Элементы теории игр в задачах моделирования экономических процессов

Элементы теории игр в задачах моделирования  экономических процессов

Применение теории игр при решении экономических  задач

При решении экономических  задач часто приходится анализировать  ситуации, в которых сталкиваются интересы двух или более конкурирующих  сторон, преследующих различные цели; это особенно характерно в условиях рыночной экономики. Такого рода ситуации называются конфликтными. Математической теорией конфликтных ситуаций является теория игр. В игре могут сталкиваться интересы двух (игра парная) или нескольких (игра множественная) противников; существуют игры с бесконечным множеством игроков. Если во множественной игре игроки образуют коалиции, то игра называется коалиционной, если таких коалиций две, то игра сводится к парной.

На промышленных предприятиях теория игр может применяться  для выбора оптимальных решений, например, при создании рациональных запасов сырья, материалов, полуфабрикатов, когда противоборствуют две тенденции: увеличения запасов, гарантирующих  бесперебойную работу производства, и сокращения запасов в целях  минимизации затрат на их хранение. В сельском хозяйстве теория игр  может применяться при решении  таких экономических задач, как  выбор для посева одной из возможных  культур, урожай которых зависит  от погоды, если известны цена единицы  той или иной культуры и средняя  урожайность каждой культуры в зависимости  от погоды (например, будет ли лето засушливым, нормальным или дождливым); в этом случае одним из игроков выступает  сельскохозяйственное предприятие, стремящееся  обеспечить наибольший доход, а другим — природа.

Решение подобных задач требует  полной определенности в формулировании их условий (правил игры); установления количества игроков, выявления возможных стратегий игроков, возможных выигрышей (проигрыш понимается как отрицательный выигрыш). Важным элементом в условии игровых задач является стратегия, т.е. совокупность правил, которые в зависимости от ситуации в игре определяют однозначный выбор действий данного игрока. Если в процессе игры игрок применяет попеременно несколько стратегий, то такая стратегия называется смешанной, а ее элементы — чистыми стратегиями. Количество стратегий у каждого игрока может быть конечным и бесконечным, в зависимости от этого игры подразделяются на конечные и бесконечные.

 

 

Основные понятия  игровых моделей.

 

Важными являются понятия  оптимальной стратегии, цены игры, среднего выигрыша. Эти понятия находят  отражение в определении решения  игры: стратегии Р* и Q* первого и  второго игрока соответственно называются их оптимальными стратегиями, а число V — ценой игры, если для любых  стратегий Р первого игрока и  любых стратегий Q второго игрока выполняются неравенства

M(P,Q*) <V< M(P*,Q),

где M(P,Q) означает математическое ожидание выигрыша (средней выигрыш) первого игрока, если первым и вторым игроками избраны соответственно стратегии Р и Q.Из неравенств следует, в частности, что V = M(P*,Q*), т.е. цена игры равна математическому ожиданию выигрыша первого игрока, если оба игрока изберут оптимальные для себя стратегии

Одним из основных видов  игр являются матричные игры, которыми называются парные игры с нулевой  суммой (один игрок выигрывает столько, сколько проигрывает другой) при  условии, что каждый игрок имеет  конечное число стратегий. В этом случае парная игра формально задается матрицей А = (a_ij), элементы которой а_ij определяют выигрыш первого игрока (и соответственно проигрыш второго), если первый игрок выберет i-ю стратегию (i = 1,m), а второй —j-ю стратегию j = (1, n). Матрица А называется матрицей игры, или платежной матрицей.

Рассмотрим построение платежной  матрицы на примере.

 Пример 1. На базе торговой фирмы имеется n типов товара ассортиментного минимума. В магазин фирмы должен быть завезен только один из этих типов товара. Если товар типа j (j = 1 ,n) будет пользоваться спросом, то магазин от его реализации получит прибыль Pj. Если же этот товар не будет пользоваться спросом, то издержки на его хранение принесут магазину убыток q_j. Требуется выбрать тип товара, который целесообразно завезти в магазин. В условиях неопределенного покупательского спроса конфликтная ситуация товароснабжения формализуется матричной игрой. Пусть первый игрок — магазин, второй игрок — покупательский спрос. Каждый из игроков имеет по n стратегий. Завоз i-ro товара — i-я стратегия первого игрока, спрос на й товар — j-я стратегия второго игрока. Тогда матрица выигрышей первого игрока имеет вид квадратной матрицы n-го порядка

 

Выбирая стратегию , игрок А должен рассчитывать, что игрок В ответит на неё той стратегией , при которой выигрыш игрока А будет наименьшим.

