134		0,014
			0,00	0,822	1,876	5	0,225

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Свойство случайности остатков. Применяем критерий поворотных точек (критерий пиков).

График остатков

Точка считается поворотной, если она больше предшествующей и последующей (или меньше).

По графику видно, что m = 5.

Число поворотных точек  должно быть больше, чем

Квадратные скобки означают, что берется целая часть числа

m = 5 > 2. Неравенство выполняется, значит, свойство выполняется, остатки имеют случайный характер.

 

3. Свойство соответствия нормальному закону распределения. Применяем R/S-критерий.

Расчетное значение R/S – критерия находим по формуле:

           

Критическими значениями R/S – критерия являются 2,7 и 3,7.

2,7 < R/S = 2,807 < 3,7. Расчетное значение попадает внутрь табличного интервала, значит свойство выполняется, распределение остаточной компоненты соответствует нормальному закону распределения.

 

Вывод: т.к. рядом остатков выполняются все свойства, то линейная трендовая  модель считается адекватной.

 

5. Оценим точность модели с помощью средней относительной ошибки аппроксимации:

S <  7%, модель считается точной. Расчетные значения спроса отличаются от фактических у(t) на 2,5%.

Линейная трендовая  модель является адекватной и точной, следовательно она качественная и ее можно использовать для дальнейшего  прогнозирования.

 

6. Осуществить прогноз спроса на следующие две недели

Точечный прогноз

Интервальный прогноз

, где 

- ширина доверительного интервала.

S_прогн – средняя квадратическая ошибка прогноза

t_α – критерий Стьюдента

       

= 60

     

Критерий Стьюдента  на уровне значимости α = 0,3 с числом степеней свободы n – 2 = 9 – 2 = 7 составит 1,119.

(10) = 1,119 ∙ 0,424 = 0,474    (11) = 1,119 ∙ 0,449 = 0,502

28,274 ± 0,474 – интервальный прогноз при к=1

27,800 – нижняя граница

28,748 – верхняя граница

30,907 ± 0,502 – интервальный прогноз при к=2

30,405 – нижняя граница

31,409 – верхняя граница

С вероятностью 70 % можно  утверждать, что спрос на кредитные  ресурсы финансовой компании на 10 неделю окажется в пределах от 27,8 млн.руб. до 28,748 млн.руб., а на 11-ую неделю – от 30,405 до 31,409 млн.руб.

 

 

 

 

 

 

 

 

Приложение 1

Представим исходный рабочий лист Excel:

В ячейку Е4 занесем целевую  функцию. Для этого воспользуемся  встроенной математической функцией СУММПРОИЗВ.

В аргумент Массив 1 заносим ячейки, содержащие значение переменных Х₁, Х₂, Х₃ (В3:D3). Нажимаем клавишу <F4>, чтобы этот аргумент остался постоянным. В Массив 2 заносим значения с ценами на изделия (ячейки В4:D4). Нажимаем ОК.

Копируем ячейку с  целевой функцией в ячейки с левыми частями ограничений. Получаем:

 

Теперь используем надстройку Поиск решения:

В Параметрах делаем отметки: Линейная модель и Неотрицательные значения, нажимаем ОК.

В окне Поиска решения  нажимаем клавишу Выполнить. Получаем:

Ответ: f(x) = 4000, при х₁ = 40, х₂ = 40, х₃ = 0.