Контрольная работа по "Эконометрике"

Задания контрольной  работы

 

Задание 1

1. Составить уравнение линейной регрессии , используя МНК, и найти числовые характеристики переменных.
2. Составить уравнение линейной регрессии , используя матричный метод.
3. Вычислить коэффициент корреляции и оценить полученное уравнение регрессии.
4. Найти оценки параметров .
5. Найти параметры нормального распределения для статистик и .
6. Найти доверительные интервалы для и на основании оценок и при уровне значимости α = 0,05.
7. Вычислить коэффициент детерминации и оценить качество выбранного уравнения регрессии.

 

Вариант 4

 

Имеются данные по десяти заводам одной отрасли  промышленности об уровнях энерговооруженности  труда Х (тыс. кВт/ч) и об уровне производительности труда одного рабочего в год Y (тыс. шт. изд.):

 

X	9,4	6,0	6,1	7,2	6,8	9,4	10,5	11,4	11,5	12,1
Y	5	2	7	4	6	5	7	8	9	8

 

Решение:

Оценочное уравнение  регрессии (построенное по выборочным данным) будет иметь вид y = bx + a + ε, где e_i – наблюдаемые значения (оценки) ошибок ε_i, а и b соответственно оценки параметров α и β регрессионной модели, которые следует найти.

 Для оценки параметров α и β - используют МНК (метод наименьших квадратов).

 Система нормальных уравнений.

 

x	y	x 2	y 2	x ∙ y	yx	(y-y cp) 2	(y-yx)2	(x-x p) 2
9.4	5	88.36	25	47	6.33	1.21	1.77	0.13
6	2	36	4	12	4.15	16.81	4.62	9.24
6.1	7	37.21	49	42.7	4.21	0.81	7.76	8.64
7.2	4	51.84	16	28.8	4.92	4.41	0.85	3.39
6.8	6	46.24	36	40.8	4.66	0.01	1.79	5.02
9.4	5	88.36	25	47	6.33	1.21	1.77	0.13
10.5	7	110.25	49	73.5	7.04	0.81	0	2.13
11.4	8	129.96	64	91.2	7.61	3.61	0.15	5.57
11.50	9	132.25	81	103.5	7.68	8.41	1.75	6.05
12.1	8	146.41	64	96.8	8.06	3.61	0	9.36
90.4	61	866.88	413	583.3	61	40.9	20.46	49.66

 

 

Для наших данных система  уравнений имеет вид

Из первого уравнения  выражаем а и подставим во второе уравнение

Получаем b = 0.64, a = 0.3

Уравнение регрессии:

y = 0.64 x + 0.3

Средние значения

 Дисперсия

 Среднеквадратическое отклонение

 Коэффициент корреляции

 Связь между признаком Y фактором X  сильная и прямая

Коэффициент детерминации

R ²= 0.71 ² = 0.5

 т.е. в 50% случаев изменения х приводят к изменению y. Другими словами - точность подбора уравнения регрессии – средняя. Остальные 50% изменений – влияние неучтенных факторов.

 

Находим оценки параметров коэффициентов регрессии.

- стандартная ошибка оценки (стандартная ошибка регрессии).

- стандартное отклонение случайной величины b.

S_a = 0.2269 - стандартное отклонение случайной величины a.

Проверка гипотез относительно коэффициентов линейного уравнения  регрессии

1) t-статистика для нормального распределения

 > 1,86

 Статистическая значимость коэффициента регрессии a подтверждается.

< 1,86

Статистическая значимость коэффициента регрессии b не подтверждается.

 Доверительный интервал  для коэффициентов уравнения  регрессии

 Определим доверительные  интервалы коэффициентов регрессии, которые с надежность 95%  будут следующими:

(a - t _a S _a; a + t _a S _a)

(0.2194;1.0636)

(b - t _b S _b; b + t _b S _b)

(-3.6293;4.2308)

Значимость общего уравнения  регрессии.

Табличное значение определяется по таблицам распределения Фишера для заданного уровня значимости, принимая во внимание, что число степеней свободы для общей суммы квадратов (большей дисперсии) равно 1 и число степеней свободы остаточной суммы квадратов (меньшей дисперсии) при линейной регрессии равно n-2.

Если фактическое значение F-критерия меньше табличного, то говорят, что нет основания отклонять нулевую гипотезу.

