Экономико-математические модели управления персоналом

Page 1

49
Экономико-математические модели управления...
А. В. Шпиленко
Экономико-математические модели
управления персоналом на предприятии
1. Критерии оптимизации управления персоналом
наука об управлении персоналом и методы математического
программирования для решения задач управления трудовыми
ресурсами до сих пор не получили в нашей стране должного
развития и применения. однако в последнее время государст-
венныеикоммерческиеструктурыпроявляютрастущийинтерес
кнаучнымметодамуправленияперсоналом.прирешениизадач
подобного рода приходится учитывать множество различных по
степениважностифакторов,существованиекоторыхобусловлено
взаимными требованиями, предъявляемыми друг к другу
коллективом, отдельными индивидуумами и организацией.
одной из основных проблем науки о руководстве является за-
дачараспределениятрудовыхресурсов,котораявключаетвсебя
отбор, расстановку кадров и назначение на должности. обычно
отборнаработуворганизацииосуществляютисходяизтекущих
потребностей, хотя в некоторых случаях делаются попытки
оценить «потенциал» будущего сотрудника с точки зрения его
продвиженияпослужбе.иногдавозникаетнеобходимостьнайти
компромиссное решение между отбором людей с наибольшей
производительностью труда на данный момент и кандидатов с
наивысшими возможностями в будущем.
основнойзадачейраспределениятрудовыхресурсовявляется
расстановкакадров(назначениенадолжности),обеспечивающая
выполнение требуемых видов работ. Задачи распределения
являются «зеркальным отображением» задач использования.
если в задачах распределения ресурсов структура работ считается
заданной и требуется назначить их исполнителей, то в задачах
использованияресурсовзаданнымиявляютсяисполнители,их
возможности и индивидуальные характеристики и требуется
определить структуру работ, которая позволила бы наилучшим
образом использовать эти возможности. вбольшинстве случаев
приуправлениитрудовымиресурсамирешаютсяодновременно
обе задачи.
Задача распределения трудовых ресурсов решается в органи-
зации на двух уровнях управления. на верхнем уровне решается

---

Page 2

50
А. В. Шпиленко
задачаагрегированногопланированиятрудовыхресурсов,целью
которойявляетсяопределениечисленностигруппсотрудников,
необходимых каждой организации; часто эта численность выра-
жается через потребность в человеко-часах и затратах на рабочую
силу.второйуровень–этонепосредственноеуправление.Здесь
результатом является фактическое назначение каждого конкрет-
ного исполнителя на конкретную работу, т. е. решение задачи,
которая иногда называется задачей оптимального назначения
и дает ответ на вопрос, как наиболее эффективно назначить n
исполнителей на m работ.
математическаямодельзадачионазначенияхвобщемвиде
имеет следующую формулировку: найти оптимум целевой
функции F({x(i,j)}) при следующих ограничениях:
n
∑ x(i,j) ≤ 1, j = 1,m;
i = 1
m
∑ x(i,j) ≤ 1, i = 1,n,
j = 1
n m
∑ ∑ x(i,j) = min (n,m);
i = 1 j = 1
x(i,j) = 0, 1; i = 1,n, j = 1,m,
где х(i,j) = 0, если работа под номером j не выполняется работ-
ником под номером i, и х(i,j) = 1, если работа выполняется.
данная модель требует, чтобы каждый исполнитель был
назначен не более чем на одну работу и, соответственно, на каж-
дую работу должен быть назначен не более чем один исполни-
тель. для специалиста, использующего эту модель в реальных
ситуациях,наиболеетрудныммоментомявляетсяопределение
соответствующей целевой функции. при этом возможно не-
сколько подходов:
1.максимизация(минимизация)суммыоценокназначений,
иными словами, требование найти максимум (минимум) целе-
вой функции:
n m
∑ ∑ c(i,j) * x(i,j),
i = 1 j = 1

---

Page 3

51
Экономико-математические модели управления...
здесь с(i,j) должна непосредственно выражаться через такие
важные для организации показатели, как время выполнения
работы, издержки производства, объем выпуска в единицу
времени и т. д. однако довольно часто осуществить это
требование трудно, так как каждое значение c(i,j)естьточечная
оценка, при получении которой существенную роль играет
распределение ошибок.
2. максимизация вероятности успешного выполнения
каждым исполнителем работы, на которую он назначен, т. е.
требование найти максимум целевой функции
n m
∑ ∑ log( p(i,j) ) * x(i,j) ,
i = 1 j = 1
где p(i,j) есть вероятность того, что исполнитель под
номером iуспешно выполнит работу под номером j (0≤p(i,j)≤1).
оценки вероятности того, что исполнитель с определенными
характеристиками удовлетворительно выполнит каждую из
работ, могут быть даны на основе статистических данных.
Благодаря свойствам логарифмов целевая функция может
быть выражена с помощью приведенной выше формулы.
после введения понятия «вероятность успеха» или «неудачи»
становится возможным рассмотрение других методов оценки
значений с(i,j) и подходов к выбору целевой функции.
среди специалистов нет единого мнения о предпочтительно-
ститойилиинойцелевойфункции. каждаяконкретнаязадача
управления требует внимательного обсуждения для выбора
адекватной целевой функции.
2. Модели распределительного типа
Модель о максимальном допустимом назначении. пусть
имеется m должностей и кандидатов на эти должности. для
каждой пары кандидат i – должность j известно, может ли
данный кандидат занимать данную должность. Задача о
максимальном допустимом назначении состоит в том, чтобы
назначить как можно больше кандидатов на должность при
условии, что каждый кандидат может занять не более одной
должности и каждую должность может занимать не более
чем один кандидат. введем для обозначения допустимости
назначений величины b(i,j). при этом b(i,j) = 0, если кандидат

---

Page 4

52
А. В. Шпиленко
может занимать должность, и b(i,j) = 1 в противном случае.
назначение обозначим x(i,j). при этом x(i,j)=1,есликандидат
i занимает должность j, и x(i,j) = 0 в противном случае. тогда
формальная постановка задачи будет выглядеть так:
n m
∑ ∑ x(i,j) ⇒ max
i = 1 j = 1
n m
∑ ∑ b(i,j) * x(i,j) = 0;
i = 1 j = 1
n
∑ x(i,j) ≤ 1, j = 1,m;
(1)
i = 1
m
∑ x(i,j) ≤ 1, i = 1,n;
j = 1
x(i,j) = 0, 1; i = 1,n, j = 1,m.
Эту задачу можно описать на языке теории графов, используя
понятия двудольного графа. двудольным (бихроматическим)
называется граф G(X,U) множество вершин которого X можно
разбить на два подмножества X = X
1
∪ X
2
так, что выполняются
следующие условия: X
1
∩X
2
=∅; для любого ребра e=(x
1
, x
2
)∈U,
если x
1
∈ X
1
, то x
2
∈ X
2
, если x
1
∈ X
2
, то x
2
∈ X
1
. иными словами,
концы любого ребра принадлежат разным множествам. поставим
в соответствие каждому кандидату iвершину x
i
из множества X
1
,
каждой должности j – вершину x
j
из множества X
2
.обозначим
допустимость назначения кандидата iна должность jвведением
ребра (x
i
, x
j
) (заметим, что это ребро соответствует b(i,j) = 0 в
формальной постановке (1)).
поиск максимального допустимого назначения сводится
к поиску максимального множества ребер, имеющих общие
концы. множество ребер графа, не имеющих общих концов,
называется паросочетанием. таким образом, поиск макси-
мального допустимого назначения эквивалентен поиску макси-
мального паросочетания.
Алгоритм о максимальном допустимом назначении. излага-
емый ниже алгоритм основан на итеративном улучшении
решениясприменениемнакаждойитерацииалгоритмапоиска
пути между двумя вершинами ориентированного графа [2].

