Контрольная работа по дисциплине "Экономико-математические методы и модели в экономике"

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

ГОУ ВПО

Новосибирский государственный технический университет

 

 

 

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО ДИСЦИПЛИНЕ

ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИ В ЭКОНОМИКЕ

 

ВАРИАНТ №3

 

 

 

 

 

 

Факультет: ЭиУПР 

Группа: ОТЗ- 867

Студент: С. В. Угачев.

Дата: 29.09.12.

 

Отметка о защите работы:

Преподаватель:

 

 

Содержание:

 

 

 

 

 

 

Задача № 1

 

Нефтеперерабатывающий завод получает за плановый период четыре полуфабриката – 600 тыс.л.алкилата, 316 тыс.л.крекинг-бензина, 460 тыс.л.бензина прямой перегонки, 200 тыс.л.изопентана. В результате смешивания этих ингредиентов в пропорциях 2:3:1:5, 2:4:3:4, 5:1:6:2, 7:1:3:2 получают бензин четырех сортов Б-1, Б-2, Б-3 и Б-4. Цена его реализации соответственно 135, 140, 160 и 125 руб. за тысячу литров. Завод выпускает четыре сорта бензина в ассортименте, заданном отношением 2:3:1:4. Построить модель, на основе которой можно сформулировать задачу, анализ которой позволит обосновать напряженность плана реализации готовой продукции.

Решение:

Запишем исходные данные в табличном виде:

Полуфабрикаты \бензин	Б-1	Б-2	Б-3	Б-4	Запасы
Алкилат	2/11	2/13	5/14	7/13	600
Крекинг-бензин	3/11	4/13	1/14	1/13	316
Бензин прямой перегонки	1/11	3/13	6/14	3/13	460
Изопентан	5/11	4/13	2/14	2/13	200
Цена	135	140	160	125	-

Внутри таблицы указаны доли затрачиваемых полуфабрикатов на единицу выпуска бензина.

Например, для бензина Б-1 задана пропорция 2:3:1:5,

Значит, доли полуфабрикатов будут следующими:

Алкилат: ;

Крекинг-бензин:  ;

Бензин прямой перегонки:  ;

Изопентан: .

Для других сортов бензина – аналогично.

Пусть x (тыс. л.) – выпуск бензина Б-3.

Тогда из соотношения сортов бензина 2:3:1:4 получим:

          2x (тыс. л.) – выпуск бензина Б-1.

          3x (тыс. л.) – выпуск бензина Б-2.

          4x (тыс. л.) – выпуск бензина Б-4.

Прибыль от реализации:

(руб.)

Затраты полуфабрикатов и ограничения по запасам:

Алкилат:   ;

Крекинг-бензин:  ;

Бензин прямой перегонки:  ;

Изопентан: .

Приводя дроби в неравенствах к общему знаменателю, получим:

             ó      ó 

Как видим из неравенств, дефицитным полуфабрикатом является изопентан.

Максимальное количество выпускаемого бензина Б-3 равно 89,816 тыс. л. Тогда план выпуска остальных сортов бензина будет следующим:

Б-1	Б-2	Б-3	Б-4
179,632	269,448	89,816	359,264

При этом будет израсходован весь изопентан, а другие полуфабрикаты будут использованы не полностью.

Прибыль от реализации составит:

(руб.) 

 

 

Задача № 2

 

Два преступника могут быть задержаны на одном из трех КПП. Каждый из них одерживает победу в борьбе с одним милиционером. Для их задержания выделено 6 милиционеров. Сформулировать задачу как задачу теории игр. Найдите решение или  укажите алгоритм нахождения решения.

Решение

		Преступники
		В1	В2	В3	В4	В5	В6
	Милиц	1-1	1-2	1-3	2-2	3-3	2-3
А1	11-22-33	0	2	2	0	0	2
А2	111-222	2	2	1	2	0	1
А3	111-333	2	1	2	0	2	1
А4	222-333	0	1	1	2	2	2
А5	111-22-3	2	2	1	0	0	1
А6	111-2-33	2	1	2	0	0	1
А7	222-1-33	0	1	1	2	0	2
А8	222-11-3	0	2	1	2	0	1
А9	333-11-2	0	1	2	0	2	1
А10	333-1-22	0	1	1	0	2	2

 

Обозначим КПП номерами 1, 2, 3.

В столбце «Милиц» показано распределение милиционеров по КПП.

Для задержания преступников на одном КПП достаточно трех милиционеров, чтобы одержать над ними победу.

Например,  обозначение «11-22-33» означает, что на каждый КПП поставлено по 2 милиционера; «111-333» - 3 милиционера поставлены на КПП-1 и 3 милиционера – на КПП-3, и т. д.  А1, А2,…,А10 – стратегии милиционеров.

В строке «Преступники» указаны действия преступников, т.е. номера КПП, через которые они собираются проходить (будем считать, что преступники обязательно должны пройти через какой-либо КПП).  В1, В2,…,В6 – стратегии преступников.

В таблице указано число пойманных преступников (матрица А).

Будем считать, что преступник задержан на КПП, если количество милиционеров на этом КПП больше числа преступников, проходящих этот КПП.  Можно заметить, что если преступники переходят один КПП вместе, то они либо будут задержаны (оба), либо смогут прорваться; если они проходят КПП по отдельности, то хотя бы один преступник будет задержан. В таком случае преступникам выгодно идти вместе.

