Контрольная работа по "Экономико-математическому моделированию"

 

Получено  следующее решение задачи:

	Переменные						Запас
	Х1	Х2	Х3	Х4	Расчет.	Вид
Ресурс	36,667	0	3,3333	0	значен.	огран.	сырья
Прибыль	60	70	120	130	2600	max
I	1	1	1	1	40	≤	40
II	6	5	4	3	233,33	≤	250
III	4	6	10	13	180	≤	180

 

Оптимальный план задачи единиц. Максимальная прибыль равна 2600 единиц.

Определим ценность каждого ресурса и его  приоритет при решении задачи увеличения запаса ресурсов. Ресурсы использованы следующим образом: сырье вида I полностью – 40 единиц, сырье вида II не полностью – 233,33 единицы, сырье вида III полностью – 180 единиц.

Рассмотрим  отчет по устойчивости. Этот отчет  содержит сведения о чувствительности решения к малым изменениям в  формуле для целевой функции  и в формулах ограничений.

Изменяемые ячейки
			Результ.	Нормир.	Целевой	Допустимое	Допустимое
	Ячейка	Имя	значение	стоимость	Коэффициент	Увеличение	Уменьшение
	$B$3	Ресурс Х1	36,6667	0	60	40	12
	$C$3	Ресурс Х2	0	-10	70	10	1E+30
	$D$3	Ресурс Х3	3,33333	0	120	30	13,334
	$E$3	Ресурс Х4	0	-20	130	20	1E+30
Ограничения
			Результ.	Теневая	Ограничение	Допустимое	Допустимое
	Ячейка	Имя	значение	Цена	Правая  часть	Увеличение	Уменьшение
	$F$5	I значен.	40	20	40	2,2727	22
	$F$6	II значен.	233,33	0	250	1E+30	16,667
	$F$7	III значен.	180	10	180	220	20

 

Допустимое  увеличение и уменьшение определяют интервал изменений коэффициентов целевой функции, внутри которого сохраняются значения переменных оптимального плана.

В разделе  отчета «Ограничения» теневые цены это двойственные оценки ресурсов, а Допустимое увеличение и уменьшение показывают допустимые диапазоны изменения правых частей ограничений, в пределах которых в оптимальный план входят те же переменные, хотя возможно и с другими значениями.

Приоритетными (дефицитными) являются ресурсы I вида (его теневая цена 20) и III вида (его теневая цена 10).

Максимальный  интервал изменения запасов каждого  из ресурсов, в пределах которого структура  оптимального решения, т.е. номенклатура выпускаемой продукции, остается без изменений: первый ресурс допускает увеличение запасов на 2,2727 единиц и уменьшение на 22 единицы, третий ресурс допускает увеличение запасов на 220 единиц и уменьшение на 20 единиц.. Увеличение второго ресурса (поскольку он недефицитный) на любую величину не приведет к изменениям структуры решения, уменьшить же его можно на 16,667 единиц.

Суммарная стоимостная оценка ресурсов приведена  в столбце Нормированная стоимость показывает изменение целевой функции при увеличении соответствующей переменной на единицу. Например, если ввести x₂ = 1, то x₁ и x₃ станут меньше, а величина целевой функции изменится на -10, если ввести x₄ = 1, то величина целевой функции изменится на -20.

Интервалы изменения цен на каждый вид продукции, при которых сохраняется структура оптимального плана приведены в столбцах Допустимое увеличение и уменьшение. Так, на первый вид продукции можно увеличить цену на 40 единиц (или уменьшить на 12), и это не приведет к изменению структуры оптимального плана. На третий вид продукции эти числа равны 30 и 13,334, соответственно. На продукцию второго и четвертого типов можно уменьшить цену на любое число единиц. Рентабельными эти типы продукции станут при увеличении цены на них на 10 и 20 денежных единиц, соответственно.

Cформулируем двойственную задачу и составим ее математическую модель. Оценим каждую единицу используемых ресурсов через y_i (i = 1,3).

Экономическая формулировка двойственной задачи имеет  следующий вид: какие оценки надо назначить единице каждого вида сырья, чтобы при заданных количествах сырья, при заданных нормах расхода ресурсов на единицу каждого изделия, при известной прибыли от реализации единицы каждого изделия, получить общую минимальную оценку истраченного сырья.

Так как  экономически основное неравенство  двойственности означает, что стоимость  изготовленного продукта не превосходит  оценки ресурсов, получаем следующую экономико-математическую модель двойственной задачи: минимизировать целевую функцию

F = 40y₁ + 250y₂+ 180y₃.

при ограничениях:

,

Целевая функция двойственной задачи представляет собой минимальную оценку затраченного сырья, левая часть каждого ограничения показывает оценку сырья, затраченного на единицу изделия каждого вида, в правой части стоит прибыль от реализации единицы изделия данного вида.