---

Page 5

53
Экономико-математические модели управления...
алгоритмначинаетсвоюработуспостроенияпаросочетания,
которое нельзя увеличить за счет включения в него нового
ребра. очевидно, такое паросочетание можно построить,
последовательно включая в него ребра графа, соединяющие не
занятые паросочетанием вершины.
опишем теперь, каким образом подобное паросочетание
можноувеличить(илиубедитьсявегомаксимальности).введем
ориентацию на ребрах графа G(X,U) следующим образом.
все ребра, входящие в паросочетание, ориентируем в одном
направлении (например, от X
1
к X
2
), а все остальные ребра – в
противоположном (соответственно, от X
2
к X
1
). в полученном
ориентированномграфемыищемпутьизкакой-либонезанятой
вершины множества X
2
в какую-либо незанятую вершину
множества X
1
. но достаточно найти хотя бы один такой путь.
если такой путь существует, то, очевидно, в нем чередуются
ребра,невходящиевпаросочетаниеивходящиевнего.причем
первое и последнее ребра не входят в паросочетание. поэтому
еслинаэтомпутиребра,невходящиевпаросочетание,включить
в него, а ребра, входящие в паросочетание, исключить, то
количестворебервпаросочетанииувеличитсяна1(такойпуть
называетсяувеличивающим).еслиповторитьтужепроцедуру
для паросочетания и увеличивающий путь не будет найден, то
это означает, что данное паросочетание максимально.
Модель расстановки работников на конвейере. Задача о
максимальном допустимом назначении имеет много приме-
нений, помимо уже описанного выше. пусть, например,
имеется mработ и nработников (n≥m).длякаждогоработника
iизвестно время выполнения им работы j–t(i,j).какипрежде,
требуется распределить работы между работниками (или, что
то же самое, – расставить работников по рабочим местам) так,
чтобы каждому работнику досталось не более одной работы и
на каждую работу был поставлен не более чем один работник.
если время выполнения всех работ ограничено величиной т,
то нельзя поручать работнику iработу jприt(i,j)>т.подобная
ситуация может возникнуть при расстановке рабочих по
операциям на конвейере, если время на выполнение одной
операции (определяющее скорость движения конвейера)
ограничено величиной т. поскольку при t(i,j) > т работника i
нельзя ставить на выполнение операции j,тоэлементыматрицы

---

Page 6

54
А. В. Шпиленко
в=b(i,j)определяются с помощью следующего правила: b(i,j)
= 0, если t(i,j) ≤ т, и b(i,j) = 1, если t(i,j) ≥ T.
на построенной таким образом матрице B решается задача
о максимальном допустимом назначении. если максимальное
допустимое назначение содержит менее mзначений x(i,j)=1,то
этоозначает,чтоданноемножествоработневозможновыполнить
за время т при данных условиях. если решение содержит m
значений x(i,j) = 1, то каждое из этих значений указывает, что
работнику iследует поручить работу (операцию) j.определяемое
таким образом распределение работ допустимо.
Модель поиска на узкие места. представим теперь, что
по-прежнему известны времена t(i,j), но время т (например,
скорость конвейера) не задано. Задача состоит в отыскании
такой расстановки работников по работам (операциям), чтобы
максимальное время выполнения работы было минимальным
(в случае конвейера это означает максимальную скорость его
передвижения). такуюзадачуоназначенииназываютзадачей
«наузкиеместа».дляеерешенияможноупорядочитьвремена
t(i,j) по возрастанию: t(i,j)
1
≤t(i,j)
2
≤…≤t(i,j)
m
≤…≤t(i,j)
m*n
.далее
построим матрицу B
m
=  b(i,j) такую, что b(i,j)
1
= b(i,j)
2
= …
= b(i,j)
m
= 0, а все остальные b(i,j) = 1. решим на этой матрице
задачу о максимальном допустимом назначении. если решение
содержит m значений x(i,j)=1,тооноопределяетоптимальную
расстановку работников. если же нет, то мы переходим к
новой матрице B
(m+1)
, в которой по сравнению с матрицей в
(m)
измененонанулевое значениеb(i,j)
m+1
.продолжаяэтотпроцесс,
мы в итоге получим решение, содержащее m значений x(i,j) =
1 (поскольку n ≥ m). нетрудно понять, что это решение будет
соответствоватьискомойоптимальнойрасстановкеработников.
Заметим, что при поиске максимального допустимого значения
на матрице B
(k)
можно использовать в качестве начального
приближения решение, полученное на матрице B
(k-1)
.
Пример. Пусть 4 работника претендуют на 3 рабочих
места, и времена выполнения ими соответствующих работ
изображены в таблице:
1 2 3
1 2 1 3
2 4 1 3
3 2 2 2
4 3 2 1

---

Page 7

55
Экономико-математические модели управления...
СоответствующаяматрицаB
3
имаксимальноедопустимое
назначение на ней представлено ниже:
1 0 1
1 0 1
1 1 1
Посколькумаксимальноедопустимоеназначениесодержит
не все 3 работы, мы должны увеличить количество нулевых
элементов и перейти к матрице B
4
:
0 0 1
1 0 1
1 1 0
Полученноерешениесодержитвсе3работы.Максимальное
значение t(i,j) («узкое место») равно t(11) = 2. Название
задачина«узкиеместа»связаностем,чтоскоростьдвижения
конвейера определяется максимальным значением t(i,j) из
выбранных (i,j), которое и является «узким местом».
Модель оптимального назначения.дальнейшееусложнение
задачи связано с тем, что назначение кандидата i на должность j
можетбытьсопряженосопределеннымизатратами(например,
на переподготовку, на оплату труда и т. п.). обозначим
эти затраты с(i,j). матрица с = |с(i,j)| называется матрицей
затрат. тогда задача состоит в распределении максимального
количества кандидатов по должностям при минимальных
суммарных затратах. Заметим, что если кандидат i не может
занимать должность j(из-за несоответствия квалификации, из-
за ограничений на время выполнения работы и пр.), то можно
формально положить с(i,j) = ∞. Эту задачу называют задачей
об оптимальном назначении. ее аналитическую постановку
можно записать так:
n m
∑ ∑ c(i,j) * x(i,j) ⇒ max
i = 1 j = 1
n m
∑ ∑ x(i,j) = min (n,m);
i = 1 j = 1
n
∑ x(i,j) ≤ 1, j = 1,m;
(2)
i = 1