 Табличное значение критерия  со степенями свободы k1=1 и k2=8, Fkp = 5.32

Поскольку F > Fkp, то коэффициент  детерминации статистически значим

 

Решаем матричным  методом

Определим вектор оценок коэффициентов регрессии. Согласно методу наименьших квадратов, вектор   получается из выражения:

s = (X^TX)^-1X^TY

 Матрица X

1	9.4
1	6
1	6.1
1	7.2
1	6.8
1	9.4
1	10.5
1	11.4
1	11.50
1	12.1

 Матрица Y

5
2
7
4
6
5
7
8
9
8

 Матрица X^T

1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
9.4	6	6.1	7.2	6.8	9.4	10.5	11.4	11.50	12.1

 Умножаем матрицы,  (X^TX)

 В матрице,  (X^TX) число 10, лежащее на пересечении 1-й строки и 1-го столбца, получено как сумма произведений элементов 1-й строки матрицы X^T и 1-го столбца матрицы X

 Умножаем матрицы,  (X^TY)

 Находим определитель det(X^TX)^T = 496.64

 Находим обратную  матрицу (X^TX)^-1

 Вектор оценок коэффициентов регрессии равен

Уравнение регрессии (оценка уравнения регрессии)

Y = 0.3007 + 0.6415X

 

 

Задание 2

 

1. Составить уравнение множественной линейной регрессии y = a + b₁x₁ + b₂x₂ + ε в матричной форме, используя МНК, и найти числовые характеристики переменных.
2. Найти оценки параметров а, b₁, b₂, б².
3. Найти коэффициент детерминации и оценить уравнение регрессивной связи.
4. Оценить статистическую зависимость между переменными.

 

Вариант 4

 

По предприятиям отрасли получены следующие результаты анализа зависимости объёма выпуска продукции Y (млн руб.) от численности занятых на предприятии Х₁ (тыс. чел.) и среднегодовой стоимости основных фондов Х₂ (млн руб.):

 

№ п/п	Y	Х1	Х2
1	1,2	2,0	0,5
2	1,4	2,1	0,6
3	2,0	3,0	0,8
4	1,8	2,5	0,4
5	1,6	2,4	0,5

 

 

Решение:

Определим вектор оценок коэффициентов регрессии. Согласно методу наименьших квадратов, вектор   получается из выражения: s = (X^TX)^-1X^TY

Матрица X

1	2.0	0.5
1	2.1	0.6
1	3.0	0.8
1	2.5	0.4
1	2.4	0.5

Матрица Y

1.2

1.4

2.0

1.8

1.6

Матрица X^T

1	1	1	1	1
2.0	2.1	3.0	2.5	2.4
0.5	0.6	0.8	0.4	0.5

Умножаем матрицы,  (X^TX)

В матрице,  (X^TX) число 5, лежащее на пересечении 1-й строки и 1-го столбца, получено как сумма произведений элементов 1-й строки матрицы X^T и 1-го столбца матрицы X

Умножаем матрицы,  (X^TY)

 Находим определитель det(X^TX)^T = 0.19

 Находим обратную  матрицу (X^TX)^-1

 Вектор оценок коэффициентов  регрессии равен

Уравнение регрессии (оценка уравнения регрессии)

Y = -0.2496 + 0.8803X ₁-0.4701X ₂

Несмещенная ошибка e = Y - X*s (абсолютная ошибка аппроксимации)

-0.08

0.08

-0.02

0.04

-0.03

s_e² = (Y - X*s)^T(Y - X*s)

 Несмещенная оценка  дисперсии равна

 Оценка среднеквадратичного отклонения равна

 

 Найдем оценку ковариационной  матрицы вектора k = a*(X^TX)^-1

Дисперсии параметров модели определяются соотношением S ²_i = K_ii, т.е. это элементы, лежащие на главной диагонали.

По таблице Стьюдента  находим T_табл

T_табл (n-m-1;a) = (2;0.05) = 2.92

1) t-статистика

< 2,92

 Статистическая значимость  коэффициента регрессии b₀ не подтверждается

< 2,92

 Статистическая значимость  коэффициента регрессии b₁ не подтверждается

< 2,92

Статистическая значимость коэффициента регрессии b₂ не подтверждается

Доверительный интервал для коэффициентов уравнения  регрессии

Определим доверительные интервалы коэффициентов регрессии, которые с надежность 95%  будут следующими:

(b_i - t _i S _i; b_i + t _i S _i)

b ₀: (-3.095;2.5959)

b ₁: (-0.5671;2.3278)

b ₂: (-4.2277;3.2875)

2) F-статистика. Критерий  Фишера

Fkp = 19.2

Поскольку F < Fkp, то коэффициент  детерминации статистически не значим и уравнение регрессии статистически  ненадежно

 

Оценим статистическую значимость между переменными x_i

Число наблюдений n = 5. Число независимых  переменных в модели равно 2, а число регрессоров с учетом единичного вектора равно числу неизвестных коэффициентов. С учетом признака Y, размерность матрицы становится равным 4. Матрица, независимых переменных Х имеет размерность (5 х 4). Матрица Х^T Х определяется непосредственным умножением или по следующим предварительно вычисленным суммам.

Матрица составленная из Y и X

 

1	1.2	2	0.5
1	1.4	2.1	0.6
1	2	3	0.8
1	1.8	2.5	0.4
1	1.6	2.4	0.5

 

 

 

Транспонированная матрица.

 

1	1	1	1	1
1.2	1.4	2	1.8	1.6
2	2.1	3	2.5	2.4
0.5	0.6	0.8	0.4	0.5