Контрольная работа по «Эконометрика»

Министерство транспорта Российской Федерации

Федеральное агентство железнодорожного транспорта

Омский государственный университет  путей сообщения

Институт менеджмента и экономики

Кафедра “Высшая математика”

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Контрольная работа

по дисциплине «Эконометрика»

Вариант №10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнила студентка ДО– ФК– 9720

_________________ Агафонова Ю.О.

Проверила:______________________

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Омск 2012

 

Задание 1. Добыча нефти  (включая газовый конденсат) в России характеризуется следующими данными:

 

Год	Добыча нефти, млн. т, y
1988	569	1	1	569	569,6
1989	530	2	4	1060	529,6
1990	491	3	9	1473	489,6
1991	448	4	16	1792	449,6
1992	410	5	25	2050	409,6
Сумма	2448	15	55	6944	2448

 

Определите:

1. основную тенденцию методом аналитического выравнивания ряда динамики по уравнению прямой;
2. ожидаемый уровень добычи нефти в 1994 г. при условии сохранения текущей тенденции.

Решение:

Для аналитического выравнивания применяется функция (1)

Для вычисления параметров функции (1) на основе требований метода наименьших квадратов составляется система нормальных уравнений:

Решением системы является:

, и 

Используя вычисленные  суммы, получаем:

= (2448*55-6944*15)/5*55-15*15 = (134640-104160)/275-225 = 30480/50 =609,6 млн.т

= (5*6944-15*2448) / 5* 55-15*15 = -40 млн.т

Параметр  трендовой модели показывает, что уровень добычи нефти снижался в среднем на 40 млн.т. в год.

По вычисленным параметрам производим синтезирование трендовой модели функции  y_t = 609,6 – 40t. На основе модели определяются теоретические уровни тренда для каждого года анализируемого ряда динамики

Произведем расчеты:

1) y₁ = 609,6-40*1=569,6 млн.т - уровень добычи нефти в 1988 году

2) y₂ = 609,6-40*2=529,6 млн.т - уровень добычи нефти в 1989 году

3) y₃ = 609,6-40*3=489,6 млн.т - уровень добычи нефти в 1990 году

4) y₄ = 609,6-40*4=449,6 млн.т - уровень добычи нефти в 1991 году

5) y₅ = 609,6-40*5=409,6 млн.т - уровень добычи нефти в 1992 году

Так как ,следовательно, расчеты верны.

6) y₆ = 609,6-40*6=369,6 млн.т - ожидаемый уровень добычи нефти в 1993 году

7) y₇ = 609,6-40*7=329,6 млн.т - ожидаемый уровень добычи нефти в 1994 году

Таким образом, ожидаемый  уровень добычи нефти в 1994 году составит 329,6 млн. т.

 

Задание 2. По территориям региона приводятся данные за 199Х год:

 

Регион	x	y	y*x	x^2	y^2		y-		(y- )2
1	94	126	11844	8836	15876	129,2	-3,2	2,54%	10,24
2	98	130	12740	9604	16900	133,68	-3,68	2,83%	13,54
3	104	135	14040	10816	18225	140,4	-5,4	4,00%	29,16
4	95	132	12540	9025	17424	130,32	1,68	1,27%	2,82
5	107	150	16050	11449	22500	143,76	6,24	4,16%	38,94
6	127	185	23495	16129	34225	166,16	18,84	10,18%	354,95
7	138	164	22632	19044	26896	178,48	-14,48	8,83%	209,67
Итого	763	1022	113341	84903	152046	1022	0	33,81%	659,32
Среднее	109	146	16191,57	12129	21720,86	146		4,83%
s2	248	404,86
s	15,75	20,12

 

Требуется:

1. построить линейное уравнение парной регрессии y от x;
2. рассчитать линейный коэффициент парной корреляции и среднюю ошибку аппроксимации;
3. оценить качество уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера (α=0,05);
4. оценить статистическую значимость параметров регрессии (α=0,05);
5. выполнить прогноз заработной платы y при прогнозном значении среднедушевого прожиточного минимума x, составляющем 110% от среднего уровня;
6. оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал с вероятностью 0,95.

Решение:

1.    12129 – 109² = 248   

= 21720,86 - 146² = 404,86

  (16191,57- (146*109)) / 248 =  1,12

23,92

Построенное уравнение  парной линейной регрессии:  .23,92 + 1,12x

2.  линейный коэффициент корреляции в данном случае проще найти по формуле

1,12 * (15,75 / 20,12) » 0,88 , что говорит о наличии сильной прямой связи между факторами и .

Для нахождения средней  ошибки аппроксимации рассчитаем сначала теоретические значения фактора по найденному в пункте а) уравнению регрессии (столбик ), затем линейные отклонения , и, наконец, относительные отклонения . Остается только найти сумму и среднее в данном столбце. Это и будет средняя ошибка аппроксимации.

Таким образом, * 33,81% = 4,83 %. Данное значение дает основание считать полученное уравнение регрессии пригодным для дальнейшего использования.

 

3. Из формул, предложенных для расчета F-критерия, в данном случае проще всего воспользоваться следующей:

(0,88²/(1-0,88²))*(7-2) » 17,16. Табличное значение при уровне значимости 0,95 . Так как найденное значение  превосходит табличное ( ), у нас нет оснований считать модель статистически незначимой. Модель признается статистически значимой.

 

4. оценим статистическую значимость параметров регрессии

Сначала найдем остаточную дисперсию на одну степень свободы  .= 659,32/ 7-2 = 131,864

Для параметра регрессии  стандартная ошибка Ö131,864 / 7*248 » 0,276, фактическое значение -критерия Стьюдента: 1,12 / 0,276 » 4,058 Для параметра Ö131,864*(84903/((49*248))) = 30,353 , 23,92/30,353 = 0,7881. Табличное значение t-критерия Стьюдента . Так как , а , то параметр признается статистически значимым, а параметр статистически незначимым.

 

5. Если прогнозное значение среднедушевого прожиточного минимума составит:

х_р = *110 % = 109 * 1,10 = 119,9,

тогда прогнозное значение заработной платы составит:

= 23,92 + 1,12 * 119,9 = 158,208

 

6. Найдем ошибку и доверительный интервал прогноза:

стандартная ошибка Ö131,864* (1+ 1/7 + (119,9-109)² / 7*248)) = 3,02

предельная  ошибка  *3,02 = 7,76

Доверительный интервал 158,21 – 7,76 , 158,21 + 7,76, т.е.

150,45 165,97

С вероятностью 0,95 можем  гарантировать, что при значении фактора х_р 119,9 единицы, фактор примет значение от 150,45 до165,97 единиц.

 

Задание 3. На основе помесячных данных об объеме продаж (тыс. руб.) за последние три года была построена аддитивная модель временного ряда. Скорректированные значения сезонной компоненты за соответствующие месяцы приводятся в таблице:

 

Месяц	Скорректированные значения сезонной компоненты, S	Месяц	Скорректированные значения сезонной компоненты, S
Январь	1,2	Июль	-3,5
Февраль	-2,3	Август	-1,2
Март	0,6	Сентябрь	-2,9
Апрель	-0,3	Октябрь	-1,2
Май	2,3	Ноябрь	3,5
Июнь	1,3	Декабрь	2,5

 

Уравнение тренда выглядит следующим образом: , при расчете параметров тренда использовались фактические моменты времени .

Требуется:

1) определить значение  сезонной компоненты за сентябрь;

2) на основе построенной  модели дать прогноз общего  числа объема продаж в течение  первого квартала следующего  года.

Решение:

1. Сумма значений сезонной компоненты внутри одного цикла аддитивной модели должна быть равна нулю (для мультипликативной модели сумма значений сезонной компоненты внутри одного цикла равна длине цикла, т.е. в нашем примере она бы равнялась 12 по числу месяцев). Следовательно, значение сезонной компоненты за сентябрь составит:

S₉ = 0 – (1,2-2,3+0,6-0,3+2,3+1,3-3,5-1,2-1,2+3,5+2,5) = -2,9.

2. Прогнозное значение уровня временного ряда , в аддитивной модели есть сумма трендового значения , и соответствующего значения сезонной компоненты .

Число объема продаж в первом квартале следующего года, есть сумма числа объема продаж в январе , в феврале и в марте .

Для расчета трендовых  значений воспользуемся уравнением тренда, указанным в условии задачи:   ;

Т₃₇ = 1,2 + 0,05*37 = 3,05

Т₃₈ = 1,2 + 0,05*38 = 3,10

Т₃₉ = 1,2 + 0,05*39 = 3,15

Соответствующие значения сезонных компонент составят:

S₁ = 1,2 –январь;  S₂ = -2,3– февраль; S₃ = 0,6 – март.

Так как в аддитивной модели сезонная компонента складывается с трендовой, получим:

F₃₇ = Т₃₇ + S₁ = 3,05 + 1,2 = 4,25

F₃₈ = Т₃₈ + S₂ = 3,10 - 2,3 = 0,8

F₃₉ = Т₃₉ + S₃ = 3,15 + 0,6 = 3,75

Объем продаж в первом квартале следующего года, составит:

4,25 + 0,8 + 3,75 = 8,8 тыс. руб., или 8800.