---

Page 8

56
А. В. Шпиленко
m
∑ x(i,j) ≤ 1, i = 1,n;
j = 1
x(i,j) = 0, 1; i = 1,n, j = 1,m.
алгоритм решения этой задачи («венгерский метод»)
использует поиск максимального допустимого назначения
и заключается в следующем. в каждой строке матрицы
с находим минимальный элемент, вычитаем его из всех
элементов данной строки. в каждом столбце полученной
матрицы находим минимальный элемент и вычитаем его
из всех элементов столбца. в полученной матрице находим
максимальное допустимое назначение. если
n m
∑ ∑ x(i,j) = min (n,m),
i = 1 j = 1
то мы получаем оптимальное назначение. в противном
случае мы должны использовать тот факт, что одновременно
с поиском максимального допустимого назначения мы
находим минимальное множество линий, покрывающих
все нули матрицы. напомним, что это множество состоит из
непомеченных строк и помеченных столбцов. перечеркнем
эти линии. выберем минимальный неперечеркнутый элемент
(пусть он равен w). вычтем w из каждого неперечеркнутого
элемента матрицы и прибавим его к каждому дважды перечерк-
нутому элементу. на преобразованной таким образом матрице
снова найдем максимальное допустимое назначение. Этот
процессбудетпродолжатьсядотехпор,поканебудетпостроено
назначение, содержащее min (n,m) единичных элементов. Это
назначение и будет оптимальным.
Задачу об оптимальном назначении можно поставить и
как задачу поиска максимума целевой функции. например,
если учитывать, что в результате найма работника i на место j
работодатель может получить доход a(i,j),топостановказадачи
будет выглядеть следующим образом:
n m
∑ ∑ a(i,j) * x(i,j) ⇒ max
(3)
i = 1 j = 1

---

Page 9

57
Экономико-математические модели управления...
(если работник iне может выполнять работу j, то а(i,j) = - ∞).
очевидно, можно, положив
с(i,j) = max a(i,j) – a(i,j),
i,j
переформулировать задачу максимизации (3) на задачу
минимизации (2).
3. Модели профессионального клиринга
разработкапрактическихметодовприподборепретендентов
на рабочие места и отборе персонала на внутреннем рынке
труда должна содействовать практической реализации его
социальнойроли,атакжеповышениюэффективностиикачества
деятельности предприятий в развитии российской экономики.
Модель взаимного выбора. допустим, распределение
рабочихпорабочимместамосуществляетсяневрамкаходного
предприятия, а имеет место взаимный подбор работников
и работодателей. процесс такого подбора носит название
профессионального клиринга. Будем считать для простоты,
чтокаждыйработодательпредлагаетровнооднорабочееместо.
какивпредыдущихразделах,будемсчитать,чтоработодатель
j, наняв работника i, рассчитывает получить с его помощью
доход a(i,j) ≥ 0. представим, что подбором занимается служба
занятости, которой известны значения всех a(i,j). какими
принципами следует руководствоваться при подборе? Было
бы заманчиво осуществить его путем решения задачи (3).
но при этом надо учитывать, что работники и работодатели
могут непосредственно договариваться друг с другом и если
какой-либопаре«работник–работодатель»окажетсявыгоднее
взаимно «объединиться», чем подчиниться принципу подбора
(3),тоонимогутразрушитьпредлагаемоеслужбойрешение.для
тогочтобыпонять,можетлитакоепроизойти,надовыяснить,в
чемименносостоитвыгодаработникаиработодателя.каждый
работодатель j может использовать некоторую часть d(i,j) ≥ 0
своего дохода a(i,j) на оплату труда работника i с тем, чтобы
заинтересовать его согласиться работать именно на себя.
естественно, при этом часть дохода a(i,j) – d(i,j) = e(i,j) ≥ 0 он
хотел бы оставить себе. таким образом, суммарная выгода
работника i и работодателя j измеряется величиной a(i,j) в
случае, если работник i поступит работать на рабочее место j.

---

Page 10

58
А. В. Шпиленко
итак, если после того, как осуществлен подбор по принципу
(3), найдутся работник i и работодатель j, которые смогут
распределить доход a(i,j) более выгодно для каждого, чем при
этом подборе (3), то они смогут разрушить решение.
докажем, что можно осуществить разумное распределение
доходовмеждуработникамииработодателями,прикоторомни
у одной пары «работник–работодатель» не возникнет желания
разрушить подбор. Это возможно только при оптимальном в
смысле (3) назначении. действительно, пусть при некотором
подборе {x(i,j)} работник i
1
назначен на место j
1
, а на место
j
2
подобран работник i
2
. для того чтобы у работника i и
работодателя j не было желания разрушить предложенный
подбор, должно соблюдаться правило
d(i
1
,j
1
) + e(i
2
,j
2
) ≥ a(i
1
,j
2
). (4)
поскольку неравенство (4) должно выполняться для всех
работников i и работодателей j, то из него следует, что
n m n m
∑ ∑ (d(i,j) – e(i,j)) * x(i,j) ≥ ∑ ∑ a(i,j) * x
1
(i,j),
i = 1 j = 1 i = 1 j = 1
каков бы ни был подбор x
1
(i,j). а это означает, что подбор
x(i,j) оптимален в смысле (3). Более того, можно доказать,
что для любого оптимального подбора существует разумное
распределение доходов.
рассмотримпростойпример,иллюстрирующийэтотфакт.
пусть матрица доходов имеет вид:
В этой матрице строки соответствуют работникам,
а столбцы – работодателям. Оптимальное назначение
подчеркнуто. Казалось бы, работнику под номером 2 и
работодателюподномером1выгоднонарушитьэторешение,
объединившись друг с другом, и получить совместный
доход 9. Но если в оптимальном решении доходы разделить
следующим образом: d(11) = 3, e(11) = 5, d(22) = 5, e(22) = 2,
то работнику под номером 2 и работодателю под номером 1
будет невыгодно нарушить это назначение, поскольку они не
смогут одновременно повысить свои доходы.
данные рассуждения вводят нас в область «теории игр».
описанный процесс подбора является одним из примеров
8
4
9
7

---

Page 11

59
Экономико-математические модели управления...
игры. решения, которые невыгодно нарушать никакой группе
участников игры, называются «устойчивыми». не всякая
игра имеет устойчивое решение. если устойчивое решение
существует,тоононевсегдаединственно.вследующихразделах
мы встретимся с различными ситуациями, возникающими в
играх взаимного подбора.
Профессиональный клиринг как игра взаимного подбора.
какправило,прирешениизадачипрофессиональногоклиринга
значения ожидаемых доходов a(i,j) не известны. вместо этого
для каждого участника процедуры подбора (работника и
работодателя) составляются 2 списка: список качеств («что
есть») и список притязаний («что нужно»). как и прежде,
структуруданнойзадачиможноотобразитьввидедвудольного
графа G(X,U), где X = X
1
∪ X
2
, причем вершины множества X
1
соответствуют работникам, а вершины множества X
2
– рабочим
местам. ребро (i,j)существуетвтомитольковтомслучае,когда
качества рабочего места jсоответствуют претензиям работника
i и, наоборот, качества работника i соответствуют претензиям
работодателя, предлагающего рабочее место j.
в матричной постановке по-прежнему графу G(X,U)
соответствует матрица в=b(i,j), причем b(i,j)=0,есливграфе
G(X,U) существует ребро (i,j), и b(i,j) = 1 в противном случае.
любое паросочетание в графе G(X,U) (множество допустимых
нулей в матрице в) соответствует допустимому подбору
работников на рабочие места. максимальное паросочетание
(множество допустимых нулей) соответствует допустимому
подбору максимального числа работников на рабочие места.
решив задачу о максимальном допустимом назначении,
можно найти такой подбор. однако применение этого подхода
в реальных ситуациях сталкивается с двумя серьезными
трудностями. первая из нихсвязанастем, что обестороны(как
работник, так и работодатель) могут получать неоправданные
преимущества, повышая свои уровни притязаний.
например,изрисунка1видно,чтоработник2будетподобранна
рабочееместо1,дажееслидляэтогоместаболеепредпочтителен
работник 1. причиной здесь мог оказаться высокий уровень
притязанийработника2,из-закоторогодляэтогоработникане
нашлосьдругихподходящихмест.аналогичнаяситуацияимеет
место в отношении рабочего места 2 и работника 3. Здесь уже

---

Page 12

60
А. В. Шпиленко
рабо­тодатель,­располагающий­местом­2,­добивается­нужного­
ему­подбора­путем­повышения­уровня­притязаний.­Вторая­
трудность­автоматизированного­клиринга­состоит­в­жесткой­
фиксации­предлагаемых­решений.­Дело­в­том,­что­человек­
не­склонен­дове­рять­и­подчиняться­компьютеризированному­
решению­своих­проблем.­Так,­в­примере,­изображенном­
на­рисунке­1,­работник­1­может­напрямую­договориться­с­
работодателем­1­(если­они­предпочитают­друг­друга­иным­
вариантам)­и­аналогично­работник­3­может­договориться­с­
работодателем­3.
­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­Х
1
­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­Х
2
Рис. 1.
В результате автоматизированное решение будет
разрушено. Еще более наглядно этот эффект иллюстрируется
на примере брачного подбора. Если вершины множества
X
1
соответствуют юношам, а вершины множества X
2
–
девушкам, то никакая клиринговая служба не объединит
пары согласно «оптимальному» решению, если, например, юно­
ша 1 и девушка 1 предпочитают друг друга тем партнерам,
которых им предлагает служба. Таким образом, мы снова
приходим к понятию устойчивости, но на этот раз основанием
для решения может служить лишь информация о взаимных
предпочтенияхучастниковпроцедуры.Сформулируемпонятие
устойчивости в данном случае.
Неустойчивымназываетсятакоеназначениеработников
на рабочие места, при котором существует двое работников
а и b, назначенных, соответственно, на места А и В, причем
b предпочитает А по отношению к В и А предпочитает
работника b по отношению к работнику а (см. рис. 2).
1
1
3
3
2
2

---

Page 13

61
Экономико-математические модели управления...
Х
1
Х
2
Рис. 2.
Неустойчивое назначение
Назначение,предпочтительноедляработника
b и рабочего места A
Назначение, не являющееся неустойчивым, называется
устойчивым. Рассмотрим два примера. Пусть имеется 3
работника а, b, с и 3 рабочих места А, В, С. Их взаимные ранжи-
рования отображены в таблице:
А В С
Числа до запятых обозначают ранжирование рабочих мест
работниками, числа после запятых – ранжирование работников
работодателями. В этом примере существуют 6 назначений,
из которых 3 являются устойчивыми. Первое – каждый
работник получает место по своему выбору. Второе – каждый
работодатель получает работника по своему выбору. Третье
– все получают свой второй выбор. Остальные 3 назначения
неустойчивы. В следующем примере 4 работника претендуют
на4рабочихместа,иихвзаимныеранжированияотображены
в таблице:
Здесь имеется единственное устойчивое назначение (оно
выделеновтаблице).Заметим,чтониодинучастникподбора
не получает своего первого выбора. Но если бы кто-либо
1,3
2,2
3,1
3,1
1,3
2,2
2,2
3,1
1,3
1,3 2,3 3,2 4,3
1,4 1,4 3,3 2,2
2,2 1,4 3,4 4,1
4,1 2,2 3,1 1,4
A
a
b
B

---

Page 14

62
А. В. Шпиленко
попытался улучшить свое положение, ему бы это не удалось,
поскольку он не сможет найти партнера, которому тоже
выгодно с ним объединиться.
пустьвобщемслучае,какивпредыдущихпримерах,каждый
участник процедуры выражает свои предпочтения путем упоря-
дочения альтернатив. тогда имеет место следующая теорема.
Теорема 4.1. устойчивое назначение всегда существует
(теорема Гейла и Шепли).
Доказательствопроведемконструктивно.сначалаопишем
процедуру, а затем докажем, что она всегда строит устойчивое
назначение. на первом этапе каждый работник обращается
к первому работодателю согласно своему ранжированию.
каждый работодатель, получивший более одной заявки,
отвергает все, кроме лучшей, согласно своему ранжированию.
на втором этапе каждый отвергнутый работник обращается
ко второму работодателю согласно своему ранжированию.
каждый работодатель, на место которого вновь поступили
заявки, выбирает лучшую (для себя) из вновь полученных и
уже имеющейся заявки (если таковая у него есть). остальные
заявки отвергаются. после не более чем n
2
– 2n + 2 этапов
каждое рабочее место будет заполнено (поскольку каждый
работник не делает более одной попытки занять одно и то же
место). в этот момент процедура завершается.
докажем, что полученное назначение устойчиво. действи-
тельно, пусть работник x не назначен на место y, но он
предпочитаетеготомуместу,накотороеназначенврезультате
процедуры. Это значит, что по ходу процедуры он пытался
занять место yи был затем отвергнут. Значит, на место yсейчас
назначен более предпочтительный работник, чем x. таким
образом, неустойчивости нет.
условие равенства количества работников и рабочих мест
несущественно. если n < m, то процедура завершается, когда
каждый работник либо получит место, либо получит отказ от
всех мест. несущественным является также требование о том,
чтобывранжированиекаждогоработникавходиливсеместаи
наоборот. если какое-либо место не подходит для работника,
он может быть не включен в соответствующее ранжирование.
вэтомслучаепроцедуразавершается,когдакаждыйработник
либо получит место, либо получит отказ от всех мест, которые

