Контрольная работа по "Экономико – математическим методам и прикладным моделям"

Федеральное государственное образовательное  бюджетное учреждение высшего профессионального  образования финансовый  университет при правительстве российской федерации ярославский филиал
Кафедра ЭММ и аналитических информационных систем ________________________________
Контрольная работа № 1
по  Экономико – математическим методам
и прикладным моделям
Вариант № 4
Студент:	Павлова Виктория Александровна
	Курс:	3
	Форма обучения:	Заочная
	Личное дело №:	09ФФД40334
Преподаватель:	Черномордик В.Д.
Ярославль 2012

 

 

СОДЕРЖАНИЕ

 

Задание 1. Матрица прямых материальных затрат, ее продуктивность. Признаки продуктивности. Матрица коэффициентов полных материальных затрат, способы ее определения. Межпродуктовый баланс……………………...3

Задание 2. Решить графическим методом типовую задачу оптимизации….....6

Задание 3. Исследовать  динамику экономического показателя на основе анализа одномерного временного ряда……………………………………………...9

Задание 4. Рассчитать параметры  моделей экономически выгодных размеров заказываемых партий……………………………………………………………17

Список использованной литературы…………………………………………...19

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 1. Матрица прямых материальных затрат, ее продуктивность. Признаки продуктивности. Матрица коэффициентов полных материальных затрат, способы ее определения. Межпродуктовый баланс.

Матрица прямых материальных затрат, ее продуктивность. Признаки продуктивности.

По ЭММ Леонтьева (Е-А)X=Y можно определить объемы валовой продукции отрасли Х1, Х2, …, Хn по заданным объемам конечной продукции: Х = (Е-А)‾¹ Y;  X=BY,  B=(E-A)‾¹.   Элементы Bij обратной матрицы B = (E-A)‾¹   называются коэффициентами полных (материальных) затрат, т.е. это затраты i-й отрасли на каждый рубль конечной продукции отрасли j. Соответственно матрицу В называют матрицей коэффициентов полных затрат, а матрицу А – матрицей коэффициентов прямых затрат. Матрицу неотрицательную А будем называть продуктивной  если сущ такой неотрицательный вектор X>=0, что X>AX. Это условие означает существование положительного вектора конечной продукции Y>0 для модели межотраслевого баланса. Для того чтобы матрица коэф прямых материал затрат была продуктивной необходимо и достаточно чтобы выполнялось одно  из перечисленных условий:-- матрица (Е-А) необратима, т.е. сущ обратная матрица (Е-А)^-1 >=0

-- сходится матричный ряд Е + А + А² + … + =∑А® , причем ∑А®=(Е-А)‾¹ -- положительны все главные миноры матрицы (Е – А) (т.е. определители матрицы образованные элементами первых строк и первых столбцов этой матрицы)-- максимальное собственное число матрицы А меньше 1.  Собственными значениями (числами) квадратной матрицы А называются корни (решения) характеристического уравнения | А-λЕ |=0.

Матрица коэффициентов  полных материальных затрат, способы  ее определения.

Матричная форма модели Леонтьева (E-A)X=Y. По ней можно определить объемы валовой продукции отраслей  X1,X2,…,Xn  по заданным объемам конечной продукции: X=(E-A)ˉ¹  Y      X=BY     B=(E-A)ˉ¹. Если определитель матрицы (Е-А) не равен 0, то сущ обратная к ней матрица. В=(Е-А) ^-1 Элементы bij  обратной матрицы B=(E-A)ˉ¹ называются коэффициентами полных (материальных)  затрат. Это затраты i-той отрасли на каждый рубль конечной продукции отрасли j. Матрицу В называют матрицей коэффициентов полных затрат.

Межпродуктовый баланс.

Межпродуктовые балансы разрабатываются как для отдельных предприятий, так и для целых отраслей.

Межпродуктовый баланс дает возможность получить подробную характеристику технико-экономической структуры отрасли, обосновать основные тенденции развития внутриотраслевых связей, построить сбалансированный план производства и распределения продукции, создать базу для проведения целого ряда экономических расчетов. 

Межпродуктовый баланс может быть использован при разработке перспективных и текущих планов развития химической промышленности.

Межпродуктовый баланс может быть использован прежде всего для перспективных планово-экономических расчетов и главным образом на стадии предплановых разработок. 

Межпродуктовый баланс, составленный по широкой номенклатуре конечных и промежуточных продуктов, сырья и материалов, является эффективным средством планирования внутриотраслевых производственных связей и пропорций. Преимущество межпродуктовых балансов заключается в широком использовании современной вычислительной техники, на основе которой намного повышается точность планово-экономических расчетов за счет полного учета всей совокупности прямых, косвенных и обратных производственных связей. 

Межпродуктовые балансы разрабатываются как для отдельных предприятий, так и для целых отраслей. 

Межпродуктовый баланс дает возможность получить подробную характеристику технико-экономической структуры отрасли, обосновать основные тенденции развития внутриотраслевых связей, построить сбалансированный план производства и распределения продукции, создать базу для проведения целого ряда экономических расчетов. 

Межпродуктовый баланс может быть использован при разработке перспективных и текущих планов развития химической промышленности. Однако межпродуктовый баланс позволяет также рассчитать и использовать в планировании и экономическом анализе такие показатели, как коэффициенты полных затрат. Известно, что коэффициенты полных внутриотраслевых материальных затрат представляют собой сумму прямых и косвенных затрат n - го порядка. По своему экономическому смыслу коэффициенты полных затрат отражают цепной процесс последовательного наслоения прямых и косвенных затрат, связанных с производством единицы данного вида продукции. В химической промышленности все эти коэффициенты приобретают особое значение, поскольку большинство химических производств характеризуется высоким сырьевым и материальным индексом, разнообразием потребляемого исходного сырья, возможностью получения одного и того же продукта из различных видов сырья и, наоборот, многих продуктов из одного сырья, а также широкими косвенными взаимосвязями.

