Контрольная работа по "Экономико – математические методы и прикладные модели"

(2х₁* + х₂* + 0,5х₃* + 4х₄* -2400) ∙ у₁* = 0;

(х₁* + 5х₂* + 3х₃* + 0х₄* -1200) ∙ у₂* = 0;

(3х₁* + 0х₂* + 6х₃* + х₄* -3000) ∙ у₃* = 0.

(2у₁* + у₂* + 3у₃* -7,5) ∙ х₁* = 0;

(у₁* + 5у₂* + 0у₃* -3) ∙ х₂* = 0;

(0,5у₁* + 3у₂* + 6у₃* -6) ∙ х₃* = 0;

(4у₁* + 0у₂* + у₃* -12) ∙ х₄* = 0.

 

х₁* = х₂* = 0.

(0,5у₁* + 3у₂* + 6у₃* -6) ∙ х₃* = 0;

(4у₁* + 0у₂* + у₃* -12) ∙ х₄* = 0.

0,5у₁* + 3у₂* + 6у₃* = 6;

4у₁* + 0у₂* + у₃* = 12

y₁*=3; y₂*=1,5; y₃*=0.

Минимальное значение целевой функции двойственной задачи совпадает  с максимальным значением целевой функции исходной задачи.

3. Проанализируем использование ресурсов в оптимальном плане и поясним нулевые значения переменных. Для этого подставим в ограничения исходной задачи значения переменных оптимального плана Х*= (0; 0; 400; 550) и проверим выполнение неравенств:

Видно, что  ресурсы I и II используются в оптимальном плане полностью, т.е. являются дефицитными. На это указывает и то, что теневые цены этих ресурсов больше нуля (y₁*>0; y₂*>0). Самым дефицитным является ресурс I, так как он имеет наибольшую теневую цену (y₁*=3); наименее дефицитен ресурс II (y₂*=1,5).

Ограниченные  запасы дефицитных ресурсов I и II сдерживают увеличение объемов выпускаемой продукции и рост максимальной выручки от ее реализации. Увеличение объема ресурса I на одну единицу при неизменных объемах других ресурсов ведет к росту максимальной выручки на 3 руб., увеличение объема ресурса II на единицу — на 1,5 руб. Ресурс III используется не полностью 2950<3000, поэтому имеет нулевую двойственную оценку (y₃*=0), т.е. является избыточным в оптимальном плане. Увеличение объема этого ресурса не влияет на оптимальный план выпуска продукции и ее общую стоимость. Поясним равенство нулю x₁*=0 и x₂*=0. Если изделие вошло в оптимальный план (х>0), то в двойственных оценках оно не убыточно, т.е. стоимость ресурсов, затраченных на производство единицы продукции, равна его цене. В нашей задаче это изделия В и Г. Если стоимость ресурсов, затраченных на производство одного изделия, больше его цены, то это изделие не войдёт в оптимальный план (затраты по изделию А равны его цене 7,5-7,5=0 и затраты по изделию Б превышают его стоимость 3-10,5=-7,5).

4. Определим,  насколько изменится общая стоимость  выпускаемой продукции при заданных  изменениях запасов сырья. Из  «Отчета по устойчивости» видно,  что указанное изменение объемов  ресурсов происходит в пределах устойчивости (см. «Допустимое увеличение» и «Допустимое уменьшение» правых частей ограничений). Это дает возможность непосредственно рассчитать изменение наибольшей выручки от реализации выпускаемой продукции:

При этом новая  наибольшая выручка составит

 руб.

5. Для определения целесообразности включения в план изделия Д ценой 10 ед., если нормы затрат сырья 2; 4 и 3 единицы, рассчитаем стоимость ресурсов на изготовление единицы этого изделия в теневых ценах и сравним это значение с ценой реализации изделия:

Следовательно, продукцию Д  выпускать невыгодно, так как она поглощает часть дефицитных ресурсов, и тем самым сдерживает рост выпуска выгодной продукции, что препятствует увеличению общей стоимости выпускаемых изделий. Если бы изделие Д реализовывалось по цене равной или большей 12 руб., то его производство было бы выгодным.

ЗАДАЧА 3

 

В течение  девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t)(млн.руб.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя приведён ниже в таблице.

                                                                                                                  Таблица 4

t	1	2	3	4	5	6	7	8	9
yt	45	43	40	36	38	34	31	28	25

 

Требуется:

 

1. Проверить наличие аномальных наблюдений.
2. Построить линейную модель Ŷ(t)=a₀+a₁t, параметры которой оценить МНК (Ŷ(t) – расчетные, смоделированные значения временного ряда).
3. Построить адаптивную модель Брауна Ŷ(t)=a₀+a₁k с параметром сглаживания α=0,4 и α=0,7; выбрать лучшее значение параметра сглаживания.
4. Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7-3,7).
5. Оценить точность моделей на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.
6. По двум построенным моделям осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности  р=70%).
7. Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.