---

Page 15

63
Экономико-математические модели управления...
присутствуют в его ранжировании. процедура, очевидно,
обобщается на случай, когда некоторые работодатели имеют в
своем распоряжении несколько мест.
В качестве иллюстрации процедуры подбора рассмотрим ги­
потетическуюситуацию.Вподбореучаствуюттриработника:
Андреев, Борисов и Володин, и три фирмы­работодателя: А (2
вакансии), Б и В. Ранжирование, представленное фирмами и
работниками, таково:
ранжирование фирм
ранжирование работников
Фирма а
1. володин
андреев
1. Фирма Б
(2 места)
2. Борисов
2. Фирма а
3. андреев
Борисов
1. Фирма а
Фирма Б
1. Борисов
2. Фирма Б
(1 место)
2. володин
3. Фирма в
3. андреев
володин
1. Фирма Б
Фирма в
1. Борисов
2. Фирма а
(1 место)
Процессобработкиранжированияидетследующимобразом.
Сначала предлагаются места в фирме Aдвум наиболее предпоч­
тительным для нее работникам, Володину и Борисову.
Поскольку Борисов поставил фирму A на первое место, этот
подбор фиксируется. Володин поставил фирму A на второе
место, поэтому этот подбор определяется как условный.
Далее предлагается место в фирме Б Борисову, но, поскольку
Борисов уже подобран для фирмы А, это предложение фирмы
Б отвергается от имени Борисова. Затем предлагается
место в фирме Б второму по предпочтительности для
этой фирмы кандидату Володину. Поскольку Володин
предпочитает это предложение месту в фирме A, его ус­
ловный подбор в фирму A аннулируется и он подбирается для
фирмы Б. Затем предлагается место в фирме В Борисову,
но, поскольку Борисов уже подобран для фирмы А, это
предложение от фирмы В отвергается. Фирма B не указала
других кандидатов, поэтому ее место остается при подборе
незаполненным. Фирма A имеет еще одно незанятое место,
которое предлагается следующему кандидату из списка
фирмыА,Андрееву.Посколькуэтоединственноепредложение,

---

Page 16

64
А. В. Шпиленко
полученное Андреевым, он подбирается для фирмы A. Теперь
подбор завершен, поскольку в каждой фирме либо заняты все
места, либо же она сделала предложения всем желательным
работникам. Заметим, что в процессе подбора никакая
альтернатива не была пропущена. Володин удерживал место,
поставленноеимвторымномеромвранжировании,дотехпор,
пока не получил предложение и не был подобран на наиболее
предпочтительное для себя место. Только после этого был
введен в дело Андреев. Выбор любого работника или фирмы не
может быть внесен в окончательный подбор до тех пор, пока
не сделаны все потенциально возможные предложения и не
произведены соответствующие акты принятия или отказа
от предложении. Поэтому работники и фирмы не могут
попастьвневыгодноеположениеиз­затого,чтоонипоставят
напервыеместавсвоихспискахнаиболеепредпочтительные
фирмы и наиболее предпочтительных работников, даже если
вероятность принятия соответствующего предложения
очень невелика. Также ни один клиент не может обеспечить
себе односторонних преимуществ за счет повышения уровня
притязаний. Это видно на примере фирмы B, которая не
получилаработникаиз­затого,чтоневключилавсвойсписок
альтернативных кандидатур. Все клиенты должны быть
заранее предупреждены о возможности подобной ситуации.
какбыловидноизпервогопримераданногораздела,может
существовать несколько устойчивых назначений для данной
системы ранжирования. какое из устойчивых назначений
является более предпочтительным? ответ на этот вопрос
зависит от того, чьи интересы мы защищаем – работников или
работодателей.можнодоказать,чтоназначение,вычисляемое
предложенным алгоритмом, является оптимальным с точки
зрения работников в том смысле, что каждый работник в
результате будет устроен не хуже, чем при любом другом
устойчивом назначении. чтобы построить оптимальное
назначение с точки зрения работодателей, надо взаимно
заменить в тексте процедуры «работники» и «рабочие места».
изложенная процедура профессионального подбора широко
используется на практике.
Модель организации горизонтальной карьерой. современные
методыуправленияперсоналом предполагают активноеисполь-

---

Page 17

65
Экономико-математические модели управления...
зование горизонтальных перемещений работников в рамках
одной фирмы. такие перемещения, являющиеся обычным
инструментом управления на большинстве японских и на
многихамериканскихфирмах,позволяютповыситьмотивацию
и социальную защищенность работников и быстро реагировать
на изменения рыночной ситуации. Задача управления этим
процессом состоит в выборе такого взаимного перемещения
работников одного административного уровня, чтобы все
места оставались занятыми, работники перемещались только
на подходящие для них места и интересы работников были
учтены. структура этой задачи аналогична структуре задачи
одностороннего клиринга (например, квартирного) и может
быть представлена в виде ориентированного графа. вершины
орграфасоответствуютдолжностям,занимаемымработниками,
подлежащими перемещению (рис. 3).
реброизоднойвершинывдругуюсуществуеттогдаитолько
тогда, когда возможно перемещение работника с должности,
соответствующей первой вершине, на должность, соответ-
ствующуювторойвершине.петлявнекоторойвершинеозначает,
чтосоответствующийработникможетоставатьсянасвоемместе.
допустимому перемещению соответствует такое множество
ребер, при котором в каждую вершину входит ровно одно ребро
и из каждой вершины выходит ровно одно ребро. очевидно,
такое множество ребер образует множество непересекающихся
циклов, покрывающих вершины орграфа.
Например, в графе на рисунке 3 имеются 4 допустимых
перемещения:{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5)}(тождественное),
{(1,1), (2,2), (3,3), (4,5), (5,4)}, {(1,2), (2,3), (3,1), (4,4),
(5,5)} и {(1,2), (2,3), (3,1), (4,5), (5,4)}. Построим матрицу
смежности B орграфа задачи, в которой каждой вершине i
соответствует строка i и столбец j, а элемент b(i,j) = 0,
если существует ребро из вершины i в вершину j и b(i,j) = 1 в
противном случае.

