Контрольная работа по "Экономико- математические методы и ПМ"

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ  БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ФИНАНСОВЫЙ  УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ 

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

(Финуниверситет)

Омский филиал Финуниверситета

 

 

 

 

Факультет      Финансово- кредитный

 

Кафедра      Математики и информатики

 

по дисциплине     Экономико- математические    

              

методы и ПМ

 

 

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

 

Вариант №4

 

 

 

 

 

Студент (Ф.И.О.)      Киселева Ксения Владимировна

 

№ личного дела      10ФФБ01224

 

курс        3

 

специальность      Финансы и кредит

 

форма обучения      Вечер

 

 

Руководитель      Мещериков Виталий                                                  

 

Александрович

 

Омск – 2012

 

Задача 1.

Решить графическим  методом типовую задачу оптимизации.

1.4. На имеющихся у фермера 400 гектарах земли он планирует посеять кукурузу и сою. Сев и уборка кукурузы требует на каждый гектар 200 ден. ед. затрат, а сои – 100 ден. ед.  На покрытие расходов, связанных с севом и уборкой, фермер получил ссуду в 60 тыс. ден. ед.. Каждый гектар, засеянный кукурузой, принесет 30 центнеров, а каждый гектар, засеянный соей – 60 центнеров. Фермер заключил договор на продажу, по которому каждый центнер кукурузы принесет ему 3 ден. ед., а каждый центнер сои – 6 ден. ед. Однако, согласно этому договору, фермер обязан хранить убранное зерно в течение нескольких месяцев на складе, максимальная вместимость которого равна 21 тыс. центнеров.

Фермеру хотелось бы знать, сколько гектар нужно засеять  каждой из этих культур, чтобы получить максимальную прибыль.

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум и почему?

 

Решение.

 

1. Таблица на основе условия задачи:

 

Параметры	Кукуруза	Соя	Ограничения
Сев/уборка (ден.ед.)	200	100	60000
Объем (ц)	30	60	21000
Ограничение по площади (га)	1	1	400
Стоимость (ден.ед.)	3	6

 

 

 

Пусть х₁ гектаров нужно засеять кукурузы, х₂ – сои.

Первое ограничение  задачи – по площади –  имеет вид:   х₁+ х₂ ≤ 400, т.к. у фермера всего имеется 400 га земли. 

Второе ограничение  – по общим затратам на сев и  уборку: 200х₁+100х₂ ≤ 60 000, т.к. фермер получил на расходы ссуду в 60 тыс. ден.

Третье ограничение  – по объему собранного зерна: 30х₁+60х₂ ≤ 21 000, т.к. вместимость склада составляет 21 тыс. центнеров.

Прибыль фермера: 30х₁∙3+60х₂∙6 = 90x₁+120x₂ (ден. ед.)

Построим  экономико-математическую модель задачи:

max f(X) = 90x₁+120x₂

х₁+ х₂ ≤ 400

200х₁+100х₂ ≤ 60 000

30х₁+60х₂ ≤ 21 000

x_1,2 ³ 0

Это задача линейного программирования с двумя переменными, а значит ее можно решить графическим методом.

Последнее ограничение  – прямое, означает, что область  решений будет лежать в первой четверти декартовой системы координат.

Остальные три – функциональные ограничения.

1. Определим область допустимых решений первого неравенства. Оно состоит из решения уравнения и строгого неравенства. Решением уравнения служат точки прямой x₁+x₂=400. Построим прямую a по двум точкам (0;400) и (400;0), которые легко получить в результате последовательного обнуления одной из переменных.

Область решений  строгого неравенства — одна из полуплоскостей, на которую делит плоскость построенная прямая. Какая из них является искомой, можно выяснить при помощи одной контрольной точки. Если в произвольно взятой точке, не принадлежащей прямой, неравенство выполняется, то оно выполняется и во всех точках той полуплоскости, которой принадлежит контрольная точка, и не выполняется во всех точках другой полуплоскости. В качестве такой точки удобно брать начало координат. Подставим координаты (0; 0) в неравенство x₁+x₂≤400, получим 0 ≤ 400, т.е. оно выполняется. Следовательно, областью решения неравенства служит нижняя полуплоскость.

Аналогичным образом построим области решения  двух других неравенств

200x₁+100x₂=60 000

2 x₁+ x₂ = 600

x₁ = 0, x₂ = 600

x₁ = 300, x₂ = 0

По точкам (0;600), (300;0) построим прямую b.

200х₁+100х₂ ≤ 60 000 при x₁ = x₂ = 0;

0 ≤ 60 000  выполняется, берется левая полуплоскость.

30x₁+60х₂=21 000

x₁ = 0, x₂ = 350

x₁ = 700, x₂ = 0

По точкам (0;350) и (700;0) построим прямую c.

30х₁+60х₂ ≤ 21 000 при x₁ = x₂ = 0;

0 ≤ 21 000 выполняется, берется нижняя полуплоскость.

Выделим общую  область для всех неравенств. Обозначим вершины области латинскими буквами и определим их координаты, решая систему уравнений двух пересекающихся соответствующих прямых. Например, определим координаты точки C, являющейся точкой пересечения первой и второй прямой:

x₁+x₂=400,         x₁ = 200; x₂ = 200

2 x₁+ x₂ = 600.

Аналогично поступим для других точек, являющихся вершинами области АВСDO, представляющей собой область допустимых решений рассматриваемой ЗЛП. Координаты этих вершин имеют следующие значения: А(0;350), В(100;300), С(200;200), D(300;0), О(0;0).

