Контрольная работа по "Эконометрика"

Содержание:

 

Задача 1

Исходные данные:

1. Составить уравнение линейной регрессии , используя МНК, и найти числовые характеристики переменных.
2. Составить уравнение линейной регрессии , используя матричный метод.
3. Вычислить коэффициент корреляции и оценить полученное уравнение регрессии.
4. Найти оценки параметров .
5. Найти параметры нормального распределения для статистик и .
6. Найти доверительные интервалы для и на основании оценок и при уровне значимости α = 0,05.
7. Вычислить коэффициент детерминации и оценить качество выбранного уравнения регрессии.

Имеются данные по предприятиям о производительности труда Х (шт.) и коэффициенте механизации работ Y (%):

X	20	24	28	30	31	33	34	37	38	40
Y	32	30	36	40	41	47	56	54	60	55

Решение

1. Для расчета коэффициентов связи воспользуемся МНК.

№	Y	X	X2	xy
1	32	20	400	640
2	30	24	576	720
3	36	28	784	1008
4	40	30	900	1200
5	41	31	961	1271
6	47	33	1089	1551
7	56	34	1156	1904
8	54	37	1369	1998
9	60	38	1444	2280
10	55	40	1600	2200
Сум	451	315	10279	14772
Сред	45	32	1028	1477

 

 

Таким образом, уравнение линейной регрессии имеет вид: .

 

2. В матричной форме: Y=a +bX., где Y и X – соответственно матрицы значений переменных Y и X. Решая эту систему получаем:

.

3. В общем случае коэффициент корреляции рассчитывается по формуле:  

,

>0.9, значит связь между переменными  достаточно сильная.

4.    

a=-4.867,  b=1.586

;  .

;  

5. Нормальное  распределение будет выглядеть  следующим образом:

6. Определим доверительные интервалы коэффициентов, которые с надежность 95% будут следующими:

для a (-4.87-2.9*7.35; -4.87-2.9*7.35)=(-26.18;16.5)

для  b (1.59-2.9*0.23; 1.59+2.9*0.23)= (0.92;2.26)

7. Коэффициент детерминации:

F-статистика находится по формуле: .                

N=10 – размер выборки, m=1 – число исследуемых факторов (фактор x)

Критическое значение F_кр= 5.32 найдено для уровня значимости α=5% и чисел степеней свободы k₁=1. k₂=8.

Очевидно, что 47.88>5.32, следовательно, коэффициент детерминации статистически значим, т.е. влияние  переменной X на переменную Y  существенно.

Задача 2

Исходные данные:

1. Составить уравнение множественной линейной регрессии y = a + b₁x₁ + b₂x₂ + ε в матричной форме, используя МНК, и найти числовые характеристики переменных.
2. Найти оценки параметров а, b₁, b₂, б².
3. Найти коэффициент детерминации и оценить уравнение регрессивной связи.
4. Оценить статистическую зависимость между переменными.

Анализируются зависимость объёма продукции предприятия  в среднем 

за год Y (млн руб.) от средней численности рабочих Х₁ (тыс. чел.) и

Х₂ – средние затраты чугуна за год (млн т):

№ п/п	Y	Х1	Х2
1	2,1	1,0	0,5
2	2,4	1,1	0,8
3	1,8	1,3	0,7
4	3,0	1,5	0,6
5	2,2	1,2	0,4

Решение

1, Для построения  парной линейной модели y = a + b₁x₁ + b₂x₂ + ε используем программу РЕГРЕССИЯ (сервис / анализ данных). Эта программа строит регрессию на основании МНК:

Все параметры рассчитываемой модели приводить не будем, их можно будет посмотреть в файле Excel. Рассмотрим лишь коэффициенты регрессии, математические ожидание и стандартные ошибки.

	Коэффициенты	Стандартная ошибка
Y-пересечение	-0,36571	0,834563106
X1	2,035714	0,55309119
X2	0,507143	0,725372295

 

Y =-0,366+2,036Х₁+0,507Х₂

2.

a=-0.366

b₁=2.036

b₂=0.507

σ=0.227

3. Коэффициент  детерминации равен 0,87.

F-статистика находится по формуле: .                

N=5 – размер выборки, m=2 – число исследуемых факторов (фактор x)

Критическое значение F_кр= 19 найдено для уровня значимости α=5% и чисел степеней свободы k₁=2. k₂=2.

Очевидно, что 6,69<19, следовательно, коэффициент детерминации статистически не значим, т.е. влияние переменных x₁ и x₂ на переменную Y  несущественно. Это может быть объяснено небольшой величиной выборки.

4. Построим корреляционную  матрицу для оценки зависимости  между переменными.

	Y	X1	X2
Y	1
X1	0,916579	1
X2	0,035355	-0,1525	1

 

Очевидно, что наиболее тесная связь проявляется меду переменными Y и X_1.

 

Список литературы:

1. Информатика. Базовый курс. / Под ред. С.В. Симоновича. – СПб: Питер. 2006.- 640с.
2. Шевченко Н. Ю. Моделирование систем: Учебное пособие. Томск. ТМЦДО 2004.- 88 с. 
3. Филлипов А.Ю. Информатика: Учебное пособие. Томск. ТМЦДО 2004.- 148 с.
4. Смыслова З. А. Спец. Главы математики. Часть 1: Учебное пособие. Томск. ТМЦДО 2004.- 96 с.
5. Смыслова З. А. Спец. Главы математики. Часть 3 : Учебное пособие. Томск. ТМЦДО 2004.- 80 с.