Модель межпродуктового баланса и ее модификации являются отображением технологической структуры отрасли и с определенной степенью приближения представляются совокупностью уравнений и неравенств. 

Схема межпродуктового баланса состоит из двух частей и строится в целом в соответствии с теми же принципами, что и схема межотраслевого баланса производства и распределения продукции. 

Схема межпродуктового баланса химической промышленности , будучи построена по тем же принципам, что и схема народнохозяйственного межотраслевого баланса в натуральном выражении, характеризуется рядом особенностей: во-первых, химическая промышленность представляется в более дробной классификации, во-вторых, разделы межпродуктового вну-трихимического баланса имеют следующую специфику. 

Эти же межпродуктовые балансы определяют количество товарной продукции, которое может быть выдано предприятием для использования на других предприятиях МХП или вне отрасли.

Задание 2. Решить графическим методом  типовую задачу

оптимизации

На имеющихся у фермера 400 гектарах земли он планирует посеять  кукурузу и сою. Сев и уборка кукурузы требует на каждый гектар 200 ден. ед. затрат, а сои – 100 ден. ед. На покрытие расходов, связанных с севом и уборкой, фермер получил ссуду в 60 тыс. ден. ед. Каждый гектар, засеянный кукурузой, принесет 30 центнеров, а каждый гектар, засеянный соей – 60 центнеров. Фермер заключил договор на продажу, по которому каждый центнер кукурузы принесет ему 3 ден. ед., а каждый центнер сои – 6 ден. ед. Однако, согласно этому договору, фермер обязан хранить убранное зерно в течение нескольких месяцев на складе, максимальная вместимость которого равна 21 тыс. центнеров.

Фермеру хотелось бы знать, сколько  гектаров нужно засеять каждой из этих культур, чтобы получить максимальную прибыль.

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к её элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум, и почему?

Решение задачи:

Пусть - количество гектаров, засеянных кукурузой;

- количество гектаров, засеянных  соей;

  - количество центнеров кукурузы с гектаров, засеянных кукурузой;

- количество центнеров сои с гектаров, засеянных соей;

- количество затрат, связанных  с посевом и уборкой  гектаров кукурузы;

 - количество затрат, связанных  с посевом и уборкой гектаров сои;

- стоимость  центнеров кукурузы;

- стоимость  центнеров сои;

- общая сумма прибыли, которую можно получить, если засеять гектаров кукурузой и гектаров соей.

Целевая функция задачи имеет вид:

Исходя из условия  задачи, введем ограничения:

 Таким образом,  мы получили следующую систему  неравенств и целевую функцию:

Решим задачу графическим методом.

Пусть тогда

Пусть тогда

Прямая  проходит через точки (0;400); (400;0).

Пусть тогда

Пусть тогда

Прямая  проходит через точки (0;600); (300;0).

Пусть тогда

Пусть тогда

Прямая  проходит через точки (0;350); (700;0).

В результате пересечения построенных  полуплоскостей получаем многоугольник АВСD, который и является областью допустимых решений (ОДР) нашей задачи (рис. 2.1). Любая точка этого многоугольника удовлетворяет всем трем функциональным неравенствам, а для любой точки вне этого многоугольника хотя бы одно неравенство будет нарушено.

Рис. 2.1. Графический метод  решения задачи

Для определения направления  движения к оптимуму построим вектор-градиент, координаты которого являются частными производными целевой функции. Вектор оптимальности имеет координаты (0;0);(90;360) (рис. 2.1).

Затем построим линию уровня . Приравняем целевую функцию постоянной величине =0. Линия уровня имеет следующие координаты (400; -100); (-400;100) (рис. 2.1).

Далее будем передвигать  линию уровня до её выхода из области  допустимых решений. При максимизации функции движение линии уровня будем осуществлять в направлении градиента. Максимум целевой функции достигается в точке A (рис. 2.1). Для нахождения координат этой точки решим систему из двух уравнений прямых, дающих в пересечении точку максимума:

                      

При этих значениях целевая  функция равна:

  ден. ед.

Таким образом, для получения максимальной прибыли (126 000 ден. ед.) фермеру необходимо засеять 350 гектаров земли соей, а кукурузу не сеять.

При минимизации функции  движение линии уровня будем осуществлять в обратном направлении вектора-градиента. Минимум целевой функции достигается в точке D (рис. 2.1). Для нахождения координат этой точки решим систему из двух уравнений прямых, дающих в пересечении точку минимума:

 

ден. ед.

При решении задачи на минимум величина прибыли уменьшится и составит 27 000 ден. ед. Для того, чтобы получить минимальную прибыль фермеру необходимо засеять 300 гектаров земли кукурузой, а сою не сеять.

Задание 3. Исследовать  динамику экономического

показателя на основе анализа одномерного временного ряда

В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос  (млн. руб.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд этого показателя приведен ниже:

Номер наблюдения (t=1,2,….,9)
1	2	3	4	5	6	7	8	9
30	28	33	37	40	42	44	49	47

 

Требуется:

1) проверить наличие аномальных наблюдений;

2) построить линейную модель  , параметры которой оценить МНК ( - расчетные, смоделированные значения временного ряда);

3) оценить адекватность построенных  моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7-3,7);

4) оценить точность моделей на  основе использования средней  относительной ошибки аппроксимации;