Пусть − наименьший выигрыш игрока А при выборе им стратегии для всех возможных стратегий игрока В, тогда

     (3.1)

то есть наименьшее число в i-ой строке платёжной матрицы.

Среди всех чисел , выберем наибольшее:

      (3.2)

Следовательно,

     (3.3)

Число называется нижней ценой игры, или максиминным выигрышем (максимином). Это гарантированный выигрыш игрока А при любой стратегии игрока В. Стратегия, соответствующая максимину, называется максиминной стратегией.

Игрок В заинтересован в том, чтобы уменьшить выигрыш игрока А, поэтому он выбирает стратегию , учитывая при этом максимально возможный выигрыш для А. Пусть − наибольший выигрыш игрока А при выборе им всех возможных стратегий, когда игрок В выбирает стратегию , тогда

     (3.4)

Одновременно  является наибольшим проигрышем игрока В при выборе им стратегии , поэтому среди всех чисел выбираем наименьшее, чтобы найти ту стратегию игрока В, при которой его проигрыш будет наименьшим. Это число обозначим , и оно равно

   (3.5)

Число называется верхней ценой игры, или минимаксным выигрышем (минимаксом). Это гарантированный проигрыш игрока В. Гарантированный в том смысле, что средний проигрыш игрока В при многократном повторении игры он не будет больше этого значения. Так же и выигрыш игрока А не превысит верхней цены игры. Стратегия, соответствующая минимаксу, называется минимаксной стратегией.

Принцип, диктующий игрокам  выбор наиболее "осторожных" минимаксной  и максиминной стратегий, называется принципом минимакса.

Этот принцип следует  из того, что в антагонистической  игре каждый игрок стремится достичь  цели, противоположной цели его противника.

 

Существует ряд методов  решения Матричных игр. Если матрица  игры имеет одну из размерностей, равную двум (у одного из игроков имеется  только две стратегии), то решение  игры может быть получено графически. Известно несколько методов приближенного  решения матричной игры, например, метод Брауна.

В качестве примера рассмотрим решение игры, когда матрица игры имеет так называемую седловую точку(Игра, для которой , называется игрой с седловой точкой)

Пример 2 Матрица игры имеет вид

 

Минимальный элемент первой строки (первой стратегии первого  игрока) равен 2, второй — 5, третьей  — 4; максимальное значение из этих величин  равно 5. Максимальный элемент первого  столбца (первой стратегии второго  игрока) равен 10, второго — 10; третьего — 5, четвертого — 14, пятого — 12; минимальное  значение из них равно 5. Следовательно, данная игра имеет седловую точку (2, 3) и задача разрешима в чистых стратегиях. Придерживаясь чисто второй стратегии, первый игрок обеспечивает себе выигрыш, не меньший 5; второй игрок, применяя чистую третью стратегию, проигрывает не более 5. Обе стратегии i = 2 и j =3 являются оптимальными для первого и второго игроков, при этом цена игры V = 5. 

 

 

 

Игровые модели в условиях полной коммерческой неопределенности

В условиях отсутствия достаточно полной информации о действиях противоположной  стороны возникает неопределённость в принятии решения. Так, в задачах, приводящих к игровым, эта неопределённость может быть вызвана разными причинами: отсутствием информации об условиях, в которых происходит действие; неоднозначным  характером развития событий в будущем; невозможностью получения полной информации о рассматриваемых процессах.

Условия, в которых может  происходить действие игры, зависят  не от сознательных действий другого  игрока, а от объективных факторов, которые принято называть "природой". Такие игры называются играми с природой.

С целью уменьшения неблагоприятных  последствий при принятии решения  следует учитывать степень риска  и имеющуюся информацию. Таким  образом, лицо, принимающее решение (статистик), вступает в игровые отношения  с природой. Любую хозяйственную  деятельность человека можно рассматривать  как игру с природой. В широком  смысле под "природой" будем понимать совокупность неопределённых факторов, влияющих на эффективность принимаемых  решений.

