Контрольная работа по «Экономико-математическим методам и прикладным моделям»

Задача 4

 

4.1. В течение девяти  последовательных недель фиксировался  спрос Y(t) (млн. руб.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя приведен в таблице.

Номер варианта	Номер наблюдения (t = 1, 2 ..... 9)
	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	10	14	21	24	33	41	44	47	49

 

Требуется:

1. Проверить наличие  аномальных наблюдений.

2. Построить линейную модель , параметры которой оценить МНК (Y(t)) — расчетные, смоделированные значения временного ряда).

3. Оценить адекватность  построенной модели, используя свойства  независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S критерия взять табулированные границы 2,7—3,7).

5. Оценить точность  модели на основе использования  средней относительной ошибки  аппроксимации.

6. По построенной модели  осуществить прогноз спроса на  следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности р = 70%).

7. Фактические значения  показателя, результаты моделирования  и прогнозирования представить  графически.

Решение

1. Проверим наличие аномальных  наблюдений.

Рис.1. Диаграмма рассеяния

 

Данные диаграммы рассеяния  показывают, что аномальных наблюдений нет (рис. 1).

2. Построим линейную модель:

,

где

  

Построим расчетную таблицу 1.

Таблица 1

t	y(t)	t-tср	(t-tср)2	Y-Yср	(t-tср)(Y-Yср)	Yp(t)
1	10	-4	16	-21,4	85,8	10,2
2	14	-3	9	-17,4	52,3	15,5
3	21	-2	4	-10,4	20,9	20,8
4	24	-1	1	-7,4	7,4	26,1
5	33	0	0	1,6	0,0	31,4
6	41	1	1	9,6	9,6	36,7
7	44	2	4	12,6	25,1	42,0
8	47	3	9	15,6	46,7	47,3
9	49	4	16	17,6	70,2	52,6
45	283	0	60	0,0	318,0	283,0
5	31,4	0	6,7	0	35,3	31,4

 

Линейная модель имеет вид:

3. Для оценки адекватности модели составим расчетную таблицу 2.

Таблица 2

t	y(t)	Yp(t)	е	Р	et-et-1	(et-et-1)2	et2	etet-1	Еотн
1	10	10,2	-0,24	-	-		0,1		2,4
2	14	15,5	-1,54	1	-1,3	1,7	2,4	0,4	9,9
3	21	20,8	0,16	1	1,7	2,9	0,0	-0,2	0,7
4	24	26,1	-2,14	1	-2,3	5,3	4,6	-0,3	8,2
5	33	31,4	1,56	0	3,7	13,7	2,4	-3,3	4,9
6	41	36,7	4,26	1	2,7	7,3	18,1	6,6	11,6
7	44	42,0	1,96	0	-2,3	5,3	3,8	8,3	4,7
8	47	47,3	-0,34	0	-2,3	5,3	0,1	-0,7	0,7
9	49	52,6	-3,64	-	-3,3	10,9	13,3	1,3	6,9
45	283	283,0	-	4	-3,4	52,3	44,8	12,0	50,1

 

Проверка условия адекватности на основе исследования:

а) случайности остаточной компоненты по критерию пиков:

4>2

Неравенство выполняется, следовательно, ряд остатков можно считать случайным.

б) независимости уровней  ряда остатков:

Критерий Дарбина-Уотсона (критические  уровни d₁=1,08 и d₂=1,36)

  (d₁ < d < d₂ – область неопределенности).

Первый коэффициент корреляции:

< r_табл. = 0,36, расчетное значение меньше табличного, следовательно, ряд остатков некоррелирован.

в) нормальности распределения  остаточной компоненты по R/S-критерию (критические уровни 2,7 - 3,7)

  

  

Уровни ряда остатков подчиняются  нормальному распределению т.к. полученное значение RS (3,1) попадает в заданный интервал (2,7<3,1<3,7).

4. Средняя относительная ошибка  аппроксимации:

Ошибка не превышает 15%, значит, точность модели считается приемлемой.

6. Осуществим прогноз спроса  на две недели:

Точечный по формуле:

Y₍₁₀₎ = 4,9 + 5,3 х 10 = 57,9

Y₍₁₁₎ = 4,9 + 5,3 х 11 = 63,2

Интервальный по формуле:

Покажем в таблице результаты прогноза:

Таблица 3

Шаг	Точечный прогноз	Интервальный прогноз
		Нижняя граница	Верхняя граница
10	57,9	54,7	61,2
11	63,2	59,8	66,7

 

7. Представим графически фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования (рис. 2).

Рис. 2.