---

Page 18

66
А. В. Шпиленко
Рис. 3.
Допустим теперь, что каждая вершина имеет петлю,
тогда по крайней мере одно допустимое перемещение
(тождественное) обязательно существует. Какое из
допустимых перемещений целесообразно выбрать? Здесь
опять можно воспользоваться понятием устойчивости.
Предположим, мы выяснили предпочтения работников в
виде ранжирования предлагаемых рабочих мест (включая
нынешнее рабочее место для каждого работника). Нам
хотелось бы переместить работников таким образом, чтобы
не существовало ни одной группы работников (в частности,
состоящей из одного работника), которая могла бы разрушить
предложенное перемещение путем взаимной договоренности.
Такое желание могло бы возникнуть, если бы у этой группы
нашлось взаимное перемещение, при котором ни один ее член
неухудшилбы своегоположенияпосравнениюс предложенным
перемещением,нохотьодинулучшилбы.Иначеговоря,приказо
перемещениинедолженпротиворечитьинтересамработников.
В частности, это условно означает, что ни один работник не
получает места, которое он сам оценил хуже, чем нынешнее
(иначе бы он простоне пожелал этоместо уступить). Группа
участников процесса подбора (рассматриваемого нами как
игра), которая может действовать сообща, носит в «теории
игр»названиекоалиции.Описанноенамиусловиеустойчивости
вполнеаналогичноусловиюустойчивости для взаимногоподбо­
1
3
5
2
4

---

Page 19

67
Экономико-математические модели управления...
ра,толькопривзаимномподборемырассматриваликоалиции
из двух участников.
докажем, что в описанной задаче устойчивое решение суще-
ствует и оно единственно. вначале опишем алгоритм, при по-
мощикоторогоданноерешениестроится.пустьN–множество
всехучастниковпроцедуры.выберемпроизвольногоучастника
i∈N. пусть i
1
наиболее предпочитаемое участником iместо. пе-
рейдем к участнику i
1
. пусть i
11
– наиболее предпочитаемое уча-
стником i
1
место. перейдем к участнику i
11
.продолжаяпроцесс
подобным образом, мы в конце концов вернемся к одному из
ранее просмотренных мест (участников). обозначим его i
1
. та-
ким образом, мы построим такой цикл S = {i
1
, i
2,…,
i
s
= 0}, при
котором каждый участник i
j
предпочитает в наибольшей степе-
ни место i
j+1
. Этот цикл S(в частности, содержащий одного уча-
стника) мы включаем в перемещение, а его членов исключаем
из дальнейшего рассмотрения. далее мы проделываем ту же
процедуру среди участников, входящих в множество N\S.Здесь
мы всякий раз выбираем место, наиболее предпочитаемое оче-
редным участником среди мест, входящих в множество N\S.
в результате мы построим цикл S
2
(N\S
1
). далее процедура
построения цикла повторяется на множестве (N\S
1
)\S
2
и т. д.
до исчерпания множества N.
мы докажем, что перемещение, содержащее циклы S
1
,S
2
,…,
S
k
, так что S
1
∪S
2
∪…∪S
k
=N, устойчиво и что это – единственное
устойчивое перемещение. предположим, что перемещение не
устойчиво.рассмотримминимальнуюкоалициюS,участники
котороймогут,действуясообща,разрушитьпостроенноенами
перемещение. очевидно, члены коалиции S могут это сделать,
образовав несколько циклических перестановок. но если
этих перестановок больше одной, то хотя бы одна из них тоже
будет образовывать «разрушающую» коалицию. а поскольку
коалиция S минимальна, то циклическая перестановка в
S должна быть одной. пусть q – минимальный номер, для
которого S ∩ S
1
≠ ∅. тогда S ∩ (S
1
∪ … ∪ S
q-1
) = ∅. поскольку S
≠ S
q
, то существует пара i
t
∈S, i
t+1
∈ S, причем i
t
∈S
q
, i
t+1
∈ (S
q
∪
S
q+1
∪ … ∪ S
k
), i
q+1
следует за i
t
в перестановке S и не следует за i
t
в перестановке S
q
. тогда по построению S
q
место, следующее за
i
t
в цикле S
q
, является более предпочтительным для участника
i
t
, чем место i
t+1
. Значит, коалиция S невыгодна участнику i
t
и
не может разрушить построенное нами перемещение.

---

Page 20

68
А. В. Шпиленко
единственность устойчивого перемещения докажем по ин-
дукции. во-первых, любое устойчивое перемещение должно
содержать цикл S
1
(иначекоалиция S
1
, обеспечивающая всем сво-
им участникам получение лучшего места, разрушила бы данное
перемещение). предположим далее, что устойчивое перемеще-
ние содержит циклы S
1
, S
2
,…, S
q
.докажем,чтоонообязательно
должно содержать цикл S
q+1
. если бы это было не так, то все уча-
стники, входящие в S
q+1
, получили бы при предлагаемом переме-
щении места не лучше, чем в цикле S
q+1
, а хотя бы одно – менее
предпочтительное (это следует из способа построения S
q+1
). по-
этому коалиция S
q+1
разрушилабыданноеперемещение.таким
образом, устойчивое перемещение должно содержать цикл S
q+1
.
итак, мы доказали, что любое устойчивое перемещение содер-
жит циклы S
1
, S
2
,…, S
q
, т. е. оно единственно.
содержательнаяинтерпретациядоказанногофактасостоитв
том, что при внимательном отношении к сотрудникам админи-
страцияможеторганизоватьихгоризонтальноеперемещение,
не нарушая интересов ни одного из них.
Модель распределения однородных работ.иногдаматрица
стоимостей имеет такой вид, что задача назначения решается
значительно проще, чем в общем случае. рассмотрим один
из таких специальных случаев. для простоты изложения
предположим, что количество работ совпадает с количеством
работников (n = m).
пусть распределяемые работы однотипны. работники
отличаются по своей квалификации, причем квалификация
каждого работника i оценивается вероятностью p
i
успешного
выполнения им произвольной работы. Заметим, что тогда ве-
роятность невыполнения им работы есть 1 – p
i
. для каждой из
работ известны вознаграждение за ее успешное выполнение c
j
и
штраф за невыполнение («срыв») работы s
j
. отметим, что сумма
(с
j
+ s
j
)можетслужитьмерой«ответственности»или«важности»
работы j. по-прежнему требуется так распределить работы меж-
ду исполнителями, чтобы выполнялись ограничения задачи
назначения, а общий ожидаемый доход был максимальным.
очевидно, доход, получаемый от каждой работы j, есть
случайная величина e
j
, которая может принимать два значения
с
j
и (-s
j
). общий доход e есть сумма доходов от каждой работы:

---

Page 21

69
Экономико-математические модели управления...
m
e = ∑ e
j
.
j = 1
ожидаемыйобщийдоходсогласносвойствуматематического
ожидания есть сумма ожидаемых доходов от каждой работы:
n n
Ee = E ( ∑ e
j
) = ∑ E(e
j
).
j = 1 j = 1
вслучае, если работа jбудет поручена работнику i,случайная
величина e
j
будет принимать значение с
j
с вероятностью p
i
, а
значение (-s
j
) с вероятностью (1 – p
j
).тогдаожидаемыйдоходот
данной работы будет равен Ee
j
= e
ij
= с
j
* p
j
– s
j
* (1 – p
j
) = -s
j
+ p
j
*
(с
j
+ s
j
). если составить матрицу || e
ij
||, то задача оптимального
распределения работ между работниками состоит в выборе
множества из элементов этой матрицы (по одному в каждой
строке и каждом столбце), сумма которых максимальна. т. е.
этозадачанамаксимумобоптимальномназначениисматрицей
|| e
ij
||. можно было бы решить ее стандартным способом. однако
в данном случае задача решается значительно проще.
докажем, что ожидаемый доход будет максимален, если бо-
лееответственныеработыпоручатьболееквалифицированным
работникам. действительно, допустим противное, например,
работникiболееквалифицирован,чем работникq,т. е.p
i
>p
j
,а
ему поручена работа k,котораяявляетсяменееответственной,
чем работа под номером j, порученная работнику q, т. е. (c
k
+ s
k
) < (c
j
+ s
j
). тогда ожидаемый доход от выполнения двух
работ k и j равен e
ik
+ e
qj
= -s
k
+ p
i
* (c
k
+ s
k
) - s
j
+ p
i
*(c
j
+ s
j
) –
(p
i
– p
q
) * [(c
j
+ s
j
)] – (c
k
+ s
k
) < e
ij
+ e
kq
. таким образом, если
поручить работнику iболее ответственную работу j,отдавменее
ответственную работу kменееквалифицированномуработнику
q, то ожидаемый доход от двух работ kиjувеличится.итак,мы
установили, что оптимальное назначение предполагает более
квалифицированномуработникупоручатьболееответственную
работу (факт, очевидный с точки зрения здравого смысла).
Хорошо понятно, что такое назначение можно построить,
предварительно упорядочив работников по их квалификации,
а работы – по их ответственности так, что p
1
≥ p
2
≥… ≥ p
n
, (c
1
+s
1
) ≥ (c
2
+ s
2
) ≥ … ≥ (c
n
+ s
n
). если далее построить матрицу ||e
ij
||,
то оптимальное назначение будет состоять из диагональных

---

Page 22

70
А. В. Шпиленко
элементов, а максимальный ожидаемый доход равен е
1,1
+ e
2,2
+ е
n,n
= [с
1
p
1
– s
1
(1 – p
1
)] + [c
2
p
2
– s
2
(1 – p
2
)] + … + [с
n
p
n
– s
n
(1 –
p
n
)]. вообще говоря, в некоторых случаях ожидаемый доход
может быть отрицательным. выполнение работы, ожидаемый
доход от которой отрицателен, представляется абсурдным
в большинстве реальных ситуаций. (правда, иногда все же
приходится выполнять подобные работы из соображений
рекламы, престижа, как «нагрузку» к другим работам и
т. п.) опишем модификацию алгоритма для ситуации, когда
разрешено отказываться от невыгодных работ.
какипрежде,упорядочимработниковпоихквалификации
p
1
> p
2
> … > p
n
, а работы – по ответственности (с
1
+ s
1
) > (с
2
+ s
2
) >
... > (с
n
+ s
n
). на шаге 1 производится попытка назначить ра-
ботника под номером 1 на работу под номером 1. если ожидае-
мый доход от этого е
1
,
1
> 0, то это назначение закрепляется.
иначеотработы1следуетотказаться(никакойдругойработник
не выполнит ее с положительным доходом). на произвольном
шаге j алгоритма пытаемся назначить наиболее квалифициро-
ванного из незанятых работников i на работу j(i<j). если е
1
,
1
>
0, то это назначение закрепляется, иначе от работы j следует
отказаться.
предлагаемый алгоритм легко обобщить на случай n ≠т.если
n > m, то вводим п–тфиктивных работ, для каждой из которых
с
j
=s
j
= 0. если n< m, то вводим т–пфиктивныхработников,для
каждого из которых р
i
= 0. решив задачу на полученной таким
образом квадратной матрице е
i
,
j
, мы должны затем учесть, что ра-
ботник, получивший фиктивнуюработу, на самом деле окажется
свободен, а работа, на которую назначен фиктивный работник,
останется невыполненной (от нее надо отказаться).
как уже отмечалось выше, результаты этого раздела не про-
тиворечат здравому смыслу, т. е. для получения большей прибы-
ли следует более ответственную работу поручать более квалифи-
цированномуработнику.еслираспределениеработпроисходит
в рамках одной фирмы, то оно осуществляется приказом
управляющего, который руководствуется вышеприведенным
принципом. примечательно, однако, то, что в условиях
свободного рынка труда мы также наблюдаем подобную
тенденцию. теперь мы можем объяснить и это, учитывая
результаты,приведенныевыше.действительно,присвободном

---

Page 23

71
Экономико-математические модели управления...
взаимном подборе работников и работодателей устойчивым
будет подбор с максимальным общим доходом. но мы только
чтоустановили,чтомаксимальныйобщий(ожидаемый)доход
будет получен, если более квалифицированные работники
выполняют более ответственную работу. таким образом,
должнонаблюдатьсятакоеперемещениерабочейсилы,которое
ведет к повышению более квалифицированных работников
до соответствующего уровня ответственности работы. Эти
соображенияпротиворечатизвестномуизфольклорапринципу
питера:«служебныйросткаждогоработникаостанавливается
на должности, превышающей уровень его компетентности».
Модели управления рабочим временем. при планировании
времени выполнения работ широко используются сетевые
методы.ихсутьсостоитвследующем.пустьтребуетсявыполнить
некоторыйкомплексвзаимосвязанныхработ.приэтомизвестно,
какие из работ нельзя выполнять до завершения некоторых
других. известны также оценки (детерминированные или
вероятностные) времени выполнения каждой из работ, а также
минимальных интервалов от окончания определенных работ
до начала зависимых работ. например, при строительстве дома
кладку стен нельзя начинать до закладки фундамента, снятие
опалубкинельзяпроизводитьдоокончаниябетонированияплюс
некоторое время на высыхание бетона. в то же время очевидно,
чтонекоторыеработымогутпроизводитьсяодновременно.такие
работы называются независимыми (например, циклевка полов
и клейка обоев). Задача управляющего состоит в том, чтобы
расставить персонал и раздать задания (с указанием сроков
выполнения)стем,чтобызазаданноевремя(илизакратчайшее
время) выполнить комплекс работ. для решения этой задачи
строитсямоделькомплексаработввидеориентированногографа
G = (V, E), каждая вершина которого соответствует некоторой
работе, а ребро (u, v) существует, если работу v нельзя начать,
не окончив работу u. ребру (u, v) приписывается вес c (u, v),
равный оценке времени, от начала работы u и до начала работы
v. вводятся также две особые вершины: s, соответствующая
началувсегокомплексаработ,иt,соответствующаяокончанию
комплекса.
На рисунке 4 изображен пример такого графа. Он соответ­
ствует комплексу из четырех работ, две из которых – u и v

