Курсовая работа по "Теории принятия решений"

 

Общие расходы  на доставку продукции от поставщиков  к потребителям изменятся на

2*50 - 1*50 + 4*50 - 7*50 = (2 - 1 + 4 - 7)*50 = -2*50 ден. ед.

Общие затраты  на доставку всей продукции, для данного  решения, составляют S₀ = 1010 + (-100) = 910 ден. ед.

Если  оценки всех свободных ячеек (незадействованных  маршрутов) неотрицательные, то снизить  общую стоимость доставки всей продукции  невозможно.

Ячейка A₁B₁ выйдет из базиса, мы перестали доставлять продукцию от поставщика A₁ к потребителю B₁. Ячейка A₁B₃ станет базисной, мы ввели новый маршрут доставки продукции от поставщика A₁ к потребителю B₃ (Таблица 8).

 

Таблица 8

Поставщик	Потребитель			Запас
	B1	B2	B3
А1	-         1	-        3	50        2	50
А2	70        4	-         5	30        7	100
А3	-         6	100      2	30        4	130
Потребность	70	100	110	-

 

3. Оценка полученного решения.

Примем v3 = 0.

v3 + u1 = c13,     v3 + u1 = 2,    u2 = 2 - 0 = 2

v3 + u2 = c23,      v3 + u2 = 7,     u2 = 7 - 0 = 7

v3 + u3 = c33,      v3 + u3 = 4,     v1 = 4 - 7 = 4

v1 + u2 = c21,      v1 + u2 = 4,     v2 = 2 - 4 = -3

v2 + u3 = c32 ,         v2 + u3 = 2,       u1 = 1- (-3) = -2

Найдем оценки свободных ячеек  следующим образом:

11 = c11 - (u1 + v1) = 1 - (2 + (-3)) = 2

12 = c12 - (u1 + v2) = 3 - (2 + (-2)) = 3

22 = c22 - (u2 + v2) = 5 - (7 + (-2)) = 0

31 = c31 - (u3 + v1) = 6 - (4 + (-3)) = 5

 

Все оценки свободных ячеек неотрицательные, следовательно, найдено оптимальное решение:

X_опт1 ==

S_min = 2*50+4*70+7*30+2*100+4*30 = 910 ден. ед.

Ответ: Общие затраты на доставку всей продукции, для оптимального решения, составляют 910 ден. ед.

 

 

 

 

 

 Статистические игры (игры с природой)

Физическая интерпретация задачи

Сельскохозяйственное  предприятие может реализовать  некоторую продукцию:

А₁ - сразу после уборки;

А₂ - в зимние месяцы;

А₃ - в весенние месяцы.

Прибыль зависит от цены реализации в данный период времени, затратами  на хранение и возможных потерь. Размер прибыли, рассчитанный для разных состояний-соотношений дохода и издержек, в течение всего периода реализации, представлен в виде матрицы (млн. руб.).

Краткие теоретические сведения

При решении  задач оптимизации приходится сталкиваться с проблемой принятия решений  в условиях неопределённости. Часто неопределённость, сопровождающая ту или иную операцию, связана с недостаточной осведомлённостью об условиях, в которых она будет проводиться. Во всех подобных случаях условия выполнения операции зависят от объективной действительности, которую в теории игр принято называть «природой». Соответствующие ситуации называют «играми с природой».

Человек (статистик) А в играх с природой старается действовать осмотрительно, например, используя максиминную стратегию, чтобы получить наименьший проигрыш. Второй игрок В действует совершенно случайно, возможные стратегии определяются как ее состояния. В некоторых задачах может быть задано распределение вероятностей, а в других оно не известно.

В теории статистических игр, помимо платёжной  матрицы, используется и, так называемая, матрица рисков или матрица сожалений. Риском стороны А при использовании стратегии А_i в условиях P_j называется величина

где  − максимальный выигрыш стороны А в состоянии «природы» P_j.

Оптимальные стратегии находятся, используя критерии Вальда, Сэвиджа, Гурвица, Байеса (при различных и равных вероятностях состояний природы).

Блок-схема алгоритма  решения задачи

Рис. 3. Блок-схема алгоритма решения  задачи 

Аналитическое решение задачи

Экономическая эффективность от продажи  продукции в различные периоды  изменяется в зависимости от состояния  природы и задана матрицей:

 

Первый  столбец доминирует над вторым и  третьим столбцами, следовательно, матрицу можно упростить:

 

• Критерий Вальда

По критерию Вальда за оптимальную стратегию принимается чистая стратегия, которая в наихудших условиях гарантирует максимальный выигрыш, т.е. α = max(min a_ij). Критерий Вальда ориентирует статистику на самые неблагоприятные состояния природы, т.е. этот критерий выражает пессимистическую оценку ситуации.

 

Таблица 1

Стратегии статистика Аi	Состояния природы Pj			min(aij)
	P1		P2
A1	1		9	1
A2	3		3	3
A3	4		2	2

 

Тогда, α = max (1; 3; 2) = 3

 

Вывод: Оптимальной стратегией является А₂. 