Составим задачу линейного программирования.

Пусть - вероятности выбора стратегий милиционерами;

- вероятности выбора стратегий  преступниками.

Составим пару симметричных двойственных задач, так чтобы исходная задача была  стандартной задачей максимизации, матрица коэффициентов этой задачи совпадала с платежной матрицей , а коэффициенты при неизвестных в целевой функции и свободные члены неравенств были бы равны 1.

       

Решим задачи  с помощью MS Excel.

Скопируем на рабочий лист составленную матрицу.

1) Решение задачи с позиции  преступников.

Оптимальное решение (x1, x2, …, x6), будем искать в ячейках В16:G16.

Целевая функция записана в ячейке С18.

Левые части ограничений найдены с помощью функции СУММПРОИЗВ().

Воспользуемся вкладкой «Поиск решения».

Рис. 1. Запись условия задачи для решения задачи 1

Получаем следующее решение:

Рис. 2. Решение задачи 1

Как видим, ;  ,

где - оптимальное решение.

Значит, .

Т.е. стратегии преступников равновероятны.

Цена игры: (среднее количество пойманных преступников).

2) Решение задачи с позиции  милиционеров.

Запишем условие задачи еще раз:

Рис. 3. Запись условия задачи для решения задачи 2

Оптимальное решение будем искать в ячейках J4:J13.

Целевая функция записана в ячейке J14.

Ограничения – в ячейках C15:H15 найдены с помощью функции СУММПРОИЗВ(). По условию они должны быть не меньше 1.

Оптимальное решение находим с помощью вкладки «Поиск решения» (рис. 4).

Получим:  ;  .

Значит, вероятности выбора стратегий милиционерами будут следующими:

.

Рис. 3. Решение задачи 2

Значит, следует поставить по 3 милиционера на 2 КПП.

Вывод: стратегии преступников равновероятны.

               стратегия милиционеров: по 3 милиционера  на 2 КПП, и один КПП пустой.

В таком случае в среднем будет задержан преступник.

 

 

Задача № 3

 

В СМО с одним прибором клиенты поступают в соответствии с Пуассоновским распределением со средней частотой, равной двум клиентам в час. Найти а) среднее число клиентов, прибывающих в систему в течение восьми часов; б) вероятность того, что в течение одного часа в систему поступит по крайней мере один клиент.

Решение

(клиента  в час).

а) в течение 8 часов в среднем будет  8*2=16 клиентов.

б) По формуле Пуассона найдем вероятность того, что в течение часа не придет ни один клиент (k=0):

.

Вероятность того, что в течение часа в систему поступит по крайней мере один клиент ( ):

.

Ответ: а) 16;  б) 0,865.

 

 

Задача  № 4

 

Имеются следующие данные по 10 предприятиям городского хозяйства об объеме услуг(ОУ, т.руб) за месяц и уровне механизации труда (УМ, %):

Номер	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
ОУ	80	70	95	60	65	85	50	75	95	70
УМ	90	75	95	70	73	87	60	80	99	81

На основе этих данных с помощью линейного коэффициента корреляции измерить степень тесноты связи.

Решение

Линейный коэффициент корреляции определяется по формуле

.

Для нахождения необходимых сумм, заполним расчетную таблицу:

 

Номер	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	∑
ОУ (xi)	80	70	95	60	65	85	50	75	95	70	745
УМ (yi)	90	75	95	70	73	87	60	80	99	81	810
	7200	5250	9025	4200	4745	7395	3000	6000	9405	5670	61890
	6400	4900	9025	3600	4225	7225	2500	5625	9025	4900	57425
	8100	5625	9025	4900	5329	7569	3600	6400	9801	6561	66910

 

Подставляя значения, находим:

.

Выполним проверку в MS Excel с помощью встроенной функции КОРРЕЛ():

Рис. 5. Расчет коэффициента корреляции

Вывод: поскольку значение коэффициента корреляции близко к 1, то связь между объемом услуг и механизацией труда очень тесная. Т.к. коэффициент корреляции положительный, то связь прямая, т.е. увеличению одного показателя соответствует увеличение другого показателя: чем выше механизация труда, тем больше объем услуг.

 

Список используемой литературы

 

1. В.В.Лебедев. Математическое моделирование социально-экономических процессов. М., 1992.
2. В.В.Федосеев, А.Н.Гармаш, Д.М.Дайитбеков и др. Экономико-математические методы и прикладные модели. М., 2000.
3. В.И.Малыхин. Математическое моделирование экономики. М.,1998
4. Г.Райфа. Анализ решений/Пер.с англ.М., 1977.
5. К.А.Джафаров, А.А.Могульский. Элементы теории массового обслуживания. Н., 1998
6. Л.В.Канторович, А.Б.Горстко. Оптимальные решения в экономике. М., 1972
7. М. Интрилигатор. Математические методы оптимизации и экономическая теория/ Пер. с англ. М., 1975
8. Н.Ш.Кремер. Теория вероятностей и математическая статистика. М., 2001.
9. Таха Х. Введение в исследование операций. Т.1, 2. М., 1985