---

Page 24

72
А. В. Шпиленко
– можно начинать сразу и независимо друг от друга, работа
w может быть начата лишь после выполнения работ u и v,
а работа х – после выполнения работы u. На ребрах указаны
соответствующие длительности в неделях.
Нетрудно понять, что длительность выполнения всего
комплекса работ не может быть меньше суммарного веса ребер
самого длинного пути из s в t (так называемого критического
пути). Все работы, вершины которых лежат на критическом
пути, называются критическими работами. Задержка
выполнениялюбойизэтихработприведеткзадержкевыполнения
всегокомплекса.Например,нарисунке4критическийпуть{s,u,
w, t}, работы u, v – критические. Время выполнения комплекса не
может быть меньше 6 недель. Если в распоряжении менеджера
имеется достаточно персонала для параллельного выполнения
работ, то можно добиться того, что проект будет выполнен
за 6 недель. При этом работы x и v, не являясь критическими,
имеют «запас» по две недели. Т. е. если выполнение каждой из
этих работ будет задержано в пределах двух недель, то срок
выполнения комплекса работ не изменится.
3
0 3
1 1 3
0
Рис. 4.
Подсчитав сроки начала и запасы времени для всех работ,
можно составить расписание, или сетевой график. Для
комплексаработизнашегопримерасетевойграфиквыглядит
следующим образом:
Несмотря на кажущуюся законченность описанной
методики, при ее практическом применении возникли
трудности,впарадоксальнойформеобобщенныеС.Паркинсоном.
работа
u
v
x
w
начало
0
0
2
3
окончание
(крайний срок)
3
3
6
6
S
U
W
T
V
X

---

Page 25

73
Экономико-математические модели управления...
Одинизегозаконовгласит:работа,какправило,невыполняется
за отведенное для нее время, независимо от того, какова
трудоемкость работы и каково это время. Это означает, что,
оценив трудоемкость работ, составив сетевой график и раздав
задания с указанием сроков исполнения, менеджер не может
рассчитывать на то, что указанные сроки будут выдержаны.
рассмотрим упрощенный вариант математической модели,
позволяющий раскрыть причину этого эффекта и указать
пути его преодоления. пусть время выполнения некоторой
работы а – случайная величина. и пусть работа а может быть
разбита (хотя бы мысленно) на 2 подзадания а
1
и а
2
. пусть
т
1
и т
2
– случайные длительности работ а
1
и а
2
. в сетевом
планировании исходят из того, что время т выполнения
работы а не зависит от заданного срока выполнения и есть т =
т
1
+ т
2
. но закон паркинсона указывает, что это не так. если
на выполнение работы а отведено время d, то т = т(d). для
формулировки модели введем слагаемое w – «растягивание»
времениработы,вводимоеработникомвзависимостиотоценки
своих возможностей уложиться в заданный срок. тогда т(d) =
т
1
+ т
2
+ w(d). если первое задание выполнено за время т
1
, то
запас времени оценивается работником как d – т
1
– ет
2
, где ет
2
– математическое ожидание(среднее значение) длительности т
2
.
основная гипотеза состоит в том, что если оценка запаса времени
положительна, то работа растягивается ровно на это время, иначе
растягивания не происходит: w(d) = (d – T
1
– ET
2
)
+
. подставив
это выражение в формулу для времени выполнения работы а,
получим т(d) = т
1
+т
2
+ (d – T
1
–ET
2
)
+
. из элементарных свойств
математического ожидания вытекает, что е(d – T
1
– ET
2
)
+
≥ 1 –
ET
1
– ET
2
. но отсюда следует, что ет(d) ≥ET
1
+ ET
2
+ d – ET
1
– ET
2
= d. последний факт: ет(d) ≥ d есть математическое выражение
сформулированного выше эмпирического закона паркинсона.
дадим две более точные его формулировки: ожидаемое время
выполнения работ больше, чем время, отведенное на эту работу
менеджером, независимо от того, какое именно время реально
требуется для ее выполнения. иными словами, работник будет
в среднем выполнять работу дольше, чем запланировано, даже
если план не напряженный.
поскольку очевидно, что w(d) – неубывающая величина, то
менеджеру, естественно, надо стремиться задать срок выпол-

---

Page 26

74
А. В. Шпиленко
ненияработыdкакможноменьшим(болеенапряженным).но
также ясно, что необоснованно маленькие значения d, т. е. d < ET
1
+ ET
2
, нежелательны, поскольку это нечестно по отношению к
работникам. подобная практика рано или поздно будет распознана
исполнителями, и это будет иметь вредные последствия.
в идеале, если менеджер может точно оценить ET
1
+ ET
2
,
он должен отвести на работу ровно столько времени, сколько
требуется: d = ET
1
+ ET
2
, а не столько, сколько указано в
сетевом графике. подобная идеальная ситуация, однако,
труднореализуема, поскольку кроме формальных заданий от
менеджера работники путем неформальных коммуникаций
получают информацию о заданиях и сроках их выполнения у
смежников и о реальном состоянии дел на смежных участках
работы.
похожимобразомвыводитсяещеоднаважнаяформулировка
закона паркинсона: если d
1
> d
2
, то ET(d
1
) > ET(d
2
). или в
словесной форме: чем большее время отведено на работу, тем
в среднем дольше она будет выполняться.
до сих пор речь шла об одном типе работника (см. основную
гипотезу) – о так называемом растягивающем работу. его
поведение характеризуется тем, что он начинает работу
немедленно после получения задания. возможен работник с
другим типом поведения, его можно назвать «загруженным
работником». он откладывает начало работы а до тех пор,
пока времени не останется «в обрез». тогда у него не будет
причин растягивать работу. для такого работника ожидаемое
время завершения работы задается формулой ET’(d) = ET
1
+
ET
2
+ (d – ET
1
– ET
2
)
+
= max{d, ET
1
+ ET
2
}. нетрудно видеть, что
ET(d) > ET’(d) > d. иными словами, «загруженный работник»,
который первоначально откладывает работу, в среднем
оканчивает работу раньше, чем «растягивающий работник».
Этоещеодинвариантзаконапаркинсона.очевидноеследствие
из этого закона для менеджмента состоит в том, что, держа
работниковпостояннов«загруженном»состоянии(например,
давая дополнительные задания), можно повысить их среднюю
производительность без ущерба для основного проекта.