 

 

 

Решение

1. Проверим наличие аномальных наблюдений методом Ирвина:

,

где ,      

Все , следовательно среди наблюдений нет аномальных.

2. Оценка параметров модели с помощью Excel.

Построим  линейную однопараметрическую модель регрессии  .

 

                                                          Таблица 5

t	Y
1	45
2	43
3	40
4	36
5	38
6	34
7	31
8	28
9	25

 

Оформим необходимые  данные в Таблицы 6 и 7.

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 6

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика
Y-пересечение	47,64	0,94	50,49
t	-2,42	0,17	-14,41

 

Таблица 7

ВЫВОД ОСТАТКА
Наблюдение	Предсказанное Y	Остатки
1	45,22	-0,22
2	42,81	0,19
3	40,39	-0,39
4	37,97	-1,97
5	35,56	2,44
6	33,14	0,86
7	30,72	0,28
8	28,31	-0,31
9	25,89	-0,89
сумма		0,00

 

 

 

 

              Уравнение регрессии зависимости  (спрос на кредитные ресурсы) от (времени) имеет вид:

Коэффициент детерминации равен R²=0,967. Само значение R² показывает, что изменение во времени спроса на кредитные ресурсы на 96,7 % описывается линейной моделью.

Угловой коэффициент а₁ = -2,42 уравнения показывает, что за одну неделю спрос на кредитные ресурсы банка уменьшается в среднем на 2,42 млн. руб.

При вычислении «вручную» по формуле

получаем те же результаты.

 

Рис. 2.

Оценка параметров модели Брауна, при α=0,4
t	Y(t)	a0	a1	Yp(t)	E(t)
0		47,64	-2,42
1	45	45,07	-2,45	45,22	-0,22
2	43	42,9	-2,42	42,81	0,19
3	40	40,6	-2,36	40,39	0,39
4	36	39,23	-2,04	37,97	1,97
5	38	34,12	-1,65	35,56	2,44
6	34	33,7	-1,51	33,14	0,86
7	31	30,9	-1,46	30,72	0,28
8	28	28,5	-1,41	28,31	0,31
9	25	26,5	-1,27	25,89	0,89

 

 

 

 

Оценка параметров модели Брауна, при α=0,7
t	Y(t)	a0	a1	Yp(t)	E(t)
0		47,64	-2,42
1	45	45,1	-2,44	45,22	-0,22
2	43	42,7	-2,43	42,81	0,19
3	40	40,6	-2,39	40,39	0,39
4	36	38,97	-2,21	37,97	1,97
5	38	36,9	-1,99	35,56	2,44
6	34	33,58	-1,91	33,14	0,86
7	31	30,9	-1,88	30,72	0,28
8	28	28,5	-1,85	28,31	0,31
9	25	26,34	-1,77	25,89	0,89

 

4. Оценим адекватность построенной  модели. Рассчитанные по модели

значения прибыли (t=1, 2,…, 9).

Проверим независимость остатков с помощью d-критерия Дарбина-Уотсона:

Критические значения d-статистики для числа наблюдений n=9 и уровня значимости a=0,05 составляют: d₁=0,82; d₂=1,32.

Так как выполняется условие

,

то  статистическая гипотеза об отсутствии автокорреляции в остатках не отклоняется  на уровне значимости a=0,05.

               Для достоверности проверим отсутствие автокорреляции в остатках также и по коэффициенту автокорреляции остатков первого порядка, который равен:

               Критическое значение коэффициента автокорреляции для числа наблюдений n=9 и уровня значимости a=0,05 составляет 0,666. Так как коэффициент автокорреляции остатков первого порядка не превышает по абсолютной величине критическое значение, то это еще раз указывает на отсутствие автокорреляции в остатках.

Соответствие  ряда остатков нормальному закону распределения определим при помощи R/S-критерия:

,

где - максимальный уровень ряда остатков, =2,44;

- минимальный уровень  ряда остатков, =-1,97;

- среднеквадратическое отклонение,

 

               Критические границы R/S-критерия для числа наблюдений n=9 и уровня значимости a=0,05 имеют значения: (R/S)₁=2,7 и (R/S)₂=3,7.

    Расчетное значение R/S-критерия попадает в интервал между критическими границами, следовательно, выполняется свойство нормальности распределения. Модель по этому критерию адекватна.

              Таким образом, выполняются все пункты проверки адекватности модели. Это свидетельствует о том, что линейная модель вполне соответствует исследуемому экономическому процессу.

5. Оценим точность модели. Стандартная ошибка линейной модели определяется по формуле:

1,30 млн. руб.

Средняя относительная  ошибка аппроксимации определяется по формуле

%,

 

где млн. руб. - средний уровень временного ряда.

Значение Е_отн показывает, что предсказанные моделью значения прибыли предприятия Y отличаются от фактических значений в среднем на 2,9%. Средняя относительная ошибка аппроксимации менее 5% свидетельствует о высокой точности линейной модели.

 

6. Строим  точечный и интервальный прогнозы  на два шага вперёд.