Контрольная работа по "Эконометрике"

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ  БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ 
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ЧЕЛЯБИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

 

ФАКУЛЬТЕТ ЗАОЧНОГО И  ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ

 

 

 

 

 

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

 

вариант 7

 

 

 

 

 

Кафедра математических методов в экономике     Направление  «Экономика»   Профиль «Бухгалтерский учет, анализ и аудит»   Дисциплина «Эконометрика»     Оценка

 

 

 

 

 

 

 

Челябинск

2013

 

 

Исходные данные:

Имеются данные о сменной  добычи угля Y (тонн) на одного рабочего и мощности пласта Х (в метрах).

№	X	Y
1	22,7	5,4
2	25,8	7,2
3	20,8	9,1
4	15,2	2,9
5	25,4	7,5
6	19,4	6,7
7	18,2	6,2
8	21,0	6,4
9	16,4	5,5
10	23,5	6,9
11	18,8	5,4
12	17,5	6,3

 

 

Задание

Исследовать зависимость  сменной добычи угля на одного рабочего от мощности пласта путем построения уравнения парной линейной регрессии

.

Для исходных данных, приведенных  в задаче, требуется

1. Построить поле корреляции и сформулировать гипотезу о форме связи.
2. Найти оценки и параметров модели парной линейной регрессии и . Записать полученное уравнение регрессии.
3. Проверить значимость оценок коэффициентов и с надежностью 0,95 с помощью t-статистики Стьюдента и сделать выводы о значимости этих оценок.
4. Определить интервальные оценки коэффициентов и с надежностью 0,95.
5. Проверить при уровне значимости 0,05 значимость уравнения регрессии с помощью F-статистики Фишера и сделать выводы о значимости уравнения регрессии.
6. Определить коэффициент детерминации R² и коэффициент корреляции r_xy. Сделать выводы о качестве уравнения регрессии.
7. Рассчитать среднюю ошибку аппроксимации и сделайте выводы о качестве уравнения регрессии.
8. Рассчитать прогнозное значение результата , если значение фактора X будет больше на 15% его среднего уровня .
9. Дать экономическую интерпретацию коэффициентов парной регрессии.

Решение:

1. Построим поле корреляции и сформулируем гипотезу о форме связи. Поле корреляции изображено на рис.1. Оно строится следующим образом: по горизонтальной оси откладывается фактор х, а по вертикальной фактор у.

 

 

 

 

 

2. Найти оценки и параметров модели парной линейной регрессии и . Записать полученное уравнение регрессии.

 

Линейная регрессия  сводится к нахождению уравнения  вида:    

 

Воспользуемся следующими формулами для a и b.

 

 

b =( 131,128- 6,292*20,392) / (426,606-(20,392²)) =0,2619

a = 6,292 – 0,2619*20,392 = 0.9508

Тогда уравнение регрессии  будет иметь вид:

У = 0,9508+0,2619х .

Т.к  – то связь прямая.

 

 

3. Проверить значимость оценок коэффициентов  и с надежностью 0,95 с помощью t-статистики Стьюдента и сделать выводы о значимости этих оценок.

 

Процедура оценки значимости коэффициентов осуществляется следующим  образом:

Рассчитывается значение t-статистики для коэффициента регрессии по формуле или .

=           ^{0,1 *  15,5339*426,606}  =  2,2642

                    ^129,4292

   =                ^{0,1 *  15,5339}     =  0,1096

                    ^129,429

 

 = 0,9508 / 2,2642 = 0,4199

= 0,2619 / 0,1096 = 2,3896

 

1. Уровень доверия q = 0,95
2. Уровень значимости γ = 1 – q = 1 – 0,95 = 0,05
3. Число степеней свободы n – 2 = 12 – 2 = 10
4. t_кр = 2,2281
5. Сравнение расчетных и табличных величин критерия Стьюдента показывает, что

t = 0,4199< t_кр = 2,2281;

t =2,3896 > t_кр = 2,2281.

Это значит, что коэффициент  статистически незначим,  а коэффициент статистически значим.

 

4. Определить интервальные оценки коэффициентов  и с надежностью 0,95.

 

1. Уровень доверия q = 0,95.
2. Уровень значимости γ = 1 – q = 1 – 0,95 – 0,05.
3. Число степеней свободы n – 2 = 12 – 2 = 10.
4. По таблицам распределения Стьюдента t_кр = 2,2281
5. Доверительные интервалы для параметров .

α: ,                                                            α: (0,9508-2,2281*2,2642; 0,9508+2,2281*2,2642) α:  ( -4,094 ; 5,996)

β: .                                                            β: (0,2619-2,2281*0,1096; 0,2619+2,2281*0,1096) β:  (0,0177 ; 0,5061)

 

 

5. Проверить при уровне значимости 0,05 значимость уравнения регрессии с помощью F-статистики Фишера и сделать выводы о значимости уравнения регрессии.

 

Процедура оценки значимости уравнения парной регрессии осуществляется следующим образом:

1. . = 2,3896² = 5,7102
2. Уровень доверия q  =  0,95.
3. Уровень значимости γ = 1 – 0,95 = 0,05.
4. Число степеней свободы n – 2 = 12 – 2 = 10.
5. По таблицам распределения Фишера F_кр  = 4, 96.
6. 5,7102 > 4, 96

F > F_кр  - это значит, что уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически значимо.

 

6. Определить коэффициент детерминации R² и коэффициент корреляции r_xy. Сделать выводы о качестве уравнения регрессии.

 

.   = 1 – 15,5339 / 24,4492 = 0,3646

Полученная величина коэффициента детерминации свидетельствует  о том, что необъясненная ошибка составляет менее 36,5 процента от общей  ошибки, качество подгонки среднее.

 

r_xy = (yx – y * x) / (σ_x * σ_y) = (131,128 – 20,392*6,292) / (3,282*1,426) = 0,6029

 

Величина r_xy =0,6029 близка к 1, что характеризует тесную линейную связь между независимым и результативным признаками.

 

7. Рассчитать среднюю ошибку аппроксимации и сделайте выводы о качестве уравнения регрессии.

 

Средняя ошибка аппроксимации  эмпирических данных теоретическим уровнем регрессии равна

= 1/ 12  *1,7081*100%   = 14,2342

         

Качество уравнения  регрессии хорошее.

 

8. Рассчитать прогнозное значение результата , если значение фактора X будет больше на 15% его среднего уровня .

 

 

Прогнозируемую величину определяем из равенства

 = 0,9508+0,2619*х =0,9508+0,2619*20,392*1,15=7,0926

 

9. Дать экономическую интерпретацию коэффициентов парной регрессии.

 

Уравнение линейной регрессии  будет иметь вид:

 

Ŷ = 0,9508+0,2619х.

Т.к. < 0, то относительное изменение результата происходит быстрее, чем изменение фактора.

При увеличении мощности пласта на 1 руб. сменная добыча угля на одного рабочего увеличится на 0,262%.