Контрольная работа по «Экономико-математические методы и прикладные модели»

Министерство  образования РФ

Всероссийский заочный финансово-экономический  институт

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Кафедра Экономико-математических методов и моделей

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

 

 

по дисциплине «Экономико-математические методы и  прикладные модели»

 

Вариант 8

 

 

 

 

 

 

 

 

Исполнитель:

Специальность: «Бухучет, анализ и  аудит»

Группа:

№ зачетной книжки:

Руководитель: Гармаш А.Н.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Москва 2006

 

Задача 1

 

1.8. Имеется два вида корма  I и II,  содержащие питательные вещества (витамины) S₁ S₂ и S₃. Содержание числа единиц питательных веществ в 1 кг каждого вида корма и необходимый минимум питательных веществ приведены в таблице

                                                                                                            

Питательное вещество (витамин)	Необходимый минимум питательных веществ	Число единиц питательных веществ  в 1 кг корма
		I	II
S1 S2 S3	9 8 12	3 1 1	1 2 6

 

Стоимость 1 кг корма I и II соответственно равна 4 и 6 ден. ед.

Необходимо составить дневной  рацион, имеющий минимальную стоимость, в котором содержание питательных веществ каждого вида было бы не менее установленного предела.

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на максимум и почему?

 

Решение:

 

 

Составим экономико-математическую модель задачи. Обозначим через   и   соответственно количество кормов I и II, входящих в дневной рацион. Принимая во внимание значения, приведенные в табл. 2.1, и условие, что дневной рацион удовлетворяет требуемой питательности только в случае, если количество единиц питательных веществ не меньше предусмотренного, получим систему ограничений

 

Кроме того, переменные и

Общая стоимость рациона(в рублях) составит

 

Итак, экономико-математическая модель задачи: составить дневной  рацион  , удовлетворяющий системе и условию, при котором функция принимает минимальное значение.

Приведенная задача линейного программирования (ЗЛП) – задача с двумя переменными, а значит мы ее можем решить графическим методом.

1. Построим область определения этой задачи (ОДР). Прямые ограничения задачи говорят о том, что ОДР будет находится в I четверти прямоугольной системы координат.
2. Функциональные ограничения неравенства определяют область, являющуюся пересечением нижних полуплоскостей с граничными прямыми:
3. I   3х₁ + х₂  = 9, проходящей через точки (3;0) и (0;9)
4. II  х₁ + 2х₂  = 8, проходящей через точки (8;0) и (0;4)
5. III х₁ + 6х₂  = 12, проходящей через точки (12;0) и (0;2)
6. Представим ОДР на рисунке:
11. Построим ЭММ задачи. Введем необходимые обозначения.

 

Пусть:

х₁ – количество корма первого вида подлежащего включению в дневной рацион (кг)

х₂ - количество корма второго вида подлежащего включению в дневной рацион (кг)

Таким образом дневной рацион представляет собой вектор Х (х₁;х₂).

В данной задаче критерий оптимальности  – минимум затрат на дневной рацион.

 

С учетом введенных обозначений ЭММ  задачи имеет вид:

min f (х_1,; х _2, ) = 4х₁ + 6х₂

3х₁ + х₂  ≥ 9 – ограничение по содержанию питательного вещества S₁

х₁ + 2х₂  ≥ 8 – ограничение по содержанию питательного вещества S₂

х₁ + 6х₂  ≥ 12 – ограничение по содержанию питательного вещества S₃

х₁ ≥ 0; х₂ ≥ 0 – прямые ограничения

2. Приведенная задача линейного  программирования (ЗЛП) – задача  с двумя переменными, а значит мы ее можем решить графическим методом.

2.1. Построим область определения  этой задачи (ОДР). Прямые ограничения задачи говорят о том, что ОДР будет находится в I четверти прямоугольной системы координат.

Функциональные ограничения неравенства  определяют область, являющуюся пересечением нижних полуплоскостей с граничными прямыми:

I   3х₁ + х₂  = 9, проходящей через точки (3;0) и (0;9)

II  х₁ + 2х₂  = 8, проходящей через точки (8;0) и (0;4)

III х₁ + 6х₂  = 12, проходящей через точки (12;0) и (0;2)

Представим  ОДР на рисунке:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пересечение указанных выше полуплоскостей в первой четверти системы координат представляет собой область с вершинами АВСD – заштрихованную область на рисунке.

2.2. Для определения направления движения к оптимуму построим вектор-градиент, координаты которого являются частными производными целевой функции. Соединим его вершину с началом координат О (0; 0). При минимизации целевой функции необходимо двигаться в противоположном направлении вектора-градиента.

2.3. Построим некоторую линию  уровня: 4х₁ + 6х₂ = а.

Положим, например, а=0. Линии уровня 4х₁ + 6х₂ = 0 отвечает прямая ОХ (всегда перпендикулярная вектору градиенту).