 

• Критерий Сэвиджа

 

Критерий  минимального риска Сэвиджа рекомендует выбирать в качестве оптимальной стратегии ту, при которой величина максимального риска минимизируется в наихудших условиях, т.е. обеспечивается: 
α = min(max r_ij).

Критерий  Сэвиджа ориентирует статистику на самые неблагоприятные состояния природы, т.е. этот критерий выражает пессимистическую оценку ситуации. 
 Находим матрицу рисков.

 
  Риск – мера несоответствия между разными возможными результатами принятия определенных стратегий. Максимальный выигрыш в j-м столбце b_j = max(a_ij) характеризует благоприятность состояния природы.

 
1. Рассчитываем 1-й столбец матрицы  рисков.

r₁₁ = 4 - 1 = 3; r₂₁ = 4 - 3 = 1; r₃₁ = 4 - 4 = 0; 

2. Рассчитываем 2-й столбец матрицы рисков.

r₁₂ = 9 - 9 = 0; r₂₂ = 9 - 3 = 6; r₃₂ = 9 - 2 = 7; 

 

Результаты  вычислений занесем в таблицу 2.

 

Таблица 2.

Стратегии статистика Аi	Состояния природы Pj		max(aij)
	P1	P2
A1	3	0	3
A2	1	6	6
A3	0	7	7

 

Тогда, α = min(max r_ij) = min (3, 6, 7) = 3

 

Вывод: Оптимальной  стратегией является А₁.

 

• Критерий Гурвица

 

Критерий  Гурвица является критерием пессимизма - оптимизма. За оптимальную стратегию принимается та стратегия, для которой выполняется соотношение: 
max(λmin(a_ij) + (1-λ)max(a_ij)), где 0 ≤ λ ≤ 1.

При λ = 1 получим критерий Вальде, при λ = 0 получим – оптимистический критерий (максимакс).

Критерий  Гурвица учитывает возможность  как наихудшего, так и наилучшего для человека поведения природы. Чем хуже последствия ошибочных решений, тем больше желание застраховаться от ошибок, тем λ ближе к 1. В общем случае число λ выбирают исходя из опыта или субъективных соображений.

 
Рассчитываем .

max(λmin(a_ij) + (1-λ)max(a_ij)) = max ((0.7•1+(1-0.7)•9); ( 0.7•3+(1-0.7)•3); ( 0.7•2+(1-0.7)•4)) = max(3.4; 3; 2.6) = 3.4

 

Вывод: Оптимальной стратегией является А₁. 

 

• Критерий Байеса (с различными вероятностями состояний природы)

 

В данном случае, критерием принятия решений  является максимум математического  ожидания выигрыша.

Рассчитаем значения ∑(a_ijq_j) и занесем их в таблицу 3:

  = 1•0.1 + 9•0.2 = 1.9;

  = 3•0.1 + 3•0.2 = 0.9;

_{= 4•0.1} + 2•0.2 = 0.8.

 

Таблица 3

Стратегии статистика Аi	Состояния природы Pj				Средний выигрыш
	P1	P2	P3	P4
A1	0.1	-	-	1.8	1.9
A2	0.3	-	-	0.6	0.9
A3	0.4	-	-	0.4	0.8
qi	0.1	0.3	0.4	0.2	-

 

Максимальный  средний выигрыш равен max (1.9; 0.9; 0.8) = 1.9.

 

Вывод: Оптимальной стратегией является А₁.

 

• Критерий Байеса (с равными вероятностями состояний природы)

 

В этом случае расчеты производятся с учётом того, что вероятности состояний природы  равны, и имеют значение q_i = 0.25.

Рассчитаем значения ∑(a_ijq_j) и занесем их в таблицу 4:

 

  = 1•0.25 + 9•0.25 = 2.5; 
_{= 3•0.25 +} 3•0.25 = 1.5; 
_{= 4•0.25 +} 2•0.25 = 1.5.

 

Таблица 4

Стратегии статистика Аi	Состояния природы Pj				Средний выигрыш
	P1	P2	P3	P4
A1	0.25	-	-	2.25	2.5
A2	0.75	-	-	0.75	1.5
A3	1	-	-	0.5	1.5
qi	0.25	0.25	0.25	0.25	-

 

Максимальный  средний выигрыш равен max (2.5; 1.5; 1.5) = 2.5.

 

Вывод: Оптимальной стратегией является А₁.

 

Таким образом, в результате решения статистической игры по различным критериям чаще других рекомендовалась стратегия A₁.

 

Ответ: Стратегия A₁.

 

Список использованной литературы

1. Шапкин А.С., Мазаева Н.П. Математические методы и модели исследования операций: Учебник. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Дашков и К, 2005. – 400 с.
2. Ляшенко И.Н., Карагодова Е.А. Линейное и нелинейное программирование. 1975. - 369 с.
3. Дегтярев Ю. И. Исследование операций: учебник для вузов по специальности АСУ. — М.: Высшая школа, 1986.
4. Грешилов А. А. Математические методы принятия решений. — М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006. — 584 с.
5. В.А.Ильин, Э.Г. Позняк. Основы математического анализа, 2001.
6. Быков А.Ю. Курс лекций. МГГУ, 2012 – 2013.