Задачей экономиста или статистика является принятие наилучшего управленческого  решения в каждой конкретной ситуации. Качество принимаемого решения зависит  от информированности лица, принимающего решение (ЛПР), о ситуации, в которой  принимается решение. В случае неопределённости ошибки в принятии решения наиболее вероятны. Умение использовать даже неполную информацию для обоснования принимаемых  решений − это задача экономиста, а в решении её помогает математическая теория игры с природой.

От обычной матричной  игры игру с природой отличает безразличие  природы к результату игры и возможность  получения статистиком дополнительной информации о состоянии природы.

Игры с природой дают математическую модель теории принятия решений в  условиях частичной неопределённости. Для её описания используем обозначения  матричных игр. Множество стратегий (со-стояний) природы обозначим В, отдельное состояние её − B_j , j=1,n . Множество стратегий (решений) статистика обозначим А, а его от-дельную стратегию в игре с природой – A_i, i=1,m  .

Человек в играх с природой старается действовать осмотрительно, используя, например, минимаксную стратегию, позволяющую получить наименьший проигрыш.

Природа действует совершенно случайно, возможные стратегии определяются как её состояния; например, условия  погоды в данном районе, спрос на определённую продукцию, объём перевозок, сочетание производственных факторов и т. д. В некоторых задачах  для состояний природы может  быть задано распределение вероятностей, в других − оно неизвестно.

Условия игры с природой задаются платёжной матрицей

 

Элемент a_ij  называется выигрышем статистика А, если он использует стратегию Ai  , когда природа находится в состоянии Bj  . Фактически это может быть значение некоторой функции, характеризующей эффективность принятого статистиком решения.

При решении игры с природой допускается исключение доминируемых стратегий только для стратегий статистика. Стратегии природы исключать нельзя, поскольку она может реализовать состояния, заведомо невыгодные для неё.

Наиболее простой является ситуация, когда известна вероятность  pj каждого состояния природы Bj . При этом, если учтены все возможные состояния, то р1 + р2 + ... + pj + ... +рn = 1 .

При решении игр с природой используется также ряд критериев: критерий Сэвиджа, критерий Вальда, критерий Гурвица и др.

При максиминном критерии Вальда оптимальной считается та стратегия лица, принимающего решение (ЛПР), которая обеспечивает максимум минимального выигрыша; применяя этот критерий, ЛПР в большей степени ориентируется на наихудшие условия (этот критерий иногда называют критерием «крайнего пессимизма»). Максиминный критерий выбирается из условия:                            

 и совпадает с нижней ценой игры. Критерий является пессимистическим, считается, что природа будет действовать наихудшим для человека способом.

Критерий минимаксного риска Сэвиджа предполагает, что оптимальной является та стратегия, при которой величина риска в наихудшем случае минимальна. Суть критерия состоит в выборе такой стратегии, чтобы не допустить чрезмерно высоких потерь, к которым она может привести. Находится матрица рисков, элементы которой показывают, какой убыток понесет человек (фирма), если для каждого состояния природы он не выберет наилучшей стратегии.

Элементы матрицы рисков находятся по формуле

где - максимальный элемент в столбце исходной матрицы. Оптимальная стратегия определяется выражением

Критерий Гурвица. Критерий рекомендует стратегию, определяемую по формуле

,

где - степень оптимизма и изменяется в диапазоне [0, 1].

Критерий придерживается некоторой промежуточной позиции, учитывающей возможность как  наихудшего, так и наилучшего поведения  природы. При = 1 критерий превращается в критерий Вальда, при = 0 - в критерий максимума. На оказывает влияние степень ответственности лица, принимающего решение по выбору стратегии. Чем больше последствия ошибочных решений, больше желания застраховаться, тем ближе к единице.

При принятии решений в  условиях неопределенности следует  оценивать различные варианты с  точки зрения нескольких критериев. Если рекомендации совпадают, можно  с большей уверенностью выбрать  наилучшее решение; если рекомендации противоречат друг другу, окончательное  решение надо принимать с учетом его сильных и слабых сторон.

 

Пример 3. Возможно строительство четырех типов электростанций: А₁ (тепловых), А₂ (приплотинных), А₃ (бесшлюзовых), А₄ (шлюзовых). Состояния природы обозначим через Экономическая эффективность строительства отдельных типов электростанций изменяется в зависимости от состояния природы и задана матрицей