2. Построим вектор-градиент  , координаты которого являются частными производными функции f(X), т.е. =(90;120). Чтобы построить этот вектор, нужно соединить точку (90;120) с началом координат. При максимизации целевой функции необходимо двигаться в направлении вектора-градиента, а при минимизации — в противоположном направлении.

3. Приравняем целевую функцию постоянной величине а:

90x₁+120x₂ = а.

Это уравнение  является множеством точек, в котором целевая функция принимает значение, равное а. Меняя значение а, получим семейство параллельных прямых, каждая из которых называется линией уровня. Пусть а=0, вычислим координаты двух точек, удовлетворяющих соответствующему уравнению 90x₁+120x₂ = 0. В качестве одной из этих точек удобно взять точку О(0;0), а так как при x₁ = 4   x₂ = -3, то в качестве второй точки возьмем точку E(4;-3).

Через эти  две точки проведем линию уровня f(Х)= 90x₁+120x₂ = 0.

В нашем случае движение линии уровня будет осуществляться до ее пересечения с точкой В, далее она выходит из области допустимых решений. Следовательно, именно в этой точке достигается максимум целевой функции.

Решение исходной ЗЛП:

Вычислим  значение целевой функции в точке  B (100;300):

f(Х)= 90x₁+120x₂=90∙100 + 120∙300 = 45000.

max f(Х) =45000,  достигается при x₁ = 100, x₂=300.

Следовательно, чтобы получить максимальную прибыль, фермер должен засеять 100 га земли кукурузой, 300 га – соей. При этом прибыль составит 45 000  ден. ед.

Если поставить задачу минимизации функции f(Х) = 90x₁+120x₂ при тех же ограничениях, линию уровня необходимо смещать параллельно самой себе в направлении, противоположном вектору-градиенту. В нашем случае минимум функции будет в точке О(0;0). Это означает, что фермер не получит ни чего, если не засеет поле зерновыми культурами.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 2

2.4 Использовать аппарат теории двойственности для экономико-математического анализа оптимального плана задачи линейного программирования.

 

Для изготовления трех видов продукции  используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице.

Тип сырья	Нормы расхода сырья  на одно изделие			Запасы сырья
	А	Б	В
I	4	2	1	180
II	3	1	2	210
III	1	2	3	244
Цена изделия	10	14	12

Требуется:

1. Сформулировать прямую  оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.

2. Сформулировать двойственную  задачу и найти ее оптимальный  план с помощью теорем двойственности.

3. Пояснить нулевые  значения переменных в оптимальном  плане.

4. На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:

• проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;
• определить, как изменятся выручка от реализации продукции и план ее выпуска при увеличении запасов сырья I и III видов на 4 единицы каждого;
• оценить целесообразность включения в план изделия Г ценой 13 единиц, на изготовление которого расходуется соответственно 1, 3 и 2 ед. каждого вида сырья, и изделия Д ценой 12 единиц, на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида сырья.

 

Решение.                                            

1. Обозначим через  х_j , j=1,3 - объем выпуска продукции j-го вида и запишем математическую модель задачи критерию «максимум прибыли»:

max f(X) = 10x₁+14x₂+12x₃

4x₁+2x₂+x₃ ≤ 180

3x₁+x₂+2x₃ ≤ 210

x₁+2x₂+3x₃ ≤ 244

х_j ≥ 0, j=1,3

В этой модели функциональные ограничения отражают условия ограниченности объемов используемых в производстве ресурсов.

Найдем оптимальный  план задачи с помощью надстройки Excel Поиск решения.

1) Для задачи подготовим форму для ввода условий (см. рис. 1)

Рис. 1. Введена форма  для ввода данных.

 

2) В нашей задаче  оптимальные значения вектора  Х=(Х₁, Х₂, Х₃) будут помещены в ячейках С3:E3, оптимальное значение целевой функции – в ячейке F4.

3) Введем исходные  данные в созданную форму. Получим результат, показанный на рис. 2.

Рис. 2. Данные введены.

 

4) Введем зависимость  для целевой функции (обозначим  через М1 следующее действие  – «один щелчок левой кнопкой  мыши»):

• Курсор в F4.
• Курсор на кнопку Мастер функций.
• М1. На экране диалоговое окно Мастер функций шаг 1 из 2.
• Курсор в окно Категория на категорию Математические.
• М1
• Курсор в окно Функции на СУММПРОИЗВ.
• М1.
• В массив 1 ввести (адреса ячеек во все диалоговые окна удобно вводить не с клавиатуры, а протаскивая мышь по ячейкам, чьи адреса следует ввести) С$3:E$3.
• В массив 2 ввести С$4:E$4.
• Готово. На экране: в F4 введена функция, как показано на рис. 3.

 

  Рис. 3. Вводится функция  для вычисления целевой функции.

 

5) Введем зависимость  для левых частей ограничений:

• Курсор в D7: СУММПРОИЗВ(С3:E3;A7:C7).
• Курсор в D8: СУММПРОИЗВ(С3:E3;A8:C8).
• Курсор в D9: СУММПРОИЗВ(С3:E3;A9:C9).

На этом ввод зависимостей закончен.

 

Запуск Поиска решения

После выбора команд СервисÞПоиск решения появится диалоговое окно Поиск решения.

6) Назначение целевой функции (установить целевую ячейку).

• Курсор в поле «Установить целевую ячейку».
• Ввести адрес $F$4.
• Ввести направление целевой функции: Максимальному значению.

Ввести адрес искомых  переменных: