Контрольная работа по «Эконометрика»

Министерство образования  и науки Российской Федерации

 

Федеральное государственное бюджетное  образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

 

Кафедра теории рынка

 

 

Контрольная работа

по дисциплине «Эконометрика»

 

 

 

Выполнил:

Студент: Лейман О.Д.

Заочный факультет

Специальность: Финансы  и кредит

Группа: ЗФ-002

Шифр: 130510337

 

Преподаватель: Щеколдин В.Ю.

Дата сдачи:

Дата защиты:

 

 

 

Новосибирск

2013

        Задача. Построить и проинтерпретировать модель взаимосвязи между указанными факторами, проверить на значимость, осуществить точечный и интервальный прогноз, сделать выводы.

Стоимость основных производственных фондов (Х, тыс. руб.)	Среднесуточная производительность (Y, тонн)
372	68
382	71
414	78
404	80
446	82
544	84
516	90
480	100
588	98
662	104

 

Решение:

1. Нанесем данные на координатную плоскость:

По полученному полю рассеяния можно предположить, что  между признаками существует положительная линейная зависимость вида .

2. Вычислим коэффициент  корреляции:

	x
1	372	68	138384	4624	25296
2	382	71	145924	5041	27122
3	414	78	171396	6084	32292
4	404	80	163216	6400	32320
5	446	82	198916	6724	36572
6	544	84	295936	7056	45696
7	516	90	266256	8100	46440
8	480	100	230400	10000	48000
9	588	98	345744	9604	57624
10	662	104	438244	10816	68848
	4808	855	2394416	74449	420210

 

 

H_o: P_xy= 0 – нет линейной зависимости

H_o: P_xy ≠ 0 – зависимость есть

Для проверки значимости найденного коэффициента корреляции вычислим расчетные значения t-критерия:

 

 

Найдем табличное значение t-критерия при вероятности ошибки : t_кр(1-а/2,N-2)=2,306

         Так как , то при данном уровне надежности можно утверждать, что коэффициент корреляции является статистически значимым. Значит, между стоимостью основных производственных фондов и среднесуточной производительностью можно считать доказанным.

3. В соответствии с методом наименьших квадратов найдем оценки линейного уравнения регрессии .

Для нахождения оценок параметра используется метод наименьших квадратов. С помощью МНК получаем следующую систему нормальных уравнений:

10α₀+4808α₁=855

4808α₀+2394416α₁=420210

 

α₀ = 85,5-480,8α₁
α₁ = 0,11

,

,  

Получили линейное уравнение  регрессии

       По уравнению видно, что при увеличении стоимости основных производственных фондов на 1 тысячу рублей следует ожидать увеличения среднесуточной производительности на 0,11 тонн. Интерпретация свободного члена уравнения не имеет физического смысла, так как этот член показывает значение среднесуточной производительности при нулевой стоимости производственных фондов. Так как Ô₀ и Ô₁  положительны, то можно говорить о том, что изменение среднесуточной производительности меньше, чем стоимость основных производственных фондов

 

4. Оценим статистическую  значимость параметров уравнений  регрессии с помощью t-критерия Стьюдента. Выдвинем гипотезу Н₀: о незначимом отклонении от нуля каждого отдельного параметра модели. Эта гипотеза отклоняется при .

,   ,

где , .

Рассчитаем значение критерия при

	x
1	372	11837,44	68	73,498	30,230
2	382	9761,44	71	74,601	12,969
3	414	4462,24	78	78,131	0,017
4	404	5898,24	80	77,028	8,832
5	446	1211,04	82	81,661	0,115
6	544	3994,24	84	92,472	71,769
7	516	1239,04	90	89,383	0,381
8	480	0,64	100	85,412	212,817
9	588	11491,84	98	97,325	0,455
10	662	32833,44	104	105,488	2,215
		82729,6			339,8

 

;  

,  

Табличное значение t-критерия: . Так как оба расчетных значения t-критерия больше табличного значения, то параметры уравнения регрессии являются статистически значимыми.

Построим доверительные интервалы  для коэффициентов:

Практически, полученный результат означает следующее: на каждую вложенную тысячу рублей можно получить увеличение среднесуточной производительности от 31до 33 тонн.