2.4. При минимизации целевой функции  (ЦФ) необходимо перемещать линию  уровня ОХ в противоположном  направлении вектора-градиента.  Предельной точкой при таком движении является точка В и точка О. Для определения координат точки В необходимо решить систему уравнений:

3х₁ + х₂  = 9 

  х₁ + 2х₂ = 8       

Решением этой системы являются следующие значения переменных:

х₁ = 2, х₂ = 3

Соответственно минимальное значение ЦФ равно:

min f (х₁; х₂) = 4*2 + 6*3 = 26

 

Вывод:  В дневной рацион должно входить 2 кг корма I вида и 3 кг корма II вида. С таким дневным рационом связаны затраты в 26 ден. ед.

 

Задача на максимум не разрешима, т.к. не существует конечного максимума на неограниченном множестве допустимых решений (вследствие неограниченности целевой функции на ОДР).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 2

 

Задание 3. Рассчитать параметры моделей  экономически выгодных размеров заказываемых партий.

Цветочный магазин использует 600 глиняных цветочных  горшков в месяц. Годовая стоимость хранения одного горшка составляет 1 руб. 50 коп., стоимость одного заказа 150 руб. Магазин работает 365 дней в году. Доставка заказа занимает 1 день. Определите экономичный объем заказа, годовые расходы на хранение запасов, период поставок, точку заказа.

 

Решение:

Оптимальный размер заказа (Н=Th – удельные издержки хранения за период, h – в единицу времени)

.

Число заказов в течение года

Поскольку среднесуточный спрос равен 30, точка восстановления запаса (уровень запасов, при котором делается новый заказ) составит 30*1=30 [1].

Минимальные издержки заказа и хранения

 

 

 

 

Задание 4.  Использовать методы теории массового обслуживания для исследования предлагаемой хозяйственной ситуации. При моделировании предполагается, что поток требований на обслуживание является простейшим (пуассоновским), а продолжительность обслуживания распределена по экспоненциальному (показательному) закону. Задачу следует решить с помощью средств MS Excel.

В бухгалтерии организации в  определенные дни непосредственно  с сотрудниками работают два бухгалтера. Если сотрудник заходит в бухгалтерию для оформления документов (доверенностей, авансовых отчетов и пр.), когда оба бухгалтера заняты обслуживанием ранее обратившихся работников, то он уходит из бухгалтерии, не ожидая обслуживания. Статистический анализ показал, что среднее число сотрудников, обращающихся в бухгалтерию в течение часа, равно l; среднее время, которое затрачивает бухгалтер на оформление документа, равно Т_ср мин. (значения l и Т_ср по вариантам даны ниже в таблице).

Оценить основные характеристики работы данной бухгалтерии как СМО с отказами (указание руководства не допускать  непроизводительных потерь рабочего времени!). Сколько бухгалтеров должно работать в бухгалтерии в отведенные дни с сотрудниками, чтобы вероятность обслуживания сотрудников была выше 85%?

№ варианта, задачи	Параметр l	Параметр Тср=1/μ
4.8	8	10

 

 

Решение:

1. Рассчитаем вероятность отказа в обслуживании по формуле:

Р_отк=Р_n=Р₀ ,

P₀=;

 - нагрузка на систему[1].

• Расчет нагрузки на систему (рис.6);

Рис.6. Расчет нагрузки на систему.

• Расчет вероятности Р₀  ячейке С5 без степени -1, для 1 числа канала (рис.7);

Задача 3

Промышленная группа предприятий (холдинг) выпускает продукцию трех видов, при этом каждое из трех предприятий  группы специализируется на выпуске  продукции одного вида: первое предприятие  специализируется на выпуске продукции  первого вида, второе предприятие - продукции второго вида; третье предприятие - продукции третьего вида. Часть  выпускаемой продукции потребляется предприятиями холдинга (идет на внутреннее потребление), остальная часть поставляется за его пределы (внешним потребителям, является конечным продуктом). Специалистами управляющей компании получены экономические оценки а_ij (i=1,2,3; j=1,2,3) элементов технологической матрицы А (норм расхода, коэффициентов прямых материальных затрат) и элементов y_i вектора конечной продукции Y.

Требуется:

1) Проверить продуктивность  технологической матрицы A=(а_ij) (матрицы коэффициентов прямых материальных затрат).

2) Построить баланс (заполнить таблицу)  производства и распределения продукции предприятий холдинга.

Исходные данные приведены в  таблице 

Предприятия (виды продукции)	Коэффициенты прямых затрат аij			Конечный продукт
	1	2	3
1	0,0	0,4	0,1	160
2	0,4	0,1	0,0	180
3	0,3	0,0	0,1	150

 

Решение:

 

	0,0	0,4	0,1		160
А =	0,4	0,1	0,0	Y =	180
	0,3	0,0	0,1		150

 

 

1. Проведем оценку по первому  признаку продуктивности: матрица  (Е-А) неотрицательно обратима, т.е.  существует обратная матрица  и все ее элементы неотрицательны.

 

 Определим матрицу (Е-А):

	1,0	-0,4	-0,1
Е -А =	-0,4	0,9	0,0
	-0,3	0,0	0,9

 

 

С помощью функции МОБР Мастера функций Exсel найдем обратную матрицу:

	1,27	0,56	0,14
В=(Е-А)-1=	0,56	1,36	0,06
	0,42	0,19	1,16