Между переменными  исходной и двойственной задач имеется  следующее соответствие:

х₁, х₂, х₃, х₄, х₅, х₆, х₇

y₄, y₅, y₆, y₇, y₁, y₂, y₃,

 

Используя решение исходной задачи и соответствие между двойственными переменными, найдем компоненты оптимального плана двойственной задачи: Y* = (20; 0, 10; 0; 10; 0; 20).

Двойственные оценки у^*₁ = 20 и у^*₃ = 10, показывают, что увеличение ресурсов Р₁ и Р₃ на единицу приведет к увеличению целевой функции Z на 20 и 10 единиц, соответственно. Следовательно, эти ресурсы являются дефицитными (так как у них положительные двойственные оценки). Наиболее дефицитным является ресурс Р₁, так как у него теневая цена наибольшая. Дополнительные двойственная оценка у^*₂ = 0 показывает, что увеличение избыточного ресурса Р₂ на единицу не приведет к увеличению целевой функции Z. Дополнительные двойственные оценки у^*₄ = у^*₆ = 0 говорят о том, что стоимость ресурсов, расходуемых на единицу продукции первого и третьего вида (в оптимальных оценках) не превосходит стоимости единицы этой продукции. Дополнительные двойственные оценки у^*₅ = 10 и у^*₇ = 20 говорят о том, что стоимость ресурсов, расходуемых на единицу продукции второго и четвертого вида (в оптимальных оценках) превосходят стоимости единиц каждой продукции на 10 ден. ед. и 20 ден. ед. соответственно.

6. Определить изменение максимальной прибыли от реализации продукции при увеличении запаса ресурса I на 10 ед., ресурса II – на 50 ед. и уменьшении запаса ресурса III на 30 ед. Оценить раздельное влияние этих изменений и суммарное влияние.

По отдельности: Пусть изменился запас сырья I вида, произведем пересчет: в ячейках запасов введем новые значения и произведем Поиск решения. Получили: оптимальный план задачи единиц, максимальная прибыль равна 2645,5 единиц. Увеличение запаса сырья II вида, поскольку он недефицитный, не повлияет на результаты. Пусть изменился запас сырья III вида, произведем пересчет: в ячейках запасов введем новые значения и произведем Поиск решения. Получили: оптимальный план задачи единиц, максимальная прибыль равна 2250 единиц.

Оценим  теперь суммарное влияние, произведем пересчет: в ячейках запасов введем новые значения и произведем Поиск решения. Получены следующие результаты: оптимальный план задачи единиц, максимальная прибыль равна 2250 единиц.

Видим, что  отдельное изменение запаса ресурса третьего вида оказало наибольшее влияние и определило изменение прибыли (она оказалась наименьшей при изменении запасов сырья третьего вида).

 

 

 

Задача 4

Решить  транспортную задачу - исходные данные транспортной задачи приведены схематически: внутри прямоугольника заданы удельные транспортные затраты на перевозку единицы груза, слева указаны мощности поставщиков, а сверху – мощности потребителей. Сформулировать экономико-математическую модель исходной транспортной задачи, найти оптимальный план закрепления поставщиков за потребителями, установить единственность или не единственность оптимального плана, используя Поиск  решения.

	120	80	160	90	50
180	1	2	3	1	4
220	6	3	4	5	2
100	8	2	1	9	3

 

Решение

Так как  120+80+160+90+50=500=180+220+100=500, то суммарные запасы поставщиков равны суммарным потребностям потребителей, и получаем закрытую модель транспортной задачи. Получаем следующую математическую модель транспортной задачи:

Минимизировать  общую стоимость перевозок

при условиях

  

Решим эту  задачу в системе Excel. Исходные данные запишем в две таблицы и сформируем вычисляемую ячейку значения целевой функции. В изменяемую таблицу Объемы перевозок первоначально для контроля введем единицы. В таблицу исходных данных задачи введем исходные данные.

В целевую  ячейку запишем функцию СУММПРОИЗВ двух матриц: Объемов перевозок и  Исходных данных, эта функция вычисляет  совокупные затраты на перевозку  грузов от поставщиков к потребителям. В ячейках Итого помещаем формулы сумм объемов перевозок по строкам и столбцам.

После этого  вызываем функцию Поиск решения  и вводим данные в окно функции: устанавливаем значение целевой ячейки на минимум, указываем, какие ячейки для этого нужно изменить (матрицу объемов перевозок), и вносим ограничения  по мощностям поставщиков и потребителей (в форме равенства).

В окне Параметры  поиска решения выбираем линейную модель, неотрицательные значения, автоматическое масштабирование. После этого выполняется Поиск решения. Результат приведен в таблице

 

	Матрица объемов перевозок							Целевая ячейка
Поставщики	Потребители					Итого		1210
	1	2	3	4	5
1	120	0	0	60	0	180
2	0	80	60	30	50	220
3	0	0	100	0	0	100
Итого	120	80	160	30	50
	Исходные данные задачи
Мощности	Мощность потребителей
поставщиков	120	80	160	90	50
180	1	2	3	1	4
220	6	3	4	5	2
100	8	2	1	9	3