5. Оценим качество уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера. Проверим гипотезу Н₀ о статистической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи.

Регрессионная сумма  квадратов: .

- сумма квадратов, объясненная  регрессией,

- остаточная сумма квадратов,

- полная сумма квадратов.

          Определим табличное значение критерия: при , . Так как табличное значение меньше фактического , то гипотезу Н₀ отклоняем, то есть данное уравнение регрессии является статистически значимым.

 Заполним расчетную  таблицу:

74	73,498	30,230	306,25
71	74,601	12,969	210,25
78	78,131	0,017	56,25
80	77,028	8,832	30,25
82	81,661	0,115	12,25
84	92,472	71,769	2,25
90	89,383	0,381	20,25
100	85,412	212,817	210,25
98	97,325	0,455	156,25
103	105,488	2,215	342,25
		339,8	1346,5

 

=339,8

         = 1346,5

         = TSS-ESS=1346,5-339,8 = 1006,7

Значит, 74,8% вариаций результативного признака объясняется вариацией факторного признака.

Рассчитаем фактическое  значение F-статистики Фишера. Так как регрессия парная, то фактическое значение найдем по формуле:

 

 

Определим табличное значение критерия: при , . Оно равно . Так как табличное значение меньше фактического , то гипотезу Н₀ отклоняем, то есть данное уравнение регрессии является статистически значимым и модель пригодна для практического использования.

6. Постройте таблицу  дисперсионного анализа.

Источник дисперсии	Число степеней свободы	Сумма квадратов	Средняя сумма квадратов	F-статистика	F-критическое	Значимость
Регрессия	1	RSS=1006,7	1006,7	23,746	5,32	Да
Ошибка	(N-2)=8	ESS=339,8	42,475	-	-	-
Итог	(N-1)=9	TSS=1346,5	149,61	-	-	-

7. В качестве прогнозной точки выберем точку х^п = 700. С помощью уравнения регрессии выполним точечный прогноз в этой точке:

ỳ(700) = 32,462+0,11·700 =109,462т

Таким образом, при стоимости  ОПФ 700 тыс. руб. среднесуточная производительность составит 109,462 тонны. Но, так как это лишь точечный прогноз, вероятность попадания среднесуточной производительности в эту точку крайне мала.

8. Рассчитайте доверительные интервалы для уравнения регрессии и для результативного признака у^п при доверительной вероятности α = 0,95.

Оценим стандартную  ошибку прогноза отклика в точке  ,

Получены следующие результаты для = 700 тыс. руб.:

Ϭ_{ýп =√1 +            +                  ·· (700-480,8)}²   = 5,377

  Для получения интервального прогноза подставим полученное значение точного прогноза в уравнение границ доверительного интервала:

Y_в = 109,462+2,306·8,6735 = 103,0945

y_н = 109,462-2,306·8,6735 = 89,460909

(103,0945;89,460909)

9. Построим и изобразим  на графике исходные данные, линию  регрессии, точечный прогноз и  95%-ный доверительный интервал  попадания отклика при любом  значении регрессора на интервале от 100 до 700 тыс. руб. Этот интервал строится для всех значений стоимости ОПФ по методу пункта

	x
1	372	73,382	3,365275	63,63616	83,12784
2	382	74,482	3,203001	65,20611	83,75789
3	414	78,002	2,745633	70,05065	85,95335
4	404	76,902	2,876764	68,57089	85,23311
5	446	81,522	2,422658	74,50598	88,53802
6	544	92,302	2,701522	84,47839	100,1256
7	516	89,222	2,425623	82,1974	96,2466
8	480	85,262	2,290814	78,6278	91,8962
9	588	97,142	3,338808	87,47281	106,8112
10	662	105,282	4,701578	91,66623	118,8978

Изобразим все значения графически:

 

 

 

10. Таким образом, в работе было установлено, что между стоимостью основных производственных фондов и среднесуточной производительностью существует сильная положительная линейная взаимосвязь. Для выборочных данных была построена и проверена на значимость линейная регрессионная модель: ỳ